文档内容
2025—2026 学年度下学期 2024 级
3 月月考数学试卷
命题人：肖小权 审题人：吴家欣
考试时间：2026年3月19日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1 1 1 1 1
1．已知数列 ,− , ,− , 3则该数列的一个通项公式为( )
2 6 12 20 30
1 1
A．a =(−1)n−1× B．a =(−1)n×
n 2n n n(n+1)
1 1
C．a =(−1)n+1× D．a =(−1)n−1×
n n2 n n(n+1)
2．若 f(x)= x3 − f′(1) x2 +3,则 f′(1)=( )
A．1 B．2 C．3 D．4
x2 y2 x2 y2
3．已知椭圆C: + =1的离心率为e ，双曲线E: − =1的离心率为e ，且e =6e ，
9 8 1 a2 b2 2 2 1
则双曲线E的渐近线方程为( )
3 2
A．y =±2 2x B．y =± 3x C．y =± x D．y =± x
3 4
4．若函数 f(x)= x2 −2x+3alnx有两个不同的极值点，则a的取值范围是( )
1 1 1 1
A．( ,+∞) B．(0, ) C．(−∞, ) D．(− ,0)
6 6 6 6
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述
两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，已知数列 a 满足：
n
a { }
n , a 为偶数
a =1, a = 2 n ，则a = ( )
1 n+1 2025
3a +1， a 为奇数
n n
A．4 B．3 C．2 D．1
学科网（北京）股份有限公司2x 1 2
6．现有函数 f ( x )= ，设数列{a }满足a = f(0)+ f( )+ f( )+3+ f(1)，若存在
2x + 2 n n n n
n�N�使不等式：n2 +4n−2ka +15≤0成立，则k的取值范围是( )
n
A．[6,+∞) B．[7,+∞) C．[8,+∞) D．[9,+∞)
7．若a=0.7, b=e−0.3, c=ln1.7，则a,b,c的大小关系为( )
A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．a >b>c
x2 y2
8．已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上异于顶点的一个动点，记�PF F 的
1 2 1 2
9 4
内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为( )
5 3 5 3
A． B． C． D．2
3 5 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知数列{a }为等差数列，S 为其前n项和，a =2, S =−30，则( )
n n 11 5
A．a >0 B．{a }为单调递增数列
7 n
C．使S >0的n的最小值为18 D．当且仅当n=8时，S 最小
n n
x2 +x−1
10．已知函数 f(x)= ，则下列四个结论正确的是( )
ex
A．f(x)的极大值点为2 B．若关于x的方程 f(x)=k恰有两实根，则k∈(−e,0)
C． f(f(x))=−1有4个实根 D．关于x的不等式 f(x)≤ax的整数解至少有两个
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线C:x2 + y2 =1+|x| y就是其中之一，
下列结论中正确的是( )
A．曲线 所围成的“心形”区域的面积大于
C 3
B．曲线
C
关于
y
轴对称
C．曲线 恰好经过 个整点 即横、纵坐标均为整数的点
C 8 ( )
学科网（北京）股份有限公司D．曲线 上任意一点到原点的距离都不超过
C 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15√ 分。
12．函数 f(x)= x3−27x, x∈[−4,4]的最大值为 .
13．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，∆ABC是边长为 2的正三角形，
1
三棱锥P−ABC的体积为 ，Q为BC的中点，则过点Q的平面截球O所得截面面积的最小值
6
是 .
14．已知 f(x)=ax, g(x)=log x, (a >1)，若y = f(x)与 y = g(x)的图像有两个交点，则a的
a
取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题13分)
数列{a }满足na =3(n+1)a , a =3
n n+1 n 1
（1）求数列{a }的通项公式；(2)求数列{a }的前n项和S .
n n n
16．(本小题15分)
已知函数 f(x)=ae2x +(a−2)ex −x
（1）讨论 f(x)的单调性.
（2）若 f(x)有两个零点，试求a的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司17．(本小题15分)
3
已知半径为R球O的截面BCD所在圆面面积为 πR2，BC为截面圆
4
的直径，CA为球O的直径，（1）求证：面ABD ⊥面ADC
.
（2）若球的半径为 3，劣弧BD和劣弧DC 长度之比为 1:2
试求AC、BD所成的角的余弦值.
（3）若BD和DC 长度之比为1: 3，求二面角B− AC −D的
平面角的正弦值.
18．(本小题17分)
过抛物线C：y2 =8x焦点F的直线交抛物线于点A、B两点(点A在x轴上方).
