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高二数学参考答案
!!#!因为"$!#"#%&’##("$#($’%$则$$"$!!$)"!
%!*!由%#!$&%在圆内$得!+&%&!&&&,#($解得&%#&#)!
)!-!由题可知’的准线方程为($&)$又点)的纵坐标为)$所以点)到准线的距离为)&
#&)%$,!
’!-!这’条直线中$只有直线#&(+!$(与#+(&!$(垂直$直线#$!与($&!垂直$
这’条直线中随机抽取%条直线$共有,种选法$其中这%条直线垂直的选法有%种$所以所
!
求概率为 !
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!"#&+& % !"#&+&% !"
! !" . /
"!*!* $ $ $ !
!" % % %
+% +% 3槡)
,!*!由双曲线焦点三角形的面积公式可知*$ $ $ $解得+%$3$即+$
%, ! ), % 槡) )
012
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%槡%!
.!4!设-为该正三棱台的外接球的球心$半径为.$- $- 分别是&$"’$&$"’ 的中
% ! ! ! !
心$-- $/$
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!/%+$-%$.%$ !/%+%’$.%$
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易得$- $%槡,$$- $)$所以 得 解得/$!$.$
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#"&/%%+$-%$.%$ #"&/%%+/$.%$
%
"$所以该正三棱台外接球的表面积为’!5"%$!((!!
3!#!直线0的方程可化为1##+(%+2##&(&%%$($所以0恒过定点3#!$&!%!
又’’的圆心’#($!%$半径为槡!’$"’3"$槡"$所以当’3(0时$"$""取得最小值$最小值
为%槡!’&"$,!
/!*#!命题&)#*!$672#$#%’的否定为&+#*!$672#,#%’$*正确(
由槡#$#$可得#$(或#$!$则&#$!’是&槡#$#’的充分不必要条件$故#正确(
% %#!+7% %#!+7%
4$ $ $ $!+7$虚部为!$故-错误(
!&7 #!&7%#!+7% !&7%
因为5#6#($所以&5-&6-($又&-+-($所以&&5-&+6$故&5#+6$4错误!
&#!&72% &
!(!#-4!由题可知*$ ! $ ! #72&!%$若*$)2+1$则1$&!$*错误!
2 !&7 7&! 2
& &
若(#7#!$*$ ! #!&72%# ! $#正确!
2 !&7 !&7
&
! #72&!%
* 2 $ 7&! $ ! # 7& ! % $当(#7#!时$ ! #($($7& ! 单调递减$所以
&
2
&
!
72&! 7&! 72&! 7&! 72&!
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#!$%&
书书书数列
!* 2"
是递增数列$当7-!时$
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-($($7&
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单调递增$所以数列
!* 2"
是递增数
&
2
7&! 72&! &
2
列!综上$数列
!* 2"
是递增数列$-正确!
&
2
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! $!$
若数列!89:#*+!%"是以!为公差的等差数列$则.7&! 解得&$%$4正确!
) 2 !
089:7$!$
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# (% %# #% % (%
!!!*-4!由 #%+ &! (%+ &! $($得#%+ $!或(%+
’ ’ ’
#% (% #%
$!$所以’由椭圆’)#%+ $!与椭圆’)(%+ $!组
’ ! ’ % ’
成$"#($&槡)%$" #($槡)%是’ 的两个焦点$$ #&槡)$(%$
! % ! !
$ #槡)$(%是’ 的两个焦点!由图可知$’ 与’ 有’个交点$所
% % ! %
以存在四个点)$使得")$"+")$"$’$且")""+")""$’$
! % ! %
! 槡)
-正确!’ 与’ 的离心率均为槡!& $ $*正确!当直线($槡%#+1经过点$ 时$(
! % ’ % !
(%
$槡%#+1即($槡%##+槡)%$代入#%+ $!$得)#%+%槡)#+!$($因为!$!%&!%$
’
($所以直线($槡%##+槡)%与’ 相切$且切点不在’ 上$易知直线($槡%##+槡)%与’
! % !
相交$所以经过点$ 的直线($槡%#+1与’有)个公共点$#错误!不妨设%在8的左
!
