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2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷01
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）已知 ，设与 方向相同的单位向量为 ，若 在 上的投影向量为 ，
则 与 的夹角 （ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）已知等差数列 中 ，其前 项和为 ，则 （ ）
A．185 B．190 C．195 D．200
5．（本题5分）已知圆锥的体积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面
直径是（ ）
A． B．6 C． D．3
6．（本题5分）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，
，则 （ ）
试卷第1页，共3页A． B．1 C．3 D．7
8．（本题5分）如图，焦点在 轴上的椭圆 ， 分别是左右焦点，过 的直线交
椭圆于 两点， ， 则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 “第一次出现 2 点”，事件 “两次
点数之和为奇数”，则事件 与 互斥
B．已知一组数据为 ，1，2，4，3，5，10，9，若 为这组数据的上四分位数，则
C．数据 组成一个样本，其回归直线方程为 ，其中 ，
去除一个异常点 后，得到新的回归直线必过点
D．若 ，则事件 相互独立与 互斥不可能同时成立
10．（本题6分）若 ，则下列选项正确的有
（ ）
A． B． C． D．
11．（本题6分）已知正三棱柱 的棱长均为2， 为棱 上靠近点 的四等分
点， 为棱 的中点，则（ ）
试卷第1页，共3页A．直线 直线
B．点 到平面 的距离为
C．平面 平面
D．以 为球心，2为半径的球面与该棱柱的棱公共点的个数为8
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知向量 ， ， ，若 ，则 的最小值
为_____.
13．（本题5分）已知 ，则 ________．
14．（本题5分）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、
丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，
分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，
则安排方法总数为__________.
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知向量 .设 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)记 的内角 所对的边分别是 ，已知 的面积为 ，
求 的长.
16．（本题15分）已知函数
试卷第1页，共3页(1)若曲线 在 处的切线与直线 平行，求该切线方程.
(2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围.
17．（本题15分）在平面四边形 中， （如图），
沿对角线 将 折起，使点 在平面 上的射影 恰落在 上（如图）．
(1)求证： ；
(2)求 和平面 所成角的余弦值．
18．（本题17分）已知椭圆 的离心率为 ，且C过点 ．
试卷第1页，共3页(1)求C的方程．
(2)设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积
为定值．
（ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l
的方程；若不存在，请说明理由．
19．（本题17分）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两
人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，
则红球不再放回盒中.直至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记 为
第n次摸球后游戏结束的概率.
(1)求 ， ；
(2)求 ；
(3)若摸球 次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量 ，证明：
.
试卷第1页，共3页《2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C B B C D BCD AD
题号 11
答案 ACD
12．
【详解】因为 ，故 ，即 ，
故 ，
当且仅当 ，取等号，故 的最小值为 .
13． /
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
14．208
【详解】第一步，先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，由对称性可知，只需先考虑乙丁，则有 种；第二
步，考虑中午和晚上，除掉乙丙，每个时段共有 种组合，
故中午晚上共有 种，需扣掉以下几种情况：
第一，中午晚上没有甲，则只有乙丙丁，每个时段有 种排法，共有16种；
第二，中午晚上没有丙，则每个时段有 种排法，共有36种；
第三，中午晚上没有甲丙，则只有乙丁，共有 种排法；所以中午和晚上共有
种排法，所以安排方法总数为 种.
15．【详解】（1）由题意，，所以函数 的最小正周期 ；
（2）由 得 ，因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，由余弦定理得
，所以 .
16．【详解】（1）对函数求导得 ，所以 .
因为曲线 在 处的切线与直线 平行，所以 ，解得 .所
以 ，而 .
所以该切线方程为 ，即 .
（2）对函数求导得 ，因为 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
令 ，求导得 .
当 时，则 ；当 时，则 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
所以要使得 在区间 上恒成立，则 .
所以 的取值范围是 .
17．(1)因为点 在平面 上的射影 恰落在 上，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又 ， 平面 ， ，所以平面 ，又 平面BCD，则 ；
（2）因为 平面 ，
所以 平面 ，所以 即为 和平面 所成角的平面角，
在 中， ，在 中， ，
在 中， ，所以 ，
即 和平面 所成角的余弦值为 ．
18．【详解】（1）设 的半焦距为 ．由 的离心率 ，得 ，
又 ，得 ，因此 的方程为 ，
由点 在 上，可得 ，解得 ．因此 ， ，故 的方程为 ．
(2)（ⅰ）由（1）得 的右焦点为 ，由题知 的斜率存在且不为0，设 的方程为 ，
， ．
联立方程得 消去 ，可得 ，
则 ， ．
设 的中点为 ，则 ，
因为 ，
所以 ．因为 ， ，
所以 ，
即直线 与 的斜率之积为定值 ；
（ⅱ）不存在.
因为以 ， 为邻边的平行四边形 为矩形的一个必要条件是 ，
所以 ，即 ．又 ， ，
所以 ，
，所以
，
令 ，得 ，该方程无实数解，不满足题意．当 的斜率不存在时，的方程为 ，
此时 或 与 重合，构不成四边形，也不满足题意．综上，不存在满足条件的 ．
19．【详解】（1） ，
.
（2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，摸到0，1，2个红球的概率分别为，若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1个红球的概率分别为 ，则摸球 次，记在第 次摸出第一个红球、在第 次摸
出第二个红球从而结束游戏的概率为 ，则 ，摸球 次，记
第 次摸到两个红球的概率为 ，则 ，则
.
（3）法一：设摸球 次，在第 次和第 次分别摸到一个红球的概率为
，
记 ，则 ，
可能取值为1，2，且 ，，故 .
法二：设摸球 次，在第 次和第 次分别摸到一个红球的概率为
，
摸球 次，第 次摸到两个红球的概率为 ，
①若 ，
此时当 为奇数且 时， ；当 时， ，
则 ，
故 ，
记 ，
则 ，
可能取值为1，2，且 ，
，故 .
②当 时， ，结论也成立；
综上， .
