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福州第二中学 2023-2024 学年第二学期期末考试
高二数学
一、单选题
1. 已知 ，则 的值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.
【详解】由 ，
则 .
故选：D
2. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即可得出．
【详解】由已知 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 .
故选：B.
3. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断B，C，利用对数函数和指数函数的性质判断A，D.
【详解】因为函数 在 上单调递增， ，所以 ，A错误，
因为 ，由不等式性质可得 ，B错误，
因 ，所以 ， ，所以 ，故 ，C错误，
为
因 函数 在 上单调递减， ，所以 ，∴D正确，
为
故选：D.
4. 已知 的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含 的项的系数为（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】根据所有项的系数之和求解 ，写出 的展开式，求 与二项式中含 的项相乘所得的
项，-1与二项式中含 的项相乘所得的项，两项相加，即为 的展开式中含 的项.
【详解】所有项的系数之和为64，∴ ，∴
， 展开式第 项 ，
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学科网（北京）股份有限公司时， ， ，
时， ， ， ，
故选：B．
5. 已知函数 的部分图像如图所示，则函数 的一个单调递增区间是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图像得出解析式，再由正弦函数的单调性判断即可.
【详解】根据函数 的部分图像，可得
解得 ，∴函数
再把 代入函数的解析式，可得
∴ 故函数 .
令 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，函数 的一个单调递增区间是 .
故选：D.
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C的左、右支分
别交于点P、Q.若 ，且 ，则C的离心率为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设 ，则 ， ，再由双曲线的定义可
得 ， ，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可
得 ， 的关系，可求出离心率．
【详解】 ，设 ，则 ， ，
由双曲线的定义可得 ， ，
因为 ，
在 中，由余弦定理有 ，
即 ，①
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由余弦定理有 ，
即 ，②
由②可得 ，代入①可得 ，即 .
所以C的离心率为： ，
故选：A.公众号：高中试卷君
7. 等差数列 ，满足
，则（ ）
A. n的最大值是50 B. n的最小值是50
C. n的最大值是51 D. n的最小值是51
【答案】A
【解析】
【分析】
不妨设 ， ，由对称性可得： .可得 ， .解得 .可得
，可得 ，解出即可得出.
【详解】解：不妨设 ， ，由对称性可得： .则 ， .
， ，
∴
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得： ，
∴ ，∴ .
∴n的最大值为50.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质､方程与不等式的解法，考查了推理能力与计
算能力，属于难题.
8. 对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
其中正确的命题个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不
等式，即可判断②.
【详解】①将曲线 中的 换成 ，将 换成 ，方程不变，所以曲线关于原点对称，并
且关于 轴和 轴对称，故①正确；
②设曲线 上任一点为
，
当 ，即 时，等号成立，
所以 ，曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；
③曲线 中的 换成 ，将 换成 ，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于 轴和
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学科网（北京）股份有限公司轴对称，并且将 换成 ， 换成 ，方程不变，所以曲线也关于 对称，
曲线 中， 且 ，将曲线 中的 换成 ， 换成 ，方程不变，所
以曲线 也关于 对称，
当 时，联立 ，得 ，
当 时， ，当 时，函数单调递减，
因为 ，所以点 在直线 的下方，如图，在第一象限有2个交点，
根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判
断函数的单调性，即可判断.
二、多选题
9. 已知 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 奇函数 B. 的值域是
C. 的递增区间是 D. 的值域是
【答案】ABC
【解析】
【分析】
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学科网（北京）股份有限公司的
对于A，利用奇函数 定义进行判断；对于B，D，利用判别式法求其值域；对于C，利用单调性的定义进
行判断
【详解】对于A， ，其定义域为 ，有 ，为奇函数，A正确；
对于B， ，变形可得 ，则有 ，解可得 ，即函数的值
域为 ，B正确，
对于C， ，任取 ，且 ，则
，
当 ，所以 ，即 ，所以 的递增区间是 ，所以C正
确，
对于D，由选项B的结论，D错误，
故选：ABC．
10. 已知抛物线 的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则
（ ）
A. 最小值为2 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若点P不在x轴上，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.
【详解】点 ，抛物线的准线方程为 ，
设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点P在横轴上时 有最小值2，所以选项A正确；
若 ，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，
把 代入 中，得 ， ，此时 ，
于是有 ，所以选项B正确；
因为 ，显然点P不在横轴上，
则有 ，
所以直线 的方程为 代入抛物线方程中，得
，设 ，
，
，所以选项C正确，
点P不在x轴上，由上可知： ， ，
，
而 ，显然 ，所以选项D不正确，
故选：ABC
11. 已知随机变量X、Y，且 的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司.
A B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由分布列的性质和期望公式求出 可判断ABC；由方差公式可判断D.
【详解】由 可得： ①，
又因为 ，解得： ，故C正确.
所以 ，
则 ②，所以由①②可得： ，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
12. 已知数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， B. 若数列 为常数列，则
C. 若数列 为递增数列，则 D. 当 时，
【答案】AD
【解析】
【分析】令 可得 ，据此判断A，令 ，由递推关系 求出即可判断
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学科网（北京）股份有限公司B，根据B及条件数列 为递增数列，分类讨论求出 或 时判断C，通过对 取对数，
构造等比数列求解即可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，故 ，即
，A正确；
对于B，若数列 为常数列，令 ，则 ，解得 或 或 ，B不
正确；
对于C，令 ，则 ，
若数列 为递增数列，则数列 为递增数列，则 ，解得 或 .
