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2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷05
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知集合 ，全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的偶函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的奇函数
4．（本题5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（本题5分）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则圆锥
表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）已知 的展开式中 的系数为5，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．
7．（本题5分）已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页8．（本题5分）设 为数列 的前n项和， ,则“ 为递增数列”是“ 为递增
数列”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列关于复数 的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A． B． 的虚部为
C． 在复平面内对应的点在第三象限 D．
10．（本题6分） 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 是锐角三角形，则
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ， ， ，则 有两解
11．（本题6分）已知四面体 中， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．四面体 的体积为
B．四面体 的外接球的表面积为
C．若平面 平面 ，且平面 与四面体 的内切球相切，则平面 将该四面体
分成体积比为 的两部分
D．若 为平面 内一动点，且直线 与平面 所成角的正切值为 ，则 点轨
迹的长度为
试卷第1页，共3页三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，
若 ，则 的值为 ______.
13．（本题5分）已知数列 满足 ， ，则数列 的前7项和为__________.
14．（本题5分）已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，点 在双曲线的
右支上，且 ， 的内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为________．
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知向量 .设 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)记 的内角 所对的边分别是 ，已知 的面积为 ，
求 的长.
16．（本题15分）已知函数 .
(1)当 时，若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求点 的坐标；
(2)若 恒成立，求a的取值范围.
17．（本题15分）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形， ，平面
试卷第1页，共3页平面 ， ， ，E为PD的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
18．（本题17分）某兴趣小组设计一种“量子通信模拟”实验：盒中装有大小、形状完全相同
的红球4个和白球2个，每次从盒中随机摸出1个球，记录颜色后放回.规定：摸到红球记为
发送红球信息，摸到白球记为发送白球信息.发送者甲每次摸球后，随机选择两种编码方式
A，B中的一种发送信息；接收者乙收到信息后，也随机选择A，B中的一种方式进行解码，且
二者选择A，B的概率均为 .已知：若甲、乙采用相同编码方式，则乙正确得到该次球颜色的
概率为1；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正确得到颜色的概率为 .
(1)求乙正确得到该次球颜色的概率p；
(2)独立进行3次通信，记随机变量X为这3次中乙显示为红球的次数，求X的概率分布列及
数学期望；
(3)现加入窃听者丙，每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择A，B中的一种方式进行
“窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码.设无窃听者时，乙正
确得到信息的概率为 ，有窃听者时为 .
试卷第1页，共3页（i）求 ， ；
（ii）为判断通信过程中是否存在窃听，独立重复进行n次通信，记乙正确得到信息的次数为
Y.规定统计量 ，当 时，判断通信过程中存在窃听；否则暂不判断存在
窃听.现进行了64次通信，乙正确得到信息40次，请根据上述标准判断通信过程中是否存在
窃听，并说明理由.
19．（本题17分）在平面直角坐标系中， ，以 为圆心作半径为4的圆，
是圆上任意一点，线段 的垂直平分线与半径 交于点 .
(1)当 在圆上运动时，求点 的轨迹方程；
(2)过 的直线 交曲线 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 .
（i）直线 与 轴的交点为 ，求点 的坐标；
（ii）求 的取值范围.
试卷第1页，共3页《2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷05》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B B D D A ABD ABD
题号 11
答案 ABD
12．
13．5
14．
15．【详解】（1）由题意，
，所以函数 的最小正周期 ；
（2）由 得 ，因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，由余弦定理得
，所以 .
16．【详解】（1）当 时， ， ，
设点 的坐标 ，由题意得： ，解得： ，
所以 ，因此点 的坐标为 .
（2） ，
令 ，则 ，
因为 ，所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所
以 ，所以 ，即：a的取值范围是 .
17．【详解】（1）因为底面 为菱形， ，所以 是等边三角形， ，
取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ，所以 是等边三角形，则 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）知 平面 ，以A为原点， 所在直线为x轴，过A作 的垂线为 y轴， 所在
直线为z轴建立空间直角坐标系.
因为 ，所以 ，因为E为PD的中点，所以
， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 . ，设平面 的法向量为
，则 ，取 ，得 ，二面角 为钝角，故 ，
所以二面角 的余弦值为 .
18．【详解】（1）记事件 “甲、乙采用相同编码方式”， “乙正确得到该次球颜色”.
因为甲、乙独立随机选择编码方式，且选择A，B的概率均为 ，
所以 ， .
又由题意可知 ，
由全概率公式，得
所以 ；
（2）记事件 “摸到红球”， “乙显示为红球”.由题意可知 ， ，
由第（1）问可知，乙正确得到颜色的概率为 ，因此乙判断错误的概率为 ，所以 ，
.由全概率公式，得
而独立进行3次通信，故 .于是 ， .
概率分布列为：
X 0 1 2 3
数学期望为 ；
（3）（i）无窃听者时，由第（1）问可知 ，
有窃听者时，记D=“丙正确得到甲发送的信息”，E=“乙正确得到丙转发的信息”.
由题意可知 ， ，乙最终正确得到甲发送的信息，有两种互斥情形： ， .因此 ，所以 ， ；
（ii）由题意， ， ，且 .
代入统计量 ，得 ，
因为 ，所以根据题中判断标准，应判断通信过程中存在窃听.
故结论为通信过程中存在窃听.
19．【详解】（1）因为 是圆 上任意一点，点 为线段 的垂直平分线与半径 的交点，
则 ,故 ，又因为 ，则
所以 的轨迹是以 为两焦点，长轴长为4的椭圆，即 ,
故 的轨迹方程为 .
（2）（i）由已知直线 与直线 不重合，
设过 的直线 方程为 ， ，
联立 ，化简得 ，显然 ，且 ，
又因为 ，则直线 的方程为 ，令 ，得 ，
将 代入上式，可得
，所以点 的坐标为 .
（ii）由（i）得 ，
同理得， ，
则
将 代入，化简得， ，
故 令 ，则 ，
，
由 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 .
