文档内容
专题11.2与三角形有关的角（7个考点3个易错点）
【考点 1 三角形的内角和定理】
【考点 2 直角三角形的内角有关运算】
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【考点4 三角形外角性质】
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
【易错点1 三角形内角和定理】
【易错点2 三角形的外角性质】
【易错点3 直角三角形的性质】
【考点 1 三角形的内角和定理】
1．（2023秋•东莞市期末）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为
（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°．
故选：B．
2．（2023秋•肥城市期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，
∠C＝60°，则∠ADE的度数为（ ）A．80° B．30° C．35° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°，
故选：C．
3．（2023秋•腾冲市期末）如图，已知∠A＝36°，∠ADC＝100°，BE⊥AC于点E．则∠B
的度数为（ ）
A．46° B．44° C．40° D．36°
【答案】A
【解答】解：在△ACD中，∠A＝36°，∠ADC＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣36°﹣100°＝44°．
在△BCE中，∠BCE＝44°，BE⊥AC于点E，
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣44°＝46°．
故选：A．
6．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等
于（ ）A．35° B．50° C．65° D．70°
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∵∠1+∠2＝230°，
∴∠3+∠4＝360°﹣230°＝130°，
∵∠A+∠3+∠4＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
4．（2023秋•德城区期末）如图，在△ADE中，∠DAE＝40°，B、C两点在直线DE上，
且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【答案】C
【解答】解：在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，
∵∠DAE＝40°，∴∠ADE+∠AED＝140°，
即∠CDA+∠BEA＝140°，
在△ABE中，∠B+∠BAE+∠BEA＝180°，
∵∠BAE＝∠BEA，
∴∠B+2∠BEA＝180°①，
在△ACD中，∠C+∠CAD+∠CDA＝180°，
∵∠CAD＝∠CDA，
∴∠C+2∠CDA＝180°②，
①+②得∠B+2∠BEA+∠C+2∠CDA＝360°，
∴∠B+∠C+2（∠BEA+∠CDA）＝360°，
∴∠B+∠C+2×140°＝360°，
∴∠B+∠C＝80°，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝100°，
故选：C．
5．（2024春•电白区期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，DE⊥AB于
点E，FD⊥BC交AC与点F．若∠AFD＝132°，则∠EDF＝ 42 ° ．
【答案】42°．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝132°，
∴∠EDB＝∠CFD＝180°﹣132°＝48°，
∴∠EDF＝90°﹣∠EDB＝90°﹣48°＝42°．
故答案为：42°．
【考点 2 直角三角形的内角有关运算】6．（2023春•北湖区校级期中）已知在 Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝35°，则∠A等
于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝35°，
则∠A＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
7．（2022秋•乐东县期末）如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，顶点A
在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1＝20°，则∠2的度
数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】C
【解答】解：延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠AFC＝90°﹣∠1＝70°，
∵直线a∥b，
∴∠DEC+∠AFC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣70°＝110°，∴∠2＝∠DEC＝110°，
故选：C．
8．（2023秋•滨海新区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°，将其折叠，
使点A落在CB边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为（ ）
A．56° B．32° C．22° D．34°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，
∴∠B＝90°﹣56°＝34°，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D＝∠A＝56°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝56°﹣34°＝22°．
故选：C．
9．（2023秋•蒙城县期中）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则
∠DCB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．56° D．60°
【答案】C
【解答】街：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝56°，
∴∠ACD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DCB＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
10．（2023春•龙岗区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN＝120°，则∠ABF的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACN＝120°，
∴∠ACM＝180°﹣∠ACN＝60°，
∵EF∥MN，
∴∠AHB＝∠ACM＝60°，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，
则∠ABF＝90°﹣∠AHB＝30°，
故选：C．
11．（2022 秋•井研县期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（ ）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠BDE，∵∠BDE＝56°，
∴∠CAB＝56°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝ ∠CAB＝28°，
故选：B．
12．（2023春•白银区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点
D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．60° C．30° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝2∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE是∠ADB的平分线，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∴∠B＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD＝∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故选：C．
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
13．（2023秋•潮南区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝
30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）A．45° B．60° C．50° D．55°
【答案】C
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
14．（2023秋•辽宁期末）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝
48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝68°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，
故选：A．15．（2022秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若
∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
【答案】∠DAE＝15°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝ ∠BAC，
而∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝∠BAE＝90°﹣ ∠B﹣ ∠C，
∵∠DAB＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠EAB﹣DAB，
＝90°﹣ ∠B﹣ ∠C﹣（90°﹣∠B）
＝ （∠B﹣∠C），
∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠DAE＝ ×（70°﹣40°）＝15°．
16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠B＝25°，∠C＝50°，AE是
BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
【答案】12.5°．
【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝52.5°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝65°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝12.5°．
【考点4 三角形外角性质】
17．（2024•寻甸县二模）如图，△ABC的外角∠DAC＝95°，∠B＝55°，则∠C等于（
）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠DAC＝95°，∠B＝55°，
∴∠C＝∠DAC﹣∠B＝40°．
故选：D．
18．（2023秋•东湖区校级期末）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长 ED交
AC于F，那么图中∠AFE的度数是（ ）度．
A．60 B．90 C．100 D．105
【答案】D【解答】解：由题意得，∠E＝45°，∠C＝60°．
∴∠AFE＝∠E+∠C＝45°+60°＝105°．
故选：D．
19．（2024春•武侯区校级期中）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，
∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝138°，他断定这个零件 不合格
（填“合格”或“不合格”）．
【答案】不合格．
【解答】解：连接AC，延长AC到点M，如图所示.
