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专题 11.2 三角形的边（精选精练）（专项练习）
一、单选题
1．如图， 是 的高，点 在 上，且 ，图中， 与 的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判
断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知一个三角形的两边长分别为 和 ，则该三角
形的第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不
计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整
木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周
长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．m，n的大小无法确定
8．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，
吸管左端对应数轴上的“ ”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，
第一刀剪在数轴上的“ ”处，则第二刀可以剪在（ ）
A．“ ”处 B．“ ”处 C．“ ”处 D．“2”处
9．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为 ，1，x，7，点C在线
段 上且不与端点重合，若线段 能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若 的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次
方程 的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．2611．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在 中， 是 中点， 垂
直平分 ，交 边于点 ，交 边于点 ，在 上确定一点 ，使 最大，则这个最
大值为（ ）
A．10 B．5 C．13 D．
12．（2023八年级上·全国·专题练习）已知， ， ， 均为 的三条边，且 ，则下列结
论：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图是工地塔吊，塔吊用钢缆连接成三角形的理由是
．
14．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）一个三角形的周长为81cm，三边长的比为 ，则
最长边是 ．
15．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知在锐角三角形 中， ，则 取值范
围是 ．
16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则
整数m的最大值是 ．
17．（2022八年级上·浙江·专题练习）三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于．
18．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ，则
对角线 的长度可能是 ．（写出一个即可）
19．（2024八年级·全国·竞赛）如图，从点 到点 有 这三条路线可走，其中 路线如图中
虚线所示（虚线与 所构成的三角形均为直角三角形，它们的斜边均与 重合），长度为 米；
路线为 的斜边 ，长度为 米； 路线为 的两条直角边，长度为 米，则这
三条路线的长度 的大小关系为 ．
20．（2021·山东济宁·一模）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长
是不等式组 的正整数解．则第三边的长为： ．
21．（23-24八年级上·河南郑州·期末）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的
哪一条基本事实推理证明得到？ ．
22．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的不等式组 至少有3个整数解，
且存在以 为边的三角形，则满足条件的a的整数解有 个．
23．（2023·陕西西安·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公
式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积 ，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若一
个三角形的a、b、c、p为四个连续正整数，则此三角形的面积为 ．
24．如图，加油站 和商店 在马路 的同一侧， 到 的距离大于 到 的距离，
米．一个行人 在马路 上行走，当 到 的距离与 到 的距离之差最大时，这个差
等于 米．
三、解答题
25．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示：
（1）图中有几个三角形？把它们一一说出来．
（2）写出 的三个内角．
（3）含 边的三角形有哪些？
26．已知三角形的三条边长为6、10和x．
（1）若6是最短边长，求x的取值范围；
（2）若x为整数，求三角形周长的最大值．
27．（19-20八年级上·安徽合肥·期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．28．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知 的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若 ，且c为偶数．求 的周长．
（2）化简： ．
29．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
（1）BD＋CD＜AB＋AC；
（2）AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
30．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若不等式组 的解集是 ．
（1）求代数式 的值；
（2）若a，b，c为某三角形的三边长，试求 的值．参考答案：
1．C
【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，再由三角形高的定义得到∠BAD+∠EDC=90°，则
．
【详解】解：∵ ，
∴∠BAD=∠ADE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠BAD+∠EDC=90°，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形高的定义，熟知相关知识是解题的关键．
2．C
