2高二数学答案_2024-2027高二（7-7月题库）_2026年04月高二试卷_260427浙江衢州五校联考2025-2026学年高二下学期期中考（全科）_高二参考答案

高二数学试卷参考答案
一、单项选择题：原牛考院
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D C B A C B
二、多项选择题
9 10 11
ABD AD AC
三、填空题
10 34
12. 81 13. 14. 或 （对一个得2分，对两个得满分，写错不得分）
4 2
3 3
四、解答题
15. 解析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件A，那么
1 19 1
1P(A)1 p  ，解得 p  ........................................................4分
5 20 4
1 3 1
（2）由题意， p(X 0)C0( )3( )0 
3 4 4 64
1 3 9
p(X 1)C1( )2( )1 
3 4 4 64
1 3 27
p(X 2)C2( )1( )2 
3 4 4 64
1 3 27
p(X 3)C3( )0( )3  ............................................................8分
3 4 4 64
所以，随机变量X 的概率分布列为
X 0 1 2 3
1 9 27 27
p
64 64 64 64
............................................................10分
故随机变量X 的数学期望：
1 9 27 27 144 9
E(X)0 1 2 3   ..........................................13分
64 64 64 64 64 4
（2）由题意，
p(X 0)C0p3(1 p)0  p3
3
p(X 1)C1p2(1 p)1 3p2 1 p 
3
p(X 2)C2(p)1(1 p)2 3p  1 p 2
3
p(X 3)C3(p)0(1 p)3   1 p 3 ......................................................8分
3
X 0 1 2 3
p p3 3p2 1 p  3p  1 p 2  1 p 3
............................................................10分
故随机变量X 的数学期望：
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学科网（北京）股份有限公司E(X)0p313p2
1 p

23p

1 p
23 
1 p
3
3p2
1 p

6p

1 p
23 
1 p
3
3

1 p

..........................................13分
a 1 13a 1
16. 解析：（1）由题意知a 0，所以由a  n ，得  n  3，
n n1 13a a a a
n n1 n n
1 1 1
所以  3，又 2， ...........................................................4分
a a a
n1 n 1
 1 
所以 是首项为2，公差为3的等差数列，
a 
n
1 1
 
所以 23 n1 3n1，即a  ．...............................................7分
a n 3n1
n
4n
（2）由（1）得b    3n1  4n，
n a
n
所以S 241542   3n1  4n①，
n
4S 242 543   3n1  4n1②，
n
①②，得3S 2413  42 43 4n    3n1  4n1..............................11分
n
 
42 12n1
83   3n1  4n1
14
  23n  4n18，
 3n2  4n18
所以S  .............................................................15分
n 3
17.解析：（1）因为C B CC ，AB  AC 6，D是BC的中点，所以C D  BC ，AD  BC ，
1 1 1
又C DAD  D，C D，AD平面AC D，所以BC 平面AC D，.........................2分
1 1 1 1
又BC 平面ABC，所以平面ABC 平面AC D，
1
又平面ABC平面AC D  AD，作C H  AD交AD于点H ，C H 平面AC D，
1 1 1 1
所以C H 平面ABC，.....................................4分
1
则C H 为三棱柱ABC ABC 的高，
1 1 1 1
1
又AB  AC，AB  AC 6，所以BC 6 2，AD  BC 3 2 ，
2
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学科网（北京）股份有限公司又C AC D 3，所以C A2 C D2  AD2，则C AC D，即C AD为等腰直角三角形，
1 1 1 1 1 1 1
1 3
所以C H  AD  2
1 2 2
3
即C 到平面ABC的距离为 2............................................................6分
1 2
（2）如图以AB为x轴，AC 为y轴，过点A作与C H 平行的直线为z轴，
1
建立空间直角坐标系，............................................8分
3 3 3  3 9 3 
则A

