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!
#月高二数学参考答案
题号 ! $ % & ’ # ( " ) !* !!
答案 + , - + , . + . -. ,+ ,-.
一!选择题"本题共"小题#每小题’分#共&*分!在每小题给出的四个选项中#只有一项是符合题目要求的!
!% ’"
!!+!$解析%因为集合"/ ! !解不等式#$0’#1#"*!得$"#"%!所以$/"$!%#!所以"#$/
$ $
# ’"
$! !故选+!
$
%12 $%12%$!0$2% ’0’2
$!,!$解析%因为$!1$2%%/%12!则%/ / / /!02!所以%的共轭复数%/!12!故
!1$2 $!1$2%$!0$2% ’
选,!
%!-!$解析%因为&’$#%/345#0$#0!%526#17#!所以&’$*%/345*0$*0!%8526*17*/$!故选-!
!* "
&!+!$解析%由抛物线(&)$/$*#$*$*%!知+
$
!* !设,$#
*
!)* %!由,到)轴的距离为%!得#
*
/%!直线
&&% !* "&&% ! * " &&% &&% * ! *"
-与)轴交于点.!设.$*!/%!则.+/
$
!0/ !+,/ %0
$
!)* !又.+/$+,!则
$
/$8 %0
$
!
解得*/&!所以(的标准方程为)$/"#!故选+!
’!,!$解析%因为&$#%为偶函数!&$#1%%/0&$#%!所以&$%%/&$*1%%/0&$*%!&$!%/&$!0%1%%/
% # %$
0&$!0%%!&$$%/&$0!1%%/0&$0!%/0&$!%!因为*’!0%’!’ !且&$#%在 *! 上单调递减!
$ $
所以&$*%$&$!0%%$&$!%!所以0&$*%’0&$!0%%’0&$!%!即&$%%’&$!%’&$$%!故选,!
#!.!$解析%对于,!二项式的展开式中!第%项的二项式系数为+$
#
/!’!第&项的二项式系数为+%
#
/$*!依题
+$ !’ %
意有 #/ / !,错误!对于-!二项式的展开式中!所有项的二项式系数之和为$#/#&(!$"!-错误!对
+% $* &
#
! $"#
于+!令#/!!得 !0
!
/!(#&!+错误!对于.!该二项式的展开式的通项公式为0
11!
/+1
#
’##01’
! $"1
0 /$0$%1’+1’##0$1$1/*!!!$!%!&!’!#%!令#0$1/*!解得1/%!得常数项为$0$%%’+%/$0"%8
# # #
$*/0!#*!.正确9故选.9
(!+!$解析%对于,!截距23/%0*!##)%!#*0*!#8&!’/*!)!所以%关于#的经验回归方程为2%/*!##1
*!)!还原为指数型回归方程为2 )/7*!##1*!)/7*!)’7*!##!回归方程正确!在此指数型回归模型中!当#每增加
!亿次时!2 )变为原来的7*!#倍!而非(平均增加7*!#亿元)!,错误9对于-!%关于#的经验回归方程为2%/
*!##1*!)!所以%与#正相关!相关系数1$*!当相关系数*1*越接近!!变量的线性相关程度越强!而本题
中!)与#本身为非线性的相关关系!直接用线性模型拟合的效果远差于(取对数线性化后拟合)的效果!因此
直接拟合的相关系数*1 !*’*1*!-错误!对于+!若$*$#年!月份对应#/"!代入经验回归方程得2%/*!#8
"1*!)/’!(!因此预测值2 )/7’!()$))亿元!+正确!对于.!当旅游总收入)/!$%亿元时!代入指数型回归
:6’* %!)!$*
方程得7*!)’7*!##)$!*!##/!$%!得7*!##/’*!两边取自然对数得#/ ) /#!’$$亿次%)
*!# *!#
#!’$亿次%!而非’!"亿次!.错误9故选+9
"!.!$解析%对于,!本题中4是(不同卡片款式的数量)!不符合二项分布的定义!因此4不服从二项分布!,
数学参考答案!第!!!!!页!共"页"
书书书错误!对于-!%个盲盒开出的卡片相互独立!每盒有&种等可能的结果!总基本事件数为&%/#&!随机变量4为
& !
