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2025学年第二学期高二阶段性质量检测试卷
参考答案
命题人：临平中学 天台中学； 审题人：慈溪中学 终审人：元济中学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D B B A C C C ABC ABC BD
12.400 13.√2+1 14.[√2，√10 )
2
15【答案】(1)由射影定理知𝑎 =𝑏∙𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝐵，
∴𝑐∙𝑐𝑜𝑠𝐵 = √3 𝑐∙𝑠𝑖𝑛𝐵，
3
𝜋
∴𝐵 = …………………………………………………………………………………………5分
3
𝑏 𝜋
(2)𝑎+𝑐 = (𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐶)=4𝑠𝑖𝑛(𝐴+ )，
𝑠𝑖𝑛𝐵 6
𝜋 𝜋
∵锐角∆𝐴𝐵𝐶，∴𝐴∈( ， )
6 2
∴𝑎+𝑐 ∈(2√3，4]，
∴∆𝐴𝐵𝐶周长的取值范围是(2√3+2，6].…………………………………………………13分
3
16【答案】(1)取𝐴𝐷中点𝑀，∆𝐴𝐸𝑀中，𝐴𝐸 =3，𝐴𝑀 = ，∠𝐵𝐴𝐷 =60°，
2
∴𝐸𝑀 = 3√3，𝐸𝑀 ⊥𝐴𝐷，
2
∆𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝑀 ⊥𝐴𝐷，∴𝐴𝐷 ⊥平面𝐶𝑀𝐸，
∴𝐴𝐷 ⊥𝐶𝐸.……………………………………………………………………………………6分
(2)作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，作𝐷𝐼 ⊥𝐴𝐵于𝐼，𝐻⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 与𝐼⃗⃗⃗𝐷⃗ 所成角即为所求角，记为𝜃，
𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =𝐶⃗⃗⃗⃗𝐻⃗ +𝐻⃗⃗⃗⃗𝐼 +𝐼⃗⃗⃗𝐷⃗ ，平方得|𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ | 2 =|𝐶⃗⃗⃗⃗𝐻⃗ | 2 +|𝐻⃗⃗⃗⃗𝐼 | 2 +|𝐼⃗⃗⃗𝐷⃗ | 2 +2|𝐶⃗⃗⃗⃗𝐻⃗ |∙|𝐼⃗⃗⃗𝐷⃗ |∙(−𝑐𝑜𝑠𝜃)，
其中|𝐶⃗⃗⃗⃗𝐻⃗ |= 5√3，|𝐼⃗⃗⃗𝐷⃗ |= 3√3，∴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1
2 2 15
1
∴二面角𝐶−𝐴𝐵−𝐷的余弦值为 .…………………………………………………………15分
15
1
17【答案】(1)由题意√(𝑥−1)2+𝑦2 =|𝑥−4|∙ ，
2
两边平方得𝑥2−2𝑥+1+𝑦2 = 1 (𝑥2−8𝑥+16)，
4
化简得𝑥2
+
𝑦2
=1；………………………………………………………………………………4分
4 3
(2)(𝑖)设𝑙 ：𝑥 =𝑘𝑦+1(𝑘 ≠0)，设𝐴(𝑥 ，𝑦 )，𝐵(𝑥 ，𝑦 )