（1）若 AF =4，求点A的坐标；
|OF| |OF|
（2）当|AF|≠ BF 时，求 + 的值；
|AF| |BF|
| | | |
（3）对于x轴上给定的点D 4,0 ，若过点D和B两点的直线交抛物线C的准线于点P，问直线AP是
否经过一定点，如(果存)在，求出此定点.
19．(本小题17分)
若函数 f(x)=eax −aln(x+1), a∈R
（1）当a=−1时，求函数的单调区间.
（2）当x>0时， f(x)>1，求a的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司2 2
（3）证明：e2 +e+e3 +3+en >n+2ln(n+1), n∈N∗
.
学科网（北京）股份有限公司高二下学期 3 月月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B B C D A B BC ACD ABD
6．【答案】D 【解析】解：因为f(x)+f(1−x)=1，所以f(x)的图像关于点( 1 , 1 )成中心对称．因为
2 2
a =f(0)+f( 1 )+f( 2 )+�+f( n−1 )+f(1)，∴a = n+1，由n2+4n−2ka +15≤0，得n2+4n−2k× n+1 +15≤0，所
n n n
n n n 2 2
k≥ n2+4n+15 =n+1+ 12 +2．又g(3)=3+1+ 12 =7，所以g(2)=2+1+ 12 =7，所以g(x) =7，即k的取值范围
n+1 n+1 3+1 2+1 min
是[9,+∞).
7．【答案】A,利用ex ≥ x+1, lnx≤ x−1两个不等式放缩
8．【答案】B 解：由题知F (− 5,0)，F ( 5,0)，设PF ，PF ，F F 与圆M
1 2 1 2 1 2
分别切于点D，E，H，P(x√,y )，H(m,√0)，则x 0 2 + y 0 2 =1，又
0 0 9 4
|PF |= (x + 5) 2 +y2= (x + 5) 2 +4(1− 1 x2)= 5 x +3，因为
1 0 0 0 9 0 3 0
√
|PF |+ � |PF |=6 √ ，则|PF | � =6−|PF √ |=3− 5 x ，所以|PF |−|PF |= 2 5 x ，由
1 2 2 1 0 1 2 0
3 3
√ √
切线性质可知|PD|=|PE|， F D = F H ， F E = F H ，所以
1 1 2 2
PF − PF =|PD|+ DF − |PE|+ EF = DF − EF
1 2 1 | | | 2 | | 1 | | 2 |
| | | | | | ( | |) | | | |
=|F H|−|F H|=(m+ 5)−( 5−m)=2m，所以2 5 x =2m，又点H与点M的横坐标相同，所以点P与点M的
1 2 0
3
√
√ √
横坐标之比为x0= 3 5
m 5
√
10．【答案】ACD 【解析】对原函数求导，找极值点，画函数图像分析。
11．【答案】ABD 【解析】解：根据曲线C：x2+y2=1+|x|y，可得曲线与
x轴，y轴的交点M(1,0)，N(−1,0)，P(0,−1)，Q(0,1)，对于选项A，曲线C所围
成的“心形”区域的面积大于图中两个小正方形与一个三角形的面积之
和，
两个正方形的面积均为1，�MNP的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”
区域的面积大于3，故选项A正确；对于选项B：将方程中的x换成−x方
程不变，所以图形关于y轴对称，故B正确；对于选项C：C与x轴，y轴
的交点P(0,−1)，Q(0,1)，M(1,0)，N(−1,0)，结合曲线的图象可知，K(1,1)，H(−1,1)，故曲线一共经
学科网（北京）股份有限公司过6个整点，故选项C错误；具体证明如下：由图可知，x轴下方只有一个整点，即点P，当y>0时，
根据曲线的图象的对称性，可先设图象上第一象限的任意一点T(x,y)，则x>0，由x2+y2=1+|x|y，得
x2+y2=1+xy，即x2−xy+y2−1=0，把方程看作关于x的一元二次方程，则有Δ=y2−4(y2−1)=4−3y2≥0，解
得00，则OT= x2+y2，因
为x>0，由x2+y2=1+|x|y，得x2+y2−1=xy≤
x2+y2
，当且仅当x=y时，等号成立．所以x2+y2≤�2，即
2
OT= x2+y2≤ 2，当且仅当x=y=1时，OT取得最大值 2，即当x>0时，图象上的点到原点的距离都
不超过 2，根据曲线的图象的对称性可得，当x<0时，图象上的点到原点的距离都不超过 2；当x=0
� √ √
时，OT=1< 2.所以选项D正确．
√ √
√
2 6
12．54,13． π
3
14．【答案】π 解：设P在底面ABC上的射影为M，如图， 因为PA=PB=PC，
2
由�APM,�BPM,�CPM全等，得M为�ABC的中心，由题可知，S = 3，