0,0,0
，B 
6,0,0

,C

0,6,0

,C  , , 2,A , , 2
1 2 2 2  1 2 2 2 
3 3 3   
所以AC  , , 2．平面 的法向量为m 0, 2,1 ................................10分
1 2 2 2 
1
3 9 3   
所以AA  , , 2．平面 的法向量为n 0,2,3 2 ................................12分
1 2 2 2 
1
2 33
设平面ABB A 与平面ABC 所成角为，则cos cos m,n   ，.......14分（公式）
1 1 1 3 22 33
33
所以平面 与平面 所成角余弦值为 ............................................15分
33
1     1
18.解析：（1）
 1 1
 1

a2 2b2

c 2 a2 2
依题意可得  ，解得， ...........................................2分
 a 2  b2 c2 1
，
a2 b2 c2


x2
所以椭圆方程为  y2 1；.............................................................3分
2
y
（2）（i）设直线AB：
xmy1
，则
D
xmy1
  P
A
N
  m2 2 y2 2my10 F
x2 2y2 2 M O x
C
 2m B
y  y 
  1 2 m2 2


1 .......................................................................5分
y y 
  1 2 m2 2
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学科网（北京）股份有限公司8m2 8
 AB  1m2  ..............................................................7分

m2 2
2
8
8
1 m2
同理 CD  1 
m2
 1 
2
 2
m2 
 1 
4m2  2
1  m2 
S  AB CD  ....................................................9分
ACBD 2  1 
2m2  5
 m2 
 
1 4 t2 1 1 
令m2  t，则S  4  ，t 2
m2 ACBD 2tt 2 4t10
则t 时，S 2，即S 2...........................................................11分
2b2 1
AB x轴时， AB   2，CD 2a 2 2，S   22 2 2
⟂
a 2
综上，S max=2......................................................................13分
ACBD y
（ii）设H，Q分别是PN，PM与AC的交点，取AC的中点E，连接PE,EN,EM
AE CE，DN CN EN //PD D
A
P N
S  S S  S H
EPA NPA EPH AHN E F
Q M O x
C
同理S  S
EPQ CQM B
S  S .....................................................................15分
PMN 四边形ACMN
1 1
S  AB CD，S  AM CN
四边形ACBD
2
四边形ACMN
2
1 1
S  S  ...............................................................16分
PMN
4
四边形ACBD
2
1
S 最大值= .......................................................................17分
PMN
2
 1 1
19.解析：（1）函数 f  x   x是函数g  x   x2在区间

 ,

上的1级控制数.....................1分
 2 2
 
证明：由题意可知 x x  x2 x2  x x  1 x x .....................................3分
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
  x  ,  x 
2 1 2 2 2 2
0 x x 1
1 2
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学科网（北京）股份有限公司 x x 0
1 2
 x x  x2 x2 .......................................................................5分
1 2 1 2
       
即 f x  f x  g x g x 成立，
1 2 1 2
 1 1
所以函数 f  x   x是函数g  x   x2在区间

 ,

上的1级控制函数．.........（结论前面已给1分）
 2 2
     
（2）由函数 f x lnx是函数g x  x在区间 1,2 上的m级控制函数，
得 lnx lnx mx x ，
1 2 1 2
x  x
1 2
 
lnx mx lnx mx 在 1,2 上恒成立...................................................7分
2 2 1 1
           
令h x lnxmx，则h x h x 在 1,2 上恒成立，即h x 在 1,2 上单调递增，
2 1
1
故h'
x

0在

1,2
 上恒成立，即h'
x

 m0，
x
1
 
m 在 1,2 恒成立.....................................................................9分
x
1
0m
2
 1
综上，实数m的取值范围是0,

．........................................................10分
 2
（3）因为函数 f  x  在区间  0，  上存在两个零点a,b，
   
所以我们不妨设ab，且 f a  f b 0，．...............................................11分
因为函数 f  x  是函数g  x  lnxx在区间  0，  上的m级控制函数，
        
所以 f a  f b mg a g b m0 ，
    
即0mg a g b m0 ，
   
g a  g b ...........................................................................13分
可以得到lnaa lnbb
lnblna ba
lnblna
 1
ba
lnblna
 
要证ab2，即证 ab  2，
ba
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学科网（北京）股份有限公司b b
1 1
a b b a
即证 ln 2，即证ln 2 0，..............................................15分
b a a b
1 1
a a
b x1
 
令x 1，构造x lnx2 ，
a x1
1 4

x1
2
所以'
x

   0，
x

x1
2
x

x1
2
所以  x  在  1，  上单调递增，
   
所以x 1 0，
b
1
b a
即ln 2 0成立，所以ab2得证．.............................................17分
a b
1
a
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