边$当&3%8为正三角形时$直线3%的倾斜角为,(;$则直线3%的方程为($槡)#+%$
#%
由图可知$当%在’ 的下半部分时$&3%8的周长最大$将($槡)#+%代入(%+ $
% ’
%<,槡)
!$得!)(%&’(&3$($解得($ $所以点3到直线%8的距离的最大值为%&
!)
%&,槡) %’+,槡)
$ $4正确!
!) !)
#!%)
!%!!"!依题意可得该乒乓球第)次触地后弹起的高度为!%(5 $!"=>!
%
!)!#($%%!画出9##%的大致图象$如图所示!易得1的取值范围为#($%%!
槡%
!’! !以$为原点$$"$$$ 所在直线分别为#轴*4轴$建立如图所示的空间直角坐标系!
% !
221
因为$"$%$$ $%$所以$#($($(%$"#%$($(%$"#%$($!%$’ #!$槡)$!%$所以"$$
! ! !
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!"#!$%&221 221 221 221
#&%$($(%$$"$#%$($!%$"’$#&!$槡)$!%!设$)$:$"$#%:$($
! ! !
221 221 221
:%#(3:3!%$则")$"$+$)$#%:&%$($:%$故点)到直线"’ 的
!
221 221
距离 6$ 槡"
22
)
1
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22
+
1
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$ 槡":%&3:+’&
’&’:+:%
$
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%’# )%% ! 槡%
槡 :& + 4 !
" ’ % %
!"!解)#!%因为方程#%+(%+%#&’(+%&$(表示圆$
"
所以%%+#&’%%&3&-($解得&# !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
%
又$#%$!%是圆%)#%+(%+%#&’(+%&$(外一点$所以’+!+’&’+%&-($解得&-
"
& $,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
%
# " "%
所以&的取值范围为 & $ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
% %
#%%由题可知&$&%$则圆%)#%+(%+%#&’(&’$($即##+!%%+#(&%%%$/$圆%的
圆心为%#&!$%%$半径为)!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
当切线的斜率不存在时$切线的方程为#$%$
此时圆心%#&!$%%到直线#$%的距离为)$;$故满足相切关系(,,,,,,,,/分
当切线的斜率存在时$设切线方程为(+’$:##&%%$即:#&(&%:&’$($
"&:&%&%:&’" )
则圆心’#&!$%%到直线:#&(&%:&’$(的距离为 $)$解得:$& $
槡!+:% ’
) "
所以切线方程为& #&(& $($即)#+’(+!($(!,,,,,,,,,,,,!%分
’ %
故所求切线的方程为)#+’(+!($(或#$%!,,,,,,,,,,,,,,,,!)分
!,!解)#!%由题意可得672%$+672%’&672%"$&672$672’$,,,,,,,,,,,,!分
根据正弦定理可得&%+5%&+%$&&5$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
&%+5%&+% &&5 !
所以=96"$ $ $& !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
%&5 %&5 %
%!
因为"*#($!%$所以"$ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分
)
#%%因为槡)&=96$$+$所以槡)672$=96$$672"$,,,,,,,,,,,,,,,.分
所以672%$$!$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,/分
! !
则%$$ $即$$ $,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
% ’
#! % 槡) 槡% ! 槡% 槡,&槡%
672’$672 &$ $ 5 & 5 $ !,,,,,,,,,,,,,,!"分
) % % % % ’
!.!#!%证明)连接$’$因为$35"’$%$"’$/(;$$3$%$$"$"’$!$所以$’$槡%$’3$
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!"#!$%&槡%! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!分
又$’%+’3%$$3%$所以$’(’3!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
因为)$(平面$"’3$所以)$(’3$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
因为)$$$’$$$所以’3(平面)$’!,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
因为)’6平面)$’$所以)’(’3!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分
#%%解)以$为坐标原点$$"$$3$$)所在直线分别为#$($
4轴建立空间直角坐标系$
221 221
则’#!$!$(%$3#($%$(%$)#($($!%$’3$#&!$!$(%$)3$
#($%$&!%!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3分
设平面’3)的法向量为!$##$($4%$
221
!’3+!$&#+($($
则
221
取($!$则#$!$4$%$
)3+!$%(&4$($
所以平面)’3的一个法向量可以为!$#!$!$%%$ ,,,,,,,,,,,,,,!!分
显然"$#($!$(%是平面)$"的一个法向量!,,,,,,,,,,,,,,,,!)分
设平面)$"与平面)’3的夹角为"$
"!+"" ! 槡,
则=96"$"=96-!$"."$ $ $ $
"!"""" !5槡, ,
槡,
所以平面)$"与平面)’3夹角的余弦值为 !,,,,,,,,,,,,,,,!"分
,
!3!解)#!%由&% &&%$%&+%& $得#& &&%#& +&%$%#& +&%$,,,,!分
2+! 2 2 2+! 2+! 2 2+! 2 2+! 2
因为& +&-($所以& &&$%$所以!&"是首项为!$公差为%的等差数列$
2+! 2 2+! 2 2
所以&$%2&!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
2
由*$%+&!$得当2$!时$+$%+&!$解得+$!$,,,,,,,,,,,,,’分
2 2 ! ! !