𝐴𝐵 1 1 2 2
与椭圆联立得(3𝑘2+4)𝑦2+6𝑘𝑦−9=0，𝑦 +𝑦 = −6𝑘 ，𝑦 𝑦 = −9
1 2 3𝑘2+4 1 2 3𝑘2+4
1
线段𝐴𝐵的垂直平分线方程为𝑦=−𝑘(𝑥− )，
3𝑘2+4
1
∴𝑃的坐标为( ，0)
3𝑘2+4
13
𝑆 =
|𝑃𝐹|∙|𝑦1−𝑦2 |
=
18(𝑘2+1)2，
∆𝑃𝐴𝐵 2 (3𝑘2+4)2
设√𝑘2+1=𝑡，𝑡 >1
18𝑡3 54𝑡2(−3𝑡4+2𝑡2+1)
𝑓(𝑡)= ，𝑓′(𝑡)= <0，∴𝑓(𝑡)单调递减，
(3𝑡2+1)2 (3𝑡2+1)4
9
∴𝑆 ∈(0， )………………………………………………………………………………10分
∆𝑃𝐴𝐵
8
(𝑖𝑖)若存在，由图形对称性知点𝑄在𝑥轴上，
由相交弦定理知，|𝐹𝐴|∙|𝐹𝐵|=|𝐹𝑄|∙|𝐹𝑃|，𝑄在𝐹右侧，
|𝐹𝐴|∙|𝐹𝐵|=(𝑘2+1)(−𝑦 𝑦 )=
9(𝑘2+1)
，
1 2 3𝑘2+4
|𝐹𝑃|=
3𝑘2+3，∴|𝐹𝑄|=3，
3𝑘2+4
∴𝑄的坐标是(4，0)……………………………………………………………………………15分
5 1
18【解析】(1) ，0， ；………………………………………………………………………3分
6 6
(2)设𝑛次球之后，球在甲手中的概率是𝑎 ，在乙手中的概率是𝑏 ，在丙手中的概率是1−𝑎 −𝑏 ，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
𝑎 =𝑏 =0
2𝑘−1 2𝑘 1
{ 𝑎 2𝑘+2 =(1−𝑎 2𝑘+1 −𝑏 2𝑘+1 )+ 1 𝑏 2𝑘+1，化简得{ 𝑎 2𝑘+2 =1− 2 𝑏 2𝑘+1 ，
2 2
𝑏 =(1−𝑎 −𝑏 )+ 1 𝑎 𝑏 2𝑘+1 =1− 3 𝑎 2𝑘
2𝑘+1 2𝑘 2𝑘 2𝑘
3
1 1
∴𝑎 = 𝑎 + ，
2𝑘+2 2𝑘
3 2
∴𝑎 2𝑘+2 − 3 4 = 1 3 (𝑎 2𝑘 − 3 4 )，𝑎 2 = 5 6 ，∴𝑎 2𝑘 = 3 4 + 1 4 ∙( 1 3 ) 𝑘 ，
0，𝑛是奇数
∴𝑎 ={ 𝑛 ……………………………………………………………………13分
𝑛 3 + 1 ∙( 1 )2，𝑛是偶数
4 4 3
(3)𝐸(𝑋)=∑𝑛 𝑎 ，
𝑖=1 𝑖
𝑛
当𝑛是偶数时，𝐸(𝑋)= 1 (3𝑛+1−( 1 )2)；
8 3
𝑛−1
当𝑛是奇数时，𝐸(𝑋)= 1 (3𝑛−2−( 1 ) 2 ).……………………………………………………17分
8 3
19【答案】(1)设切点(𝑎，𝑎3−3𝑎𝑙𝑛𝑎)，𝑎 >0，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3𝑙𝑛𝑥−3，
∴切线斜率𝑘 =3𝑎2−3𝑙𝑛𝑎−3，
∴切线方程是𝑦 =(3𝑎2−3𝑙𝑛𝑎−3)(𝑥−𝑎)+𝑎3−3𝑎𝑙𝑛𝑎，
(0，√2)代入化简得2𝑎3−3𝑎+√2=0，
2
即(𝑎− √2 ) (𝑎+√2)=0，
2
∴𝑎 = √2，∴𝑘 = 3 𝑙𝑛2− 3 .……………………………………………………………………4分
2 2 2
(2)𝑥3−3𝑥𝑙𝑛𝑥 =𝑘𝑥+𝑚，