当 时， ，且 ，
，此时数列 为递增数列，即数列 为递增数列；
当 时， ，且 ，
，此时数列 不为递增数列，即数列 不为递增数列；
当 时， ，
，此时数列 为递增数列，即数列 为递增数列.
综上，当 或 ，即 或 时，数列 为递增数列，C不正确；
对于D，令 ，则 ， ，两边同时取以2为底的对数，得 ，
，
数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，求解时将已知
条件变为 是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数
列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.
本题难度比较大，起到压轴的作用.公众号：高中试卷君
三、填空题
13. 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.
【详解】解：由 ，可得 ，
所以函数 的定义域是 ，
故答案为： .
14. 若一个圆的圆心是抛物线 的焦点，且该圆与直线 相切，则该圆的标准方程是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心和半径可得答案.
【详解】抛物线的焦点为 ，故圆心为 ，
圆的半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故圆的方程为： ．
故答案为： ．
15. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 为奇
函数， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】由 的对称性及 得 ，再由 为奇函数得
，从而得 ，即 是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.
【详解】由 为奇函数，得 ，即 ，
由 ，得 ，又 ，
于是 ，即 ，从而 ，
即 ，因此 ，函数 的周期为8的周期函数，
显然 ，又 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数 关于直线 对称，则有 ；函数 关于 中
心对称，则有 ；函数 的周期为 ，则有 .
四、解答题
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学科网（北京）股份有限公司16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 的面积 .
（1）求B；
（2）若a､b､c成等差数列， 的面积为 ，求b.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B；
（2）由a､b､c成等差数列，可得 ，再由 的面积为 ，可得 ，然后利用
余弦定理可求得结果
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ .
【小问2详解】
∵ ､ ､ 成等差数列，
∴ ，两边同时平方得： ，
又由（1）可知： ，
∴ ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由余弦定理得， ，
解得 ，
∴
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150件
进行检验，数据如下：
优级 合格 不合格 总
品 品 品 计
甲车
26 24 0 50
间
乙车
70 28 2 100
间
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级 非优级
品 品
甲车
间
乙车
间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产
品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认
为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
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学科网（北京）股份有限公司附：
0.05 0.01
0.001
0 0
3.84 6.63 10.82
k
1 5 8
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 ，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得 ，根据题意计算 ，结合题意分析判断.
【小问1详解】
根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得 ，
因为 ，
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异.
【小问2详解】
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 ，
用频率估计概率可得 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
可知 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
18. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简 可得 ，结合角的
范围，可证明结论；
（2）由正弦定理可得 ，结合（1）的结论利用二倍角公式可求出 ，继而求得
，结合已知条件即可求得答案.
【小问1详解】
由 及正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，或 （即 ，不合题意，舍去），
所以 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，
由（1）知 ，代入上式可得 ，
所以 ，
再由条件可得 ．
19. 双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比
赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有
偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直
到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组
的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相
互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，
胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为 ）对阵负者组
最终获胜的选手（败过一场，记为 ），若 胜则 获得冠军，若 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某
围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场
对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.
（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件 ，求 的概率；
（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为 ，解决以下问题：
①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；
②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量 ，求 的分布列.
【答案】（1） ；（2）① ；②答案见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求
得答案；
（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公
式求解即可
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学科网（北京）股份有限公司②由题意可得 ，然后求出各自对应的概率，从而可得 的分布列
【详解】（1）8人平均分成四组，共有 种方法，
其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为 ，
所以
（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为
②若甲在第一轮获胜， .
当 时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即 .
当 时，有两种情况：
（i）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为 ；
（ii）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，
概率为 ，
所以
当 时，有两种情况：
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学科网（北京）股份有限公司（i）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为 ；
（ii）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，
概率为 ；
所以 .
当 时，有两种情况：
（i）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，
其概率为 ；
（ii）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，
其概率为 ；
所以 .
当 时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即 .
所以 的分布列为：
3 4 5 6 7
【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是正确
理解题意，求出 对应的概率，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题
20. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 .
（1）求角 的大小；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 为 的中点，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式计算可得；
（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．
【小问1详解】
解：在 中， ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
【小问2详解】
解：在 中， ，
在 中， ，
又 ，
，
，
代入上式得 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ．
21. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）对 a∈(0，1)，是否存在实数λ， ，使 成立，
若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）求函数导数，分 三种情况，分析 与 的关系，即可求出函数的单调
区间；
（2）由题意转化为 且 ，利用导数求出 ，
，即转化为 ，构造函数 ，利用导数可求出
，即可求解.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
①当a=0时， ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
②当a>0时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
③当a<0时， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）由 ，得 ，当 时， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故当 时，
当 时， ，由（1）知，当 时，
所以 ，
若对 使 成立，即
则 且 .
所以 ，所以 .
设 ，则 ，
令 则 ，
当 时，由 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以 在[0,1]上单调递减，
第23页/共24页
学科网（北京）股份有限公司所以 时， ，即 ,
又 时, ,
所以当 时， 单调递减，
所以当 时， ，
即 时， ，故 .
所以当 时，对
使 成立.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，恒成立问题，转化思想，
分类讨论思想，考查了推理能力和运算能力，属于难题.
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