当24%时$+$*&* $%+&!&#%+ &!%$所以+$%+ #24%%$
2 2 2&! 2 2&! 2 2&!
所以!+"是首项为!$公比为%的等比数列$即+$%2&!!,,,,,,,,,,,,,分
2 2
#%%因为5$&++$#%2&!%+%2&!$
2 2 2
所以< $!5%(+)5%!+,+#%2&)%+%2&%+#%2&!%+%2&!$
2
所以%< $!5%!+)5%%+,+#%2&)%+%2&!+#%2&!%+%2$
2
%&%2
则&< $!+%#%!+%%+,+%2&!%&#%2&!%+%2$!+%+ &#%2&!%+%2
2 !&%
$#)&%2%+%2&)$所以< $#%2&)%+%2+)!,,,,,,,,,,,,,,,!(分
2
2#2&!% %#’2&!%
#)%由等差数列的求和公式及等比数列的求和公式可得= $2+ +’+
%2 % ’&!
%#’2&!%
$%2%&2+ $,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!%分
)
)’ %#’2&!% )’
所以= &%2%+2+ 4#+ 等价于 + 4#+%2&!$
%2 ) 2 ) )
%%2+!+)%
化简可得#3 $ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!’分
)+%2&!
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!"#!$%&%%2+!+)% 3/%+)% 3/ )% 3# ’% )%
令%2&!$/4!$则 $ $ + $ /+ 4 $当且仅当/$%$即2$%
)+%2&! )/ ) )/ ) / )
时$等号成立$,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!,分
)% )%
所以#3 $即#的最大值为 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!.分
) )
! > !
!/!#!%解)因为’的准线方程为#$& $所以& $& $即>$!$ ,,,,,,,,!分
% % %
所以1$%>$%$则’的方程为(%$%#!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
#%%#"%解)依题意得直线0的方程为($:#&!$
代入(%$%#$得:%#%&#%:+%%#+!$($,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
则!$’#:+!%%&’:%$3:+’-($且:,($ ,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
# ! %
所以:的取值范围是 & $( 7#($+?%!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分
%
%:+% !
##%解)设$##$(%$"##$(%$则#+#$ $##$ $ ,,,,,,,,.分
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221 221
所以-$+-"$##+(($##+#:#&!%#:#&!%$#!+:%%##&:##+#%+!
! % ! % ! % ! % ! % ! %
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3分
!+:% %:%+%: ! %
$ & +!$ & !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,/分
:% :% :% :
! ! ! % #! %% # ) %
若:-1$即:-%$则(# # $则 & $ &! &!* & $( $
: % :% : : ’
221 221 # ) %
即-$+-"的取值范围是 & $( !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!(分
’
(
#$%证明)因为直线-"的方程为($ % #$,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
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所以点3的坐标为 # #$ # ! ( %% !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!%分
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设线段$3的中点为8##$(%$则#$#$($ ! + ! %$,,,,,,,,,,!)分
( ( ( ! ( % %#
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( #( %##+#(+#( %##+##:#&!%+##:#&!%
则#+($#+ ! + ! % $ ! % % ! ! % $ ! % % ! ! %
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#%:+%% &
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% %
所以点8##$(%在直线#+($(上$故线段$3的中点在一条定直线上!,,,,!.分
( (
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