抽到的不同卡片款式的数量!其可能取值为!!$!%!当4/!$%个盲盒卡片完全相同%时!5$4/!%/ / *
#& !#
$& %
当4/%$%个盲盒卡片全不相同%时!从&款卡片中选%款排列!共,%/$&种情况!则5$4/%%/ / *当
& #& "
!
4/$$%个盲盒卡片恰好有$种不同款%时!由概率和为!!得5$4/$%/!05$4/!%05$4/%%/!0 0
!#
# ) ! ) % %(
/ !-错误!对于+!由-知!6$4%/!8 1$8 1%8 / !根据期望的性质得6$$40!%/
!# !# !# !# " !#
%( $) /
$6$4%0!/$8 !# 0!/ " !+错误9对于.!方法一&根据方差公式7$4%/ 8 + /! +"$# 8 06$4%#$’*8 ,!代入相
! %("$ ! ! %("$ ) ! %("$ # "(
关数据!得7$4%/ !0 8 1 $0 8 1 %0 8 / !.正确*方法二&因为6$4$%/
!# !# !# !# !# !# $’#
! ) % )! )! !%("$ "(
!$8 1$$8 1%$8 / !所以利用方差公式得7$4%/6$4$%0"6$4%#$/ 0 / !.正
!# !# " !# !# !# $’#
确9故选.9
二!选择题"本题共%小题#每小题#分#共!"分!在每小题给出的选项中#有多项符合题目要求!全部选对的得
#分#部分选对的得部分分#有选错的得*分!
)!-.!$解析%已知9
/
/$9
/0!
1!!变形为9
/
1!/$$9
/0!
1!%!即:
/
/$:
/0!
$/,$%!又:
!
/9
!
1!/$!所以数列
+:,是以$为首项!$为公比的等比数列!-正确!根据等比数列的通项公式可得:/$8$/0!/$/!+错误9由
/ /
91!
-!+知9 /$/0!!则数列+9,不是等差数列!, 错误9对于 .!将9 /$/0!代入!得 / /
/ / / 99
//1!
$/ ! ! %91!& !! ! "
/ 0 !则 数 列 / 的 前 / 项 和 为 0 / 0 1
$$/0!%$$/1!0!% $/0! $/1!0! 99 / $!0! $$0!
//1!
!! ! " !! ! " !
0 1-1 0 /!0 !.正确9故选-.9
$$0! $%0! $/0! $/1!0! $/1!0!
!*!,+!$解析%易知四棱锥5 "$(7为正四棱锥!以底面正方形的中心;
为坐标原点!过点;作平行于"7的直线为#轴!作平行于"$的直线
为)轴!以;5所在直线为%轴!建立如图空间直角坐标系!则;$*!*!
*%!"$0!!0!!*%!$$0!!!!*%!($!!!!*%!7$!!0!!*%!5$*!*!!%!该四
棱锥的底面面积<底/$8$/&!侧面斜高=’/槡!$1!$/槡$!侧面5"$
! !
的面积<
!
/
$
8$8槡$/槡$!侧面积<侧/&槡$!体积>/
%
<底 ’;5/
& &&% &&% &&% &&%
!对于,!5"/$0!!0!!0!%!$(/$$!*!*%!所以5"’$(/$0!%8$1$0!%8*1$0!%8*/0$!
%
&&% &&%
*5"*/槡$0!%$1$0!%$1$0!%$/槡%!*$(*/槡$$1*$1*/$!所以异面直线5"与$(所成角$记为
0$ 槡%
!%的余弦值为345!/ / !,正确!对于-!设正四棱锥内切球的半径为1!已知正四棱锥的体积
槡%8$ %
& & ! !
