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广西玉林市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月阶段性检测
数学试题
一、单选题
1．已知数列 为正项等比数列，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．2
2．某大学有5个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为（ ）
A．5 B．20 C．25 D．50
3．对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“曲线 在 处的切线的倾斜角为 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 ，且 ，则 （ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45
6．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为 ，
合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为
，方差为 ，当 最大时， （ ）
A． B． C． D．7．下列说法错误的个数为（ ）
①若随机变量 服从两点分布（或 - 分布），且 ，则 ；
②要将 个不同的礼物分给 位同学，每人至少 个，不同分法的种数是 种；
③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件 为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件 为两枚骰子点数之和
为8，则 ；
④某人射击 次，未击中目标的概率为 ，连续射击 次，设击中目标的次数为 ，且每次射击相互没有
影响，则 .
A． B． C． D．
8．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，
且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ）
A．720 B．1480 C．1080 D．1440
二、多选题
9．设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
10．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）
A．数列 的公差小于0 B．数列 的公差与数列 的公差相等
C． 中 最大 D．使得 的正整数 的最小值为22
11．已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，满足 （ 为自然对数的底数），且 0，则（ ）
A．
B． 在 处取得极小值
C．存在唯一的实数 使得
D．
三、填空题
12．一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个．若从中一次取3个球，
记所取球中白球个数为 ，则随机变量 的期望为________．
13． 的展开式中，记 项的系数为 ，则 ______．
14．已知等差数列 首项为2，公差为2，前n项和为 ，数列 前n项和为 ，且满足
．若对于任意 ， 成立，则m的最小值为_____________．
四、解答题
15．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：
价格 （元 ）
日需求量 （ ）
(1)求 关于 的线性回归方程；
(2)利用（1）中的回归方程，当价格 元 时，日需求量 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程 ，其中 ，
16．已知数列 的首项 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
17．某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图
所示.
(1)为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产
的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据
小概率值 的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联?
产品质量指标值
设备
超过75 不超过75
新设备
旧设备 100 900
(2)以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在 的产品数为 ，求
的分布列以及数学期望 .附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.70 3.84 6.63 10.82
6 1 5 8
18．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道
几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子
中依次抽取2道题（不放回）作答．
(1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
(2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取
题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
19．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有两个不同零点 ， ，证明： 且 .参考答案
1．B
【详解】由等比数列的性质可得， ，
因 ,故 .
2．C
【详解】依题意，从任意一个门进，有5种方法，又从任意一个门出，也有5种方法，
由分步乘法计数原理，共有不同的走法种数为 .
故选：C.
3．A
【详解】由散点图可知，相关系数 所在散点图呈负相关， 所在散点图呈正相关，
所以 都为正数， 都为负数.
所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1，
而 所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1.
综上可得： .
故选：A.
4．B
【详解】由 ，得 ．
由曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，
可得 ，解得 或 ．
故“曲线 在 处的切线的倾斜角为 ”是“ ”的必要不充分条件．
5．C
【详解】由正态分布的对称性可知， ， ，已知，
所以 ，因为 ，
且 ，所以 ，又因为
，
所以 ，代入 ，
可得 ，故 ，所以 .
故选：C.
6．C
【详解】依题意，合格项目的个数 ，则 ， ，
由每个项目合格得 分，不合格扣2分，得甲的总得分 ，
因此 ， ，
则 ，又 ，
所以当 时， 取得最大值 .
故选：C
7．A
【详解】解：①根据两点分布的均值 ，方差 ，
若 ，则 ，因此①错误；
②将 个不同的礼物分给 位同学，每人至少 个，则说明必有 人拿到 个礼物，
所以可以先取 个礼物，共有 种；再将分好的 组礼物分配，共有 种，
因此，不同分法的种数为 种，②正确；
③由事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，则第一枚点数可能为 ， ， ，共 种，而第二枚点数无要求，因此 种；
又第一枚骰子投出的点数为奇数，两枚骰子点数之和为 的情况，有 和 ，
则 ，因此 ，③正确；
④由未击中目标的概率为 ，则击中目标的概率为 ，连续射击 次，每次都相互独立，且概率
均相同，
因此击中次数服从二项分布，即 ，因此④正确.
8．D
【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，
则主治医师的分配方案有2种，即“ ”或“ ”.