∵∠DCM是△ACD的外角，∠BCM是△ABC的外角，
∴∠DCM＝∠DAC+∠D，∠BCM＝∠BAC+∠B，
∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM
＝∠BAC+∠B+∠DAC+∠D
＝∠BAD+∠B+∠D
＝90°+20°+30°
＝140°．
又∵李叔叔量得∠BCD＝138°，
∴他断定这个零件不合格．
故答案为：不合格．
20．（2024春•朝阳区校级期中）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝150°，
且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 5 0 度．
【答案】50．
【解答】解：延长DF交CE于M，
∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°，
∵∠EFD＝∠E+∠EMF，∠EMF＝∠D+∠DCE，
∴∠EFD＝∠E+∠D+∠DCE，
∵∠CEF＝30°．∠EFD＝150°，
∴∠CDF＝50°，
∴∠CDF应调整为50°．
故答案为：50．
21．（2023秋•蒙城县期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在
BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝ 101 ° ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠1＝57°，
由三角形的外角性质得，∠2＝∠A+∠B＝44°+57°＝101°．
故答案为：101°．
22．（2023秋•安乡县期末）如图，点C是线段BD上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，∠D＝
35°，∠DEC＝ 25 ° ．
【答案】25°．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∵∠D＝35°，∠ACB是△CDE的外角，
∴∠DEC＝∠ACB﹣∠D＝25°．
故答案为：25°．
23．（2023秋•台江区期末）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中 A，D，
C，E四点在同一直线上，点B在DF上，则图中∠ABD的度数是 15 ° ．
【答案】15°．
【解答】解：∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
24．（2023秋•琼中县校级月考）如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠BPC＝134°，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在△BPC中，∠BPC＝134°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BPC＝180°﹣134°＝46°，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×46°＝92°，
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣92°＝88°．
25．（2024春•泉港区期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点
P．
（1）若∠A＝60°，则∠BPC的度数是 120 ° ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A
之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内
角 的 3 倍 ， 求 ∠ A 的 度 数 ．
【答案】（1）120°；（2）∠Q＝90°﹣ ∠A，理由见解答过程；
（3）60° 或120° 或45° 或135°．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠BPC＝90°+ ∠A＝90°+ ×60°＝120°，
故答案为：120°．
（2）∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°﹣ ∠A，理由如下：
∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点
∴∠QBC＝ ∠MBC，∠QCB＝ ∠NCB
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）＝ （180°+∠A）＝90°+ ∠A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A，
故∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q＝90°﹣ ∠A；
（3）∵PB平分∠ABC，BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC＝180°，
∵∠PBC＝ ∠ABC，∠QBC＝ ∠MBC，
∴∠PBC+∠QBC＝ （∠ABC+∠MBC）＝ ×180°＝90°，
即∠EBQ＝90°，
∴∠E+∠Q＝90°，由（2）可知：∠Q＝90°﹣ ∠A，
∴∠E+90°﹣ ∠A＝90°，
∴∠E＝ ∠A，
如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当∠EBQ＝3∠E时，则3∠E＝90°，
∴∠E＝30°，
此时∠A＝2∠E＝60°，
②当∠EBQ＝3∠Q时，则3∠Q＝90°，
∴∠Q＝30°，则∠E＝60°，
此时∠A＝2∠E＝120°，
③当∠Q＝3∠E时，则∠E+3∠E＝90°，
∴∠E＝22.5°，
此时∠A＝2∠E＝45°，
④当∠E＝3∠Q时，则3∠Q+∠Q＝90°，
∴∠Q＝22.5°，
∴∠E＝67.5°
此时∠A＝2∠E＝135°，
综上所述，∠A的度数是60° 或120° 或45° 或135°．
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
26．（2023春•仓山区校级期末）如图，∠CAB的外角的平分线与∠ABC的外角的平分
线交于D点，若∠D＝ ，则∠C的度数是（ ）
α
A．180°﹣2 B． C． D．180°﹣
【答案】A α α
【解答】解：如图，∵∠D＝ ，
∴∠DABα+∠DBA＝180°﹣∠D＝180°﹣ ．
∵∠CAB的外角的平分线与∠ABC的外α角的平分线交于D点，
∴∠EAB＝2∠DAB，∠FBA＝2∠DBA，
∴∠EAB+∠FBA＝2∠DAB+2∠DBA＝2（180°﹣ ）＝360°﹣2 ．
∵∠CAB＝180°﹣∠EAB，∠CBA＝180°﹣∠FBAα， α
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠EAB+180°﹣∠FBA＝360°﹣（∠EAB+∠FBA）＝360°﹣
（360°﹣2 ）＝2 ，
∴∠C＝18α0°﹣（α∠CAB+∠CBA）＝180°﹣2 ．
故选：A． α
27．（2023秋•河北区期中）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A
＝40°，则∠BPC ＝ 70 ° ．
【答案】＝70°．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°．
∵∠CBE，∠BCF均是△ABC的外角，
∴∠CBE＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，
∵BP平分∠CBE，CP平分∠BCF，
∴∠CBP＝ ∠CBE＝ （∠A+∠ACB），∠BCP＝ ∠BCF＝ （∠A+∠ABC），
∴∠CBP+∠BCP＝ （∠A+∠ACB）+ （∠A+∠ABC）＝∠A+ （∠ABC+∠ACB）＝40°+ ×140°＝110°．
在△BCP中，∠CBP+∠BCP＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：＝70°．