>/
%
!表面积<表/&1&槡$!则
%
/
%
8$&1&槡$%’1!解得1/
!1槡$
/槡$0!!故内切球的表面积</
&&% &&%
&!8$槡$0!%$/$!$0"槡$%!!-错误9对于+!取平面5$(内的两个不共线向量&5$/$0!!!!0!%!$(/
&&%
%!’5$/0#1)0%/*!
$$!*!*%!设平面5$(的法向量为!/$#!)!%%!则 解得#/*!)/%!令%/!!得平
&&%
!’$(/$#/*!
数学参考答案!第!!!!$页!共"页"&&%
面5$(的一个法向量为!/$*!!!!%!所以*!*/槡*$1!$1!$/槡$!又57/$!!0!!0!%!设直线57与平
&&%
&&% 57’! 槡#
面5$(所成的角为"!则526"/*345.57!!/*/ &&% / !+正确9对于.!由+知!平面5$(的一
*57**!* %
&&%
个法向量为!/$*!!!!%!取平面5$(内点$$0!!!!*%!平面外点"$0!!0!!*%!得"$/$*!$!*%!代入公式
&&%
*"$’!* **8*1!8$1!8** $
得点"到平面5$(的距离为?/ / / /槡$!.错误!故选,+9
*!* 槡$ 槡$
!!!,-.!$解析%因为&$#%/7#0!09#$1$90!%#!#-!!所以&’$#%/7#0!0$9#1$90!%!对于,!当9/*
时!&$#%/7#0!0#!&’$#%/7#0!0!!令&’$#%/*!解得#/!!当#’!时!7#0!’!!所以&’$#%’*!所以
&$#%在$0;!!%上单调递减*当#$!时!7#0!$!!所以&’$#%$*!所以&$#%在$!!1;%上单调递增!所以
&$#%在#/!处取得最小值!最小值为&$!%/*!,正确!
对于-!因为&’$#%/7#0!0$9#1$90!%!所以&’$#%091!/7#0!0$9#/*!令@$#%/7#0!0$9#!则问题
等价于函数@$#%有两个不同的零点!因为@’$#%/7#0!0$9!若9"*!@’$#%$*!所以@$#%单调递增!所以
函数@$#%最多有一个零点!不符合题意*若9$*!令@’$#%/7#0!0$9/*!得#/!1:6$9!当#$!1:6$9
时!@’$#%$*!@$#%单调递增*当#’!1:6$9时!@’$#%’*!@$#%单调递减!所以@$#%在#/!1:6$9处取
得极小值!且极小值为@$!1:6$9%/7:6$90$9$!1:6$9%/0$9’:6$9!要使函数@$#%有两个不同的零点!
!
则0$9’:6$9’*!因为9$*!则:6$9$*!即$9$!!解得9$ !又当#%0;时!7#0!%*!0$9#%1;!
$
所以@$#%%1;*当#%1;时!函数)/7#0!的增长远快于一次函数)/$9#!所以@$#%%1;!综上!当
!
9$ 时!函数@$#%有两个不同的零点!-正确!
$
对于+!要使&$#%,*对任意#-$*!1;%恒成立!分情况讨论&"当9/*时!由,知!&$#%,*恒成立!符
合要求!#当9’*时!&’$#%在$*!1;%上单调递增!&’$!%/09$*!&’$*%/70!190!’*!故存在# *-
$*!!%!使得&’$#
*
%/*!&$#%在$*!#
*
%上单调递减!在$#
*
!1;%上单调递增!因此&$#
*
%’&$!%/*!不符合
要求!$当*’9"!时!取9/!!&$$%/70&’**取9/*!’!&$$%/70%’*!均不满足&$#%,*恒成立!