2法一：参变分离得𝑘 =𝑥2−3𝑙𝑛𝑥− 𝑚 ，记𝑔(𝑥)=𝑥2−3𝑙𝑛𝑥− 𝑚 ，即求𝑚的最小值，使得𝑔(𝑥)在定义
𝑥 𝑥
域内单调且值域为𝑅
𝑔′(𝑥)=2𝑥−
3
+
𝑚
=
2𝑥3−3𝑥+𝑚，
𝑥 𝑥2 𝑥2
分子记为ℎ(𝑥)=2𝑥3−3𝑥+𝑚，在(0，√2 )单调递减，( √2 ，+∞)单调递增，
2 2
∴ℎ(𝑥)∈[𝑚−√2，+∞)，∴𝑚的最小值为√2，
此时𝑔′(𝑥)≥0即𝑔(𝑥)单调递增，且lim(𝑥2− 3𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑚 )=−∞，lim (𝑥2− 3𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑚 )=+∞，即𝑔(𝑥)的
𝑥→0 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥
值域为𝑅
法二：参变分离得𝑚 =𝑥3−3𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑘𝑥，记𝐴(𝑥)=𝑥3−3𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑘𝑥，
即对于任意实数𝑘，求𝐴(𝑥)中𝑥与𝑦一一对应的值域
𝐴′(𝑥)=3𝑥2−3𝑙𝑛𝑥−3−𝑘在(0，√2 )单调递减，( √2 ，+∞)单调递增，
2 2
3 3
𝐴′(𝑥) = 𝑙𝑛2− −𝑘，
𝑚𝑖𝑛
2 2
3 3
当𝑘 ≤ 𝑙𝑛2− 时，𝐴(𝑥)单调递增，值域为𝑅，此时𝑚 ∈𝑅；
2 2
当𝑘 > 3 𝑙𝑛2− 3 时，设𝐴′(𝑥)=3𝑥2−3𝑙𝑛𝑥−3−𝑘的两个零点为𝑥 ，𝑥 (𝑥 <𝑥 )
2 2 1 2 1 2
∴𝐴(𝑥)在(0，𝑥 )单调递增，(𝑥 ，𝑥 )单调递减，(𝑥 ，+∞)单调递增
1 1 2 2
∴𝑚 >𝐴(𝑥 )恒成立或者𝑚 <𝐴(𝑥 )恒成立
1 2
3𝑥2−3𝑙𝑛𝑥 −3=𝑘 > 3 𝑙𝑛2− 3 ，∴0<𝑥 < √2，𝑥 > √2，
1 1 2 2 1 2 2 2
𝐴(𝑥 )=−2𝑥3+3𝑥 ∈(0，√2)，∴𝑚 ≥√2
1 1 1
𝐴(𝑥 )=−2𝑥3+3𝑥 ∈(−∞，√2)，𝑚无解
2 2 2
综上，𝑚 ≥√2………………………………………………………………………………10分
(3)∵𝑙𝑛𝑥 ≤√2(𝑥− √2 )+𝑙𝑛 √2，∴𝑔(𝑥)≥𝑥3−3√2𝑥2+(3+ 3𝑙𝑛2 )𝑥
2 2 2
令𝑥3−3√2𝑥2+(3+ 3𝑙𝑛2 )𝑥 = 3𝑙𝑛2 𝑥+ √2，解得𝑥 = 5√2−√42，∴𝑥 < 5√2−√42
2 2 4 4 1 4
另一方面，𝑙𝑛𝑥 ≤ √2 (𝑥−√2)+𝑙𝑛√2，∴𝑙𝑛 1 ≤ √2 ( 1 −√2)+𝑙𝑛√2，
2 𝑥 2 𝑥
即−𝑙𝑛𝑥 ≤ √2 ( 1 −√2)+𝑙𝑛√2，∴𝑔(𝑥)≤𝑥3+( 3𝑙𝑛2 −3)𝑥+ 3√2，
2 𝑥 2 2
令𝑥3+( 3𝑙𝑛2 −3)𝑥+ 3√2 = 3𝑙𝑛2 𝑥+ √2，解得𝑥 = −√2+√42，∴𝑥 > −√2+√42
2 2 2 4 4 3 4
∴𝑥 −𝑥 > √42−3√2 >1……………………………………………………………………17分
3 1
2
3