当主治医师按照“ ”分配时，主治医师的分法种数为 ，
再将4名实习医生按照“ ”与之配成对应的三组，分法种数为 ，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为 ，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为 ；
当主治医师按照“ ”分配时，主治医师的分法种数为 ，
再将4名实习医生按照“ ”与之配成对应的三组，分法种数为 ，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为 ，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为 .
根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为 .
故选：D.
9．CD
【详解】由概率的性质可得 ，解得 ，
，，
，
,
故选：CD
10．AC
【详解】由 ，可得： ,
，则 ，
所以数列 的公差 ，故A正确；
等差数列前 项和 ，因此 ，
即 公差为 的等差数列，与原数列公差 不相等，故B错误；
由 ， ， ，可知等差数列 前11项均为正，从第12项开始为负，因此 最大，故C
正确；
利用等差数列求和公式计算可得 ，
， ，
因此要使 的正整数 的最小值为 ，不是 ，故D错误.
11．BCD
【详解】设 ，则 ，
可得 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，得 ，故选项A不正确；可设 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，故选项B正确；
又因为 ，可得函数 大致图象如下：
结合图象知，存在唯一的实数 使得 ，故C正确；
由于 ，而 ，
所以 ，故选项D正确.
故选：BCD.
12．1
【详解】由题知， 的所有取值为0，1，2.
， ， .
所以随机变量 的期望为 .
故答案为： .
13．30
【详解】含有 的项为 ，则 ；含有 的项为 ，则 ；
则 .
故答案为：30.
14．
【详解】由题可知 ，则 ，
，
= = .
设 ， .
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
则 在 时取得最大值.
15．(1)
(2)预测值为
【详解】（1）由表格中的数据可得 ， ，
由题意得 ，
且 ，5
∑ x y −5x⋅y
i i
720−5×20×8
所以b^= i=1 = =−0.32， ，
5 2250−5×202
∑ x2−5x2
i
i=1
故回归直线方程为 .
（2）将 代入回归直线方程得 ，
当价格 元 时，日需求量 的预测值为 .
16．(1)证明见解析
(2) .
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列；
（2）由（1）可得： ，则 ，
所以 ① ，
则 ②，
两式相减得： ，所以 ，
所以 .
17．(1)能认定产品质量与设备的新旧有关联
(2)分布列见解析， .
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过 的频率为 ，
所以产品的质量指标值超过 的有 件，
所以产品的质量指标值不超过 的有 件，
故列联表如下：
产品质量指标值
设备 合计
超过75 不超过75
新设备 250 750 1000
旧设备 100 900 1000
合计 350 1650 2000
假设： 产品质量与设备的新旧无关联，
，
所以依据小概率值 的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联.
（2）解：新设备产品质量指标值在 的频率为： ，
故根据频率估计概率，质量指标值在 的概率为 ，
所以随机抽取4件，记质量指标值在 的产品数为 ，
所以 ； ；； ；
，
所以 的分布列如下表：
0 1 2 3 4
所以，数学期望 .
18．(1)
(2)
【详解】（1）设事件 表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件 表示“甲第二次从A箱中抽到几
何题”，
则 ．
在 发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以 ．
故 ．
（2）设事件 为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，
事件 为“乙从A箱中取出2道代数题”，
事件 为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，
事件 为“乙从A箱中取出2道几何题”，
则 ．
当 发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题， ；当 发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题， ；
当 发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题， ．
由全概率公式可得 ．
19．(1)
(2)当 时， 在 上单调递减； 在 上单调递增；
当 时，故 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减.
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得 .
当 时， ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为： ，即 .
（2）① ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；②当 时，由 得， 或 .
（i） ，即 时，
当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
（ii） ，即 时，同理可得 在 上单调递减；
（iii） ，即 时，同理可得 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
综上可得，当 时， 在 上单调递减； 在 上单调递增；
当 时，故 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）由（2）知， 时， 的极小值为 ，
当 时， 的极小值为 ，
当 时， 在 单调递减，故 时， 至多有一个零点.
当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
要使 有两个零点，则 ，即 ，得 .
令 ， ，
则
，
所以 在 时单调递增， ， .
不妨设 ，则 ， ， ， .
由 在 单调递减得， ，即 .