�ABC
2
√
由V = 1 ×PM×S = 1，解得PM= 3，在正�ABC中，可得AM= 6．
P−ABC �ABC
3 6 3 3
√ √
从而直角三角形APM中解得PA= PM2+AM2=1．同理PB=PC=1，又�ABC是边长为 2的正三角形，
所以PA2+PB2=2=AB2，则PA�P�B，同理PB�PC，PC�PA，因此正三棱锥P−ABC可√看作正方体的一
角，正方体的外接球与三棱锥P−ABC的外接球相同，正方体对角线的中点为球心O．记外接球半径
为R，则R= 3，过点Q的平面截球O所得截面面积的最小时，截面与OQ垂直，此时截面圆半径r满
2
√
足R2=r2+OQ2，由OQ= 1得3 =r2+ 1，所以r2= 1，所以截面面积的最小值为πr2= π．故答案为：π
2 4 4 2 2 2
15．【答案】解：(1)由题意得，na =3(n+1)a 可变形为：an+1=3� an，设b = an，则b =3b ，即{b }是公比
n+1 n n n+1 n n
n+1 n n
为3的等比数列，数列{a }的通项公式为：a =n�b =n�3n，
n n n
(2)数列{a }的前n项和S =1×31+2×32+3×33+…+n×3n，则3S =1×32+2×33+…+(n−1)×3n+n×3n+1，所以
n n n
S −3S =(31+32+…+3n)−n×3n+1=
3(3n−1)
−n×3n+1=
3n+1−3
−n×3n+1，因此：−2S =
3n+1−3
−n×3n+1，故
n n n
3−1 2 2
S =
(2n−1)�3n+1+3．
n
4
学科网（北京）股份有限公司16．放缩令m=2直接求导证明
3
17．（2） （三种方法，向量坐标法，向量基底法，三余弦定理（最快））
4
2
（3） （体积法，sinα=体高：斜高）
7
18．【答案】解：(1)抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0)，准线方
程为x=−2，
则|AF|=x +2=4，x =2，结合y2=8x和点A在x轴上方，得A(2,4)；
A A
(2)(2)由F(2,0)，设直线AB为x=my+2，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
y2=8x y +y =8m
由 ，得y2−8my−16=0，则 1 2 ，
x=my+2 y y =−16
1 2
� �
显然|OF|=2，|AF|=x + p =x +2，|BF|=x + p =x +2，故
1 1 2 2
2 2
|OF| + |OF| = 2 + 2 = 2 + 2 = 2[m(y 1 +y 2 )+8] = 16(m2+1) =1．
|AF| |BF| x1+2 x2+2 my
1
+4 my
2
+4 m2y
1
y
2
+4m(y
1
+y
2
)+16 16(m2+1)
y
(3)设A(x ,y )，B(x ,y )，由题意知直线BD与x轴不垂直，所以x ≠4，所以l :y= 2 (x−4)．
1 1 2 2 2 BD x2−4
设l :x=my+2，代入y2=8x，得y2−8my−16=0，所以y y =−16，
AB 1 2
24y
又抛物线的准线方程为x=−2，y y =−16，所以P(−2, 1)，
1 2 8−y
1
所以k = y p −y 1= 8 2 − 4 y y 1 1 2 −y 1 = 8y 1，所以l :y−y = 8y 1 (x−x )，令y=0，所以x=−y × y 1 2−8 +x =− y 1 2−8 + y 1 2 =1，
AP xp−x1
−2−
y1 2 y
1
−8 AP 1 y
1
−8 1 1 8y
1
1 8 8
8
所以直线AP与x轴交于一定点(1,0)．
19．（1）（i）a≤0时， f(x)在R上单减
（ii）a>0时， f(x)在(−∞,−lna)上单减，在(−lna,+∞)上单增
（2）函数有两个零点，由（1）知a>0
（i）若a =1， f(x) = f(−lna)=0，函数只有一个零点
min
1
（ii）若a >1， f(x) = f(−lna)=1+lna− >0，函数无零点
min a
学科网（北京）股份有限公司（iii）当00，而函数在(−∞,−lna)上单减，故必有一个零
点，又limf(x)→+∞，故在(−lna,+∞)必有一个零点，综之有函数恰有两个零点，∴a∈(0,1)
x→+∞
2ex +x 2ex +x −ex(2ex +1)(ex +x−1)
另解：变量分离a= ，令y = ，求导 y′= ，利用导函数
e2x +ex e2x +ex (e2x +ex)2
分子的正负性，推出原函数的单调性，再画出原函数的草图，易知a∈(0,1)
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