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高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若 则 在 处的瞬时变化率为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类
有 门互不相同的课程，自然科学类有 门互不相同的课程，艺术体育类有 门互不相同的课程.若要求每
位学生选择 门课程，且 门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ）
.
A B. C. D.
3. 某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、
成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案
种数为（ ）
A. 120 B. 180 C. 240 D. 320
4. 设点 为函数 图象上的任意一点，点 处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若 是定义在区间 上的函数，其图象如图所示，设 的导函数为 ，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已 知 函 数 ， 为 的 导 函 数 ， 则
（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 2026
7. 若函数 在x∈[0，a]上存在唯一的极大值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若 是定义在R上的函数，且满足 ， ，则下列说法正确的是（
）
提示：若函数 满足 ，则 ，其中 为常数
A. 在R上既有极大值又有极小值
B. 在R上有极大值没有极小值
C. 在R上有极小值没有极大值
D. 在R上没有极值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 展开式中含 项的系数为
C.
D.
11. 已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（ ）
A. 若f（x）的极大值点为1，则a=1
B. 若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0
C. 当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方
D. 若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，
d的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 ______
13. 已知曲线 在 处的切线l也是曲线 的切线，则实数 _______
14. 若存在实数t，使得对于 ，则m的最大值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的
15. 若圆锥 内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x.
（1）试将 表示成关于x的函数 ；
（2）求圆锥体积的最小值.
16. 某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学
习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题：
（1）共有多少种不同的安排方案?
（2）若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案?
17. 已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256.
（1）求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数；
的
（2）求展开式中所有 有理项；
（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.
18. 已知函数 .
（1）若函数 在定义域上单调，求 的最大值；
（2）若函数 存在两个极值点 .
（i）求a 的取值范围；
.
（ii）证明:
19. 已知函数 ，其中a为正实数.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 时， .
（i）求 的取值范围；
（ii）当 取最大值时，若 为正实数，且 ，证明： .