%当9$!时!&$$%/70$90$’70&’*!不符合要求!综上!当且仅当9/*时满足条件!+错误9
对于.!当9/!时!&$#%/7#0!0#$!&’$#%/7#0!0$#!&A$#%/7#0!0$!令&A$#%/*!得#/!1:6$!因此
&’$#%在$0;!!1:6$%上单调递减!在$!1:6$!1;%上单调递增!所以&’$#%
<26
/&’$!1:6$%/0$:6$’*!
结合#%=;时&’$#%%1;!可知&’$#%/*有两个不同的实数根#
!
!#
$
!分别对应&$#%的极大值点#
!
!极
小值点#
$
!又&’$!%/0!’*!所以# !’!’#
$
!&$#%在$#
!
!#
$
%上单调递减!且&$!%/*!所以&$#%在$#
!
!
#
$
%上有!个零点#/!!且&$#
!
%$*!&$#
$
%’**&$#%在$0;!#
!
%上单调递增!又当#%0;时!&$#%%0;!
&$#
!
%$*!所以&$#%在$0;!#
!
%上有!个零点*&$#%在$#
$
!1;%上单调递增!又当#%1;时!&$#%%1;!
&$#
$
%’*!所以&$#%在$#
$
!1;%上有!个零点!综上!&$#%有且仅有%个零点!.正确9故选,-.9
三!填空题"本题共%小题#每小题’分#共!’分!
!$!$(!$解析%因为:4>% 9
%
1:4>% 9
’
/:4>% $9
%
9
’
%/#!9
%
9
’
/9$
&
/%#!所以9
&
/%%/$(!故答案为$(!
$槡% :
!%! !$解析%因为线段;+为圆的直径!所以"+.;"!不妨取渐近线方程)/ #!在?@/";+中!斜率
% 9
: /@A60";+/ *"+* / 槡% !所以B/槡C$ /槡!1 :$ /槡!1 ! / $槡% !故答案为 $槡% !
9 *;"* % 9$ 9$ % % %
&&% &&% &&% &&% &&% &&% &&%
!&!%0#槡%!$解析%设5"/9!5$/:!5(/C$9!:!C$*%!由题知*57*/!!则7"’7$17$’7(17(’7"/
&&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&%
$7515"%’$7515$%1$7515$%’$7515(%1$7515(%’$7515"%/75$1$5"15$%’
数学参考答案!第!!!!%页!共"页"&&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&% &&%
75175$1$5$15(%’75175$1$5(15"%’75/%1$75’$5"15$15(%/%0$*5"15$1
&&% ! ! ! !! ! !"
5(*/%0$槡9$1:$1C$!由题知 1 1 /!!由柯西不等式得91:1C/ 1 1 $91:1C%,
9 : C 9 : C
$!1!1!%$/)!当且仅当9/:/C/%时等号成立!再由柯西不等式得$9$1:$1C$%$!1!1!%,$91:1C%$,
&&% &&% &&% &&%
"!!当且仅当9/:/C/%时等号成立!所以槡9$1:$1C$,%槡%!故原式"%0#槡%!即7"’7$17$’7(1
&&% &&%
7(’7"的最大值为%0#槡%!故答案为%0#槡%!
四!解答题"本题共’小题#共((分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!
!’!$解析%$!%科创竞赛获奖的学生共%’人!其中长时研学的有$’人!短时研学的有!*人!比例为’B$!
( !
按比例分配分层随机抽样抽取(人!抽样比为 / !…………………………………………………… !分
%’ ’
!
所以抽取的长时研学的学生人数为$’8 /’$人%*……………………………………………………… $分
’
!
抽取的短时研学的学生人数为!*8 /$$人%!…………………………………………………………… %分
’
从(名学生中随机选取%名!基本事件总数为+%/%’!…………………………………………………… &分
(
选取的%名代表中恰有$名长时研学0!名短时研学!
