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河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知直线 经过点 ， ，则 的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．
2．双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
3．若 构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．已知数列 满足 ，设 的前 项和为 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2025
5．已知椭圆 的两个焦点为 ， ，椭圆 上有一点 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．16 C． D．12
6．已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，E是 的中点，则直线AB与
平面 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
8．已知数列 满足 ， ，设 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，
则 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ， ，则（ ）
A． B． 与 夹角的余弦值为
C． 在 上的投影向量为 D．点 到直线BC的距离为
10．在数列 中，若对任意连续三项 ， ， ，均有 ， ，则称该数列
为“跳跃数列”．已知等比数列 是“跳跃数列”，则公比 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知A，B，C是抛物线 上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，
AB的中点为 ，则（ ）A．当 时， 的最大值为32
B．当 时， 的最小值为22
C．当 时，直线AB的斜率为
D．当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14
三、填空题
12．在棱长为6的正四面体 中，点M在OA上，且 ，则 ．
13．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
14．“将军饮马”问题源自唐代诗人李顾的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在
观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角
坐标系中，设军营所在区域为 ，河岸线所在直线方程为 ，若将军从点
处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
，在河边饮马点的坐标为 ．
四、解答题
15．已知定点 ，定直线 ，曲线 上有一动点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且
．
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 在 轴的右侧， ，求 周长的最小值．
16．在等差数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
17．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形， ， 是PD的中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)证明： 平面 ．
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．已知数列 的前 项和为 ，满足 ； 是以 为首项，且公差不为0的等差数列， ，
， 成等比数列．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
19．已知椭圆 的短轴长为 ，且离心率为 .
(1)求C的方程.
(2)过点 作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点 作直线ST的平行线与椭
圆C交于G，H不同的两点.
①证明： 为定值.
②求 面积的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B D C D B ABD AC
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】解：直线 的斜率 ．
故选：C
2．A
【详解】因为 ， ，所以 ，
故离心率为 ．
故选：A.
3．D
【详解】因为 ，所以 ， ， 共面；
因为 ，所以 ， ， 共面；
因为 ，所以 ， ， 共面；
因为不存在x，y，使得 ，所以 ， ， 不共面，所以可以作为基底．
故选：D.
4．B
【详解】由正弦函数周期公式可知 是周期为4的周期数列，
且 ， ， ， ，得： ，
所以 ．
故选：B
5．D
【详解】因为 ， ，所以 ，
故 的周长为 ．
故选：D.
6．C
【详解】因为 ，所以 ．
因为 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，所以 ，
故 ．
故选：C
7．D
【详解】由题意知CA，CB， 两两垂直，以 ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
故直线AB与平面 所成角的正弦值为 ．故选：D.
8．B
【详解】因为 ，且 ，
所以当 时， ，
因为 也满足 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
若 ， ， 成等差数列，则 ，即 ，得 .
故选：B.
9．ABD
【详解】因为 ， ，所以 ，故A正确；
因为 ， ，所以 ，故B正确；
因为 ， ，所以 在 上的投影向量为 ，故C错误；
因为 ，所以 的一个单位方向向量为 ，因为 ，所以点 到直线BC的距离为 ，故D正确．
故选：ABD.
10．AC
【详解】因为等比数列 是“跳跃数列”，
由已知， ，
则 ，得 ，所以A，C正确．
故选：AC.
11．ACD
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，设 ，
对于A， ，
当且仅当A，F，B三点共线时， 有最大值32，A正确；
对于B，如图，分别过点 作准线的垂线 ，垂足分别为 ，
设 交抛物线于点 ，因 ，故 ，
由图知当且仅当 三点共线时 取得最小值为 长，
因 的中点为 ，则 为梯形 的中位线，且 ，
，即 的最小值为15，B错误；对于C，由 ，得 ，当 时， ，
直线AB的斜率为 ，C正确；
对于D，设直线 的方程为 ，由 消去 得 ，
则 ，则点P到直线l的距离
，
因此当 时，点P到直线l的距离的最小值为14，D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为 ，
所以 ，
．
故答案为：-12
13．12
【详解】设 ，则 ，
因为 也成等差数列，所以 ，即 ，即 ，
所以 .
故答案为：12.
14．
【详解】
设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ,解得 ，故最短路径为 ．
记圆 的圆心为 ，则直线BC的方程为 ，
联立 ，解得 ，即饮马点的坐标为 ．
故答案为： ； .
15．(1)
(2)
【详解】（1）设 ．因为 ，所以 ，
整理得 ，即曲线 的方程为 ；（2）设曲线 的左焦点为 ，则 ．
因为点 在双曲线 的右支上，所以 ，所以 ．
因为 ，
所以 的周长为 ．
当Ｑ，Ｐ， 三点共线时， 取得最小值 ，
所以 周长的最小值为 ．
16．(1)
(2)
【详解】（1）设 的公差为 ．因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ．
（2）设 的前 项和为 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ．故 .
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）连接BD，交AC于点O，连接OM．
因为底面 是矩形，所以O为AC，BD的中点．
因为M是PD的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 平面 ，所以 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 ，M是PD的中点，所以 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（3）以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
由（2）知平面 的一个法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
所以 令 ，得 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．18．(1) ， ；
(2) .
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，所以 ．
当 时， ，
两式相减可得 ，所以 ，
所以 是首项为1，公比为 的等比数列，所以 .
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ， ， ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，解得 （舍去）或 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
，
两式相减得，
所以 .
19．(1) ；
(2)①证明见解析；
② .
【详解】（1）由已知得 ，
因为 ，又由 ，
可解得 ，
所以椭圆 方程为： .
（2）
①设斜率不为0的直线 的方程为 ，
联立直线 和椭圆方程可得 ，化简得 ，
由于椭圆 与直线 交于两点 ， ，
因此 ，所以 或 ，根据韦达定理可得 ， ，
又因为 ， ，
因此 ，
令 的方程为 ，椭圆 与直线 交于两点 ，
联立直线 和椭圆方程 ，化简得 ，
同理： ， ，
，
因此 （为定值）．
②由于 ，又由于 ，
因此 ，
化简可得 ，设 ，由于 ，因此 ，
因此 ，又由于当 时， ，因此 ，
因此 ，
所以 面积的取值范围为 ．