【分析】根据三角形的定义， 找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【详解】图中是三角形的有： 、 、 、 、 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形， 牢记三角形的定义是解题的关键．
3．C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角
形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
4．A
【分析】此题考查了三角形的三边关系，看选项中两条较小边的和是否大于最大的边即可．
【详解】解：A、 ，能构成三角形，故此选项正确；
B、 ，不能构成三角形，故此选项错误；
C、 ，不能构成三角形，故此选项错误；
D、 ，不能构成三角形，故此选项错误．故选：A．
5．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出
，再结合选项的值，来进行作答即可．
【详解】解：设第三边的长为 ，
∵一个三角形的两边长分别为 和 ，
∴ ，
即 ，
观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的 在 范围内，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查三角形的三边关系．要使两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，
分为四种情况：①选 、4、6作为三角形，②选 、6、2作为三角形，③选 、2、3作为
三角形，④选 、3、4作为三角形，分别在四种情况下应用三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：已知四根木条的长分别为2、3、4、6．
①选 、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，
，
能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选 、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6，
，
能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选 、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3，
，
不能构成三角形，此种情况不成立；
④选 、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4，
，
不能构成三角形，此种情况不成立．
综上所述，任两螺丝的距离值最大为7．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用是解题的关键．
如图，由题意知， ， ，由 ，可得，然后作答即可．
【详解】解：如图，
由题意知， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，有理数与数轴，分别求出第二刀位置在四个选项中的
位置时三段的长，再根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即
可．
【详解】解：A、第二刀剪在“ ”处时，则剪成的三段的长分别为
，
∵ ，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
B、第二刀剪在“ ”处时，则剪成的三段的长分别为 ，
∵ ，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
C、第二刀剪在“ ”处时，则剪成的三段的长分别为 ，
∵ ，
∴此时能构成三角形，符合题意；
D、第二刀剪在“2”处时，则剪成的三段的长分别为 ，
∵ ，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
故选：C．9．C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到
，由三角形三边关系定理得： ，得到不等式组的
解集是 ，即可得到答案．
【详解】解：由点在数轴上的位置得： ，
∵线段 能围成三角形，
∴由三角形三边关系定理得： ，
不等式①恒成立，
由不等式②得： ，
由不等式③得： ，
∴不等式组的解集是 ，
故选：C．
10．B
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，三角形三边的关系的应用，先解方
程得到 ，再由方程的解为非正数得到 ，根据三角形三边的关系求出 ，则符
合题意的k的值为5、6、7，据此可得答案．
【详解】解：解方程 得 ，
∵方程的解为非正数，
∴ ，
∴ ，
∵ 的三边长分别为5，3，k，
∴ ，
∴ ，∴符合题意的k的值为5、6、7，
∴符合条件的所有整数k的和为 ，
故选：B．
11．B
【分析】本题考查三角形三边关系．延长 交直线 于P，在 上任取一点 不与点P重合，
连接 ， ，根据三角形三边关系证明此时， 最大，最大值等于 长即可求解．
【详解】解：如图，延长 交直线 于P，在 上任取一点 不与点P重合，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴此时， 最大，最大值等于 长，
∵D是 中点，
∴ ，
∴ 最大值 ，
故选：B．
12．B
【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” ，不等式
的性质“两边都加上或减去同一个数或同一个式子,不等号的方向不变；两边都乘以或除以同一个
正数,不等号的方向不变；两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变”，逐项判断即可得到
结论．
【详解】解：① ，，
，故①错误；
② 为 的三条边，
，
，
，
，故②正确；
③ ， ， 均为 的三条边，
， ，
，故③正确；
④ ， ， 均为 的三条边，
，
当 时， ，
故④错误，
综上可知，正确的个数有2个，
故选B．
13．三角形具有稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：塔吊用钢缆连接成三角形的理由是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
14．36cm
【分析】设三角形的三边长为2x，3x，4x，找出等量关系：三角形的周长为81cm，列方程求出x
的值，继而可求出三角形的边长．
【详解】解：设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x=81，
解得：x=9，
则三角形的三边长分别为：18cm，27cm，36cm，
所以，最长边长为36cm．
故答案是：36cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程在三角形中的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15．
【分析】由锐角三角形 知， ， ，由 ，计算求解，然后作答即
可．