从’名长时研学的学生中选$人!从$名短时研学的学生中选!人的选法种数为+$’+!/!*8$/$*!…
’ $
…………………………………………………………………………………………………………… #分
$* &
根据古典概型概率公式!所求概率为5/ / !………………………………………………………… (分
%’ (
$$%零假设为D &学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关!…………………………………… "分
*
/$9?0:C%$ !**8!!**$
#$/
$91:%$C1?%$91C%$:1?%
/
&*8#*8%’8#’
)$$!!#!$(!"()/#
*!**’
! ……………………… !$分
依据小概率值"/*!**’的独立性检验!我们推断D
*
不成立!即认为(学生科创竞赛是否获奖与航天科普研
学时长有关!………………………………………………………………………………………………… !%分
! $"
!#!$解析%$!%因为槡%:526"/9!1$526$ !
$
! $"
所以由正弦定理得槡%526$526"/526"!1$526$ !………………………………………………… $分
$
因为526"(*!两边同除以526"!
$
得槡%526$/!1$526$ /$0345$!即槡%526$1345$/$!……………………………………………… &分
$
! !"
由辅助角公式!得槡%526$1345$/$526$1 !
#
! !" ! !"
等式变为$526$1 /$!即526$1 /!!………………………………………………………… ’分
# #
! ! (!
因为*’$’!!所以 ’$1 ’ !
# # #
! ! !
所以$1 / !即$/ !………………………………………………………………………………… (分
# $ %
9$1C$0:$
$$%由余弦定理得345$/ !
$9C
! 9$1C$0&
即 / !整理得&/9$1C$09C!………………………………………………………………… !*分
$ $9C
数学参考答案!第!!!!&页!共"页"由基本不等式得&/9$1C$09C,$9C09C/9C!当且仅当9/C/$时等号成立!……………………… !$分
! 槡%
由三角形面积公式</ 9C526$!代入9!C的表达式及526$/ !
$ $
槡%
得</ 9C"槡%!…………………………………………………………………………………………… !&分
&
故/"$(面积的最大值为槡%!……………………………………………………………………………… !’分
!(!$解析%$!%证明&因为;为"(的中点!/"(7是边长为$的等边三角形!
槡%
所以7;."(!且7;/ "(/槡%!………………………………………………………………………… !分
$
!
如图!连接$;!在等腰?@/"$(中!$;/ "(/!!
$
又$7/$!满足$;$17;$/!$1$槡%%$/&/$7$!
所以0$;7/)*C!即7;.$;! …………………………………………………………………………… &分
又"(#$;/;!且"(1平面"$(!$;1平面"$(!所以7;.平面"$(! ………………………… #分
&&% &&% &&%
$$%由$!%知7;.平面"$(!$;."(!以;为坐标原点!分别以;"!;$!;7的方向为#轴0)轴0%轴正方
向!建立空间直角坐标系;#)%!如图所示!
则;$*!*!*%!"$!!*!*%!($0!!*!*%!$$*!!!*%!7$*!*!槡%%! ………………………………………… (分
因为平面"(7位于;#%平面内!易知平面"(7的一个法向量为!/$*!!!*%! …………………… )分
!
&&% &&%
又($/$!!!!*%!(7/$!!*!槡%%!
&&%
%!’($/*!
$
设平面$(7的法向量为!
$
/$#!)!%%!则
&&%
!’(7/*!
$
3#1)/*!
得2 令#/槡%!得)/0槡%!%/0!!
4#1槡%%/*!
即平面$(7的一个法向量为!/$槡%!0槡%!0!%!…………………………… !$分
$
设平面"(7与平面$(7的夹角为!!
因为!’!/*8槡%1!8$0槡%%1*8$0!%/0槡%!
! $
*! !*/!!*! $*/槡$槡%%$1$0槡%%$1$0!%$/槡(!
所以345!/ *! ! ’! $* / *0槡%* / 槡$! ! ………………………………………………………………… !&分
*! !**! $* !8槡( (
槡$!
故平面"(7与平面$(7夹角的余弦值为 !………………………………………………………… !’分
(
C 槡$ 槡$
!"!$解析%$!%依题意!B/ / !则C/ 9!
9 $ $
槡$ ! !
在椭圆中!9$/:$1C$!代入C/ 9!得:$/9$0C$/9$0 9$/ 9$!
$ $ $
因此椭圆(的方程可化为#$1$)$/9$!…………………………………………………………………… !分
3#1)0槡#/*!
联立2 消去)得#$1$$槡#0#%$ /9$!
4#$1$)$/9$!
整理得%#$0&槡##1!$09$/*!
数学参考答案!第!!!!’页!共"页"依题意得$/$&槡#%$ 0&8%8$!$09$%/)#0!$$!$09$%/*!
!
解得9$/&!因此:$/ 9$/$!……………………………………………………………………………… %分
$
#$ )$
故椭圆(的标准方程为 1 /!! ……………………………………………………………………… &分
& $
$$%$2%设,$#
!
!)! %!.$#
$
!)$ %!
当直线-的斜率不存在时!*# !*/*# $*/*)!*/*)$*!
#$ #$ &
由 1 /!!得#$/ !
& $ %
$槡%
所以点;到直线-的距离为 !…………………………………………………………………………… ’分
%
当直线-的斜率存在时!设直线-的方程为)/E#1F$F(*%!
3)/E#1F!
联立直线-与椭圆(的方程2#$ )$ 消去)并整理得$!1$E$%#$1&EF#1$F$0&/*!
1 /!!
4& $
因为直线-与椭圆(有两个交点!则$/$&EF%$0&$!1$E$%$$F$0&%$*!
化简得&E$0F$1$$*"!
&EF $F$0&
由根与系数的关系!得#1#/0 !##/ !……………………………………………… "分
! $ !1$E$ ! $ !1$E$
&&% &&%
因为;,.;.!所以;,’;./*!即#
!
#
$
1)!)$ /*!
又)!)$ /$E#
!
1F%$E#
$
1F%/E$#
!
#
$
1EF$#
!
1#
$
%1F$!
所以$!1E$%##1EF$#1#%1F$/*!………………………………………………………………… )分
! $ ! $
将根与系数的关系代入上式!等式两边同乘!1$E$得$!1E$%$$F$0&%0&E$F$1F$$!1$E$%/*!
&$E$1!%
整理得%F$0&E$0&/*!即F$/ !#!
%
&$E$1!% "E$1$
将#代入"!得&E$0 1$/ $*恒成立!
% %
*F* ! $槡E$1! $槡%
所以原点;到直线-的距离?/ / 8 / !
槡!1E$ 槡!1E$ 槡% %
综上所述!点;到直线-的距离为定值! ………………………………………………………………… !*分
&
$22%当直线-的斜率不存在时!< / !……………………………………………………………… !!分
/;,. %
当直线-的斜率存在时!*,.*/槡!1E$’槡$#
!
1#
$
%$0&#
!
#
$
!
!
所以/;,.的面积</ ’*,.*’?!
$
结合根与系数的关系!代入面积公式!
! $槡% &槡&E$1! &槡$E$1!%$&E$1!%
得</ 8 8槡!1E$8 / !……………………………………… !%分
$ % 槡%$!1$E$% %$$E$1!%
30!
令3/$E$1!$3,!%!则E$/ !
$
代入得</ & 8槡 $31!%$$30!% / $槡$ 8槡$3$130! / $槡$ 8槡0 ! 1 ! 1$!…………………… !’分
%3 $ % 3$ % 3$ 3
数学参考答案!第!!!!#页!共"页"! $槡$
令G/ $*’G"!%!则</ 8槡0G$1G1$!
3 %
!
因为二次函数)/0G$1G1$的图象开口向下!对称轴为直线G/ !
$
! )
所以该函数在G/ 时取得最大值 !…………………………………………………………………… !#分
$ &
因此<"
$槡$ 8槡)
/槡$!当且仅当G/
!