【详解】解：由锐角三角形 知， ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角形．解题的关键在于熟练掌握锐角三角形中三个内角均小于 ．
16．9
【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可．
【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则 ，即
，因此整数m的最大值是9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边．
17．4
【分析】根据构成三角形的条件可得出m的取值范围，再根据m的取值范围化简绝对值即可求解．
【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴|m﹣3|+|m﹣7|
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件及化简绝对值，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键．
18．9（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的
和是解题的关键．
在 中，根据三角形三边的关系，得 ，在 中，根据三角形三
边的关系，得 ，从而得出 的取值范围，即可求解．【详解】解：在 中，根据三角形三边的关系，得 ，
∴ ，即 ，
在 中，根据三角形三边的关系，得 ，
∴ ，即 ，
∴
∴ （答案不唯一）．
故答案为：9（答案不唯一）．
19．
【分析】本题考查平移的性质，三角形三边长关系，根据平移的性质和三角形三边长关系求解
【详解】解：由平移的性质可知： 路线和 路线长度相等，即： ，
由三角形三边长关系可知： ，
∴ 的大小关系为： ，
故答案为：
20．7
【分析】先利用一元一次不等式组的解法确定出正整数解，然后利用三角形的三边关系来求解．
【详解】解：解 得 ，
所以正整数解是 、 、9．
三角形的其中两边长为 和 ，
，
即 ，
所以只有 符合．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和一元一次不等式的整数解．解题的关键是求解不等式组求出
它的正整数解．
21．两点之间线段最短
【分析】
本题考查了三角形的三边关系及线段的性质，熟记线段性质是解题的关键；
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】如图：
以第三边 为例
由图可知，三角形的两边之和为： ，
相当于从A点到C点经过的距离为： ，
两点之间，线段最短，
从A点到C点最短的距离应为 ，
其余边同理可得： ， ，
定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由基本事实：两点之间线段最短加以解释．
故答案为：两点之间线段最短．
22．3
【分析】由不等式组至少有3个整数解，和三角形的三边关系得到a的范围即可解答；
【详解】解： ，
由①得
由②得
不等式组至少有3个整数解
存在以 为边的三角形
满足条件的a的整数解是 ，共3个；
故答案为3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是由不等式组满
足的条件和三角形的三边关系得到a的范围．
23．6
【分析】不妨设 ，根据已知条件和三角形三边的关系证明 ，再由a、b、c、p为四个连续正整数得到 ，则 ，求出 ，则
，由此代入公式求出面积即可．
【详解】解：不妨设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵a、b、c、p为四个连续正整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，求一个数的算术平方根，正确求出a、b、c、p
的值是解题的关键．
24．700
【分析】当 、 、 构成三角形时， 与 的差小于第三边 ，所以 、 、 在同一直
线上时， 与 的差最大，算出这个最大值即可．
【详解】当 、 、 三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．
∵两边 与 的差小于第三边 ，
、 、 在同一直线上， 到 的距离与 到 的距离之差最大，
∵此时，
∴当 到 的距离与 到 的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700．
【点睛】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线
时距离之差最大．
25．(1)图中有7个三角形，即
(2) 的三个内角是
(3)含 边的三角形有
【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再
通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【详解】（1）解：图中有7个三角形，
分别为： ；
（2）解：在 中，
它的三个内角是 ；
（3）解：由（1）知图中有7个三角形，即 ，
含 边的三角形有 ．
26．(1)6≤x＜16
(2)31
【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可求解；
（2）根据三角形的三边关系，可得4＜x＜16，再由x为整数，可得x的最大值为15，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：10－6＜x＜10＋6，即4＜x＜16
∵6是最短边长，
∴x≥6
∴x的取值范围是6≤x＜16；
（2）解：由（1）可知，4＜x＜16，
∵x为整数，
∴x的最大值为15，
∴三角形周长的最大值为6＋10＋15＝31．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
27．（1）等边三角形；（2）最大值13，最小值11
【分析】（1）根据完全平方式的非负性即可得出结果；
（2）根据三角形三边关系即可得出答案．
【详解】解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5＋2＋4＝11；
当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5＋2＋6＝13．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，三角形三边关系等知识点，熟知相关知识是解题的关键．
28．(1) 的周长为11或13
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形
的三边关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定 、 、 的正负，再化简绝对值，然后再
合并同类项即可解答．
【详解】（1）解： ，
，即 ，
由于c是偶数，则 或6，
当 时， 的周长为 ，
当 时， 的周长为 ．
综上所述， 的周长为11或13．
（2）解： 的三边长为a，b，c，
，．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式
的传递性(若a