!即3/$!E$/
!
!F$/$时取等号!满足F(*且$$*!
% & $ $
&
又槡$$ !故/;,.面积的最大值为槡$! ……………………………………………………………… !(分
%
!)!$解析%$!%当9/!时!&$#%/#7#0:6#0#0!!
则&$!%/!87!0:6!0!0!/70$!即切点为$!!70$%!………………………………………………… !分
!
又&’$#%/$#1!%7#0 0!!所以切线斜率E/&’$!%/$70!0!/$70$9…………………………… $分
#
故所求切线方程为)0$70$%/$$70$%$#0!%!整理得)/$$70$%#07!……………………………… %分
$$%方法一$常规导数法%&
由题知函数&$#%的定义域为$*!1;%!
!! " ! 9"
当9$*时!&’$#%/$#1!%7#09 1! /$#1!%7#0 !………………………………………… &分
# #
9
因为#$*!所以#1!$*!&’$#%的符号由7#0 决定!
#
9 9
令=$#%/7#0 !#$*!则=’$#%/7#1 $*!所以=$#%在$*!1;%上单调递增!…………………… #分
# #$
当#%*1时!=$#%%0;*当#%1;时!=$#%%1;!
9
因此存在唯一的# *$*!使得=$#
*
%/*!即7#*/
#
!整理得9/#
*
7#*!………………………………… (分
*
当*’#’#
*
时!=$#%’*!&’$#%’*!&$#%单调递减*
当#$#
*
时!=$#%$*!&’$#%$*!&$#%单调递增!………………………………………………………… )分
因此&$#%在#/#
*
处取得唯一极小值!也是最小值&$#
*
%!
9/#
*
7#*两边取自然对数!得:69/:6#
*
1#
*
!
9
将7#*/
#
与:69/:6#
*
1#
*
代入&$#
*
%!……………………………………………………………… !*分
*
得&$#
*
%/#
*
7#*09$:6#
*
1#
*
1!%/909$:691!%/09:69!
因此&$#%,&$#
*
%/09:69!不等式得证! ……………………………………………………………… !$分
方法二$同构法%&
由题知函数&$#%的定义域为$*!1;%!
对&$#%变形!得&$#%/7:6#1#09$:6#1#1!%! ………………………………………………………… #分
令3/:6#1#!因为#$*时!3/:6#1#单调递增!值域为!!
所以&$#%可转化为@$3%/7309$31!%!3-!! …………………………………………………………… "分
对@$3%求导得@’$3%/7309!令@’$3%/*!得3/:69! …………………………………………………… )分
当3’:69时!@’$3%’*!@$3%单调递减*
当3$:69时!@’$3%$*!@$3%单调递增!…………………………………………………………………… !!分
数学参考答案!第!!!!(页!共"页"因此@$3%的最小值为@$:69%/7:6909$:691!%/09:69!
即&$#%/@$3%,09:69!不等式得证!…………………………………………………………………… !$分
$%%对任意#$*!&$#%,*恒成立!分三种情况讨论&
若9’*!当#%*1时!#7#%*!:6#%0;!因此:6#1#1!%0;!
因为9’*!所以09$*!所以09$:6#1#1!%%0;!
因此&$#%%0;!不满足&$#%,*恒成立!9’*舍去!
若9/*!&$#%/#7#!#$*!&$#%,*显然成立!…………………………………………………………… !&分
若9$*!由$$%的结论!知&$#%在$*!1;%上的最小值为&$#
*
%/09:69!
&$#%,*恒成立等价于最小值大于等于*!即&$#%
<26
/09:69,*! ………………………………… !’分
因为9$*!所以0:69,*!即:69"*!得9"!!
又9$*!得*’9"!! ……………………………………………………………………………………… !#分
综上所述!实数9的取值范围为"*!!#!…………………………………………………………………… !(分
数学参考答案!第!!!!"页!共"页"