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
28．（2023秋•凉州区校级期末）如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平
分∠ACE，且BD、CD交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为 35 ° ．
【答案】35°．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC）＝2∠D．
∵∠A＝70°，
∴ ．
故答案为：35°．
29．（2023秋•宣汉县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角
的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 90 ° ．
【答案】90°．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故答案为：90°．
31．（2023 秋•娄底期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 与
△ABC的外角平分线CD交于点D，则∠D＝ 45 ° ．
【答案】45°．
【解答】解：∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝ ∠ACE，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE﹣∠ABC＝∠A＝90°，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝ （∠ACE﹣∠ABC）＝45°，
故答案为：45°．
32．（2023秋•汝州市期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于
O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝
∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC
＝90°+∠2，正确的是 ①④ ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝ ∠ACD，∠DBE＝ ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝ （∠ACD﹣∠ABC）
＝ ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣ （180°﹣∠1）
＝90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝ ∠ACB，∠ACE＝ ACD，
∴∠OCE＝ （∠ACB+∠ACD）＝ ×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故答案为：①④．【易错点1 三角形内角和定理】
1．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，AB∥OC，DC与OB
相交于点E，则∠DOE的度数为（ ）
A．85° B．70° C．75° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵AB∥OC，∠B＝30°，
∴∠BOC＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
2．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段
EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．41° C．42° D．43°
【答案】A【解答】解：如图，连接AO、BO．
由题意EA＝EB＝EO，
∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∵DO＝DA，FO＝FB，
∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO，
∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO＝100°，
∴2∠DAO+2∠FBO＝100°，
∴∠DAO+∠FBO＝50°，
∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝140°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣140°＝40°，
故选：A．
3．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O +∠O +∠O ＝（ ）
1 2 3
度．
A．84 B．111 C．225 D．201
【答案】D
【解答】解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴①中，∠2+∠4＝ （∠1+∠2+∠3+∠4）＝ （180°﹣42°）＝69°，故∠O ＝180°﹣
1
69°＝111°；②中，∠O ＝∠4﹣∠2＝ [（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝ ∠A＝21°；
2
③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°
+180°﹣138°＝222°
故∠O ＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣ ×222°＝69°
3
∴∠O +∠O +∠O ＝111°+21°+69°＝201°
1 2 3
故选：D．
4．如图，有一特定的纸带，其边沿夹角为15°，现将该纸带沿BD翻折，∠GEA＝30°，则
∠EDB＝（ ）
A．67.5° B．75° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解：如图，延长CD交AB的延长线于点M，由题意可知，∠M＝15°，
∵∠AEG＝30°，
∴∠DEB＝30°，
∴∠EDM＝180°﹣∠DEB﹣∠M＝135°，
由折叠可知，∠EDB＝∠MDB，
∴∠EDB＝135°÷2＝67.5°．
故选：A．
5．如图，DE⊥AB垂足为E，交AC于点F，∠A＝45°，∠D＝25°，则∠ACB＝ 70 ° ．【答案】70°．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠D＝65°，
∵∠A＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°，
故答案为：70°．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝ ∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．7．如图，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，∠A＝80°，∠B＝65°，∠CFE＝
75°．
（1）求∠CEF的度数；
（2）求∠AEC+∠BFC的度数．
【答案】（1）70°；（2）70°．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝80°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°．
∵△CEF中，∠C＝35°，∠CFE＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣35°﹣75°＝70°．
（2）由题意，在四边形ABFE中，∠AEC+∠BFC+（180°﹣∠C）+∠A+∠B＝360°，
∴∠AEC+∠BFC＝360°﹣（∠A+∠B+180°﹣∠C）＝360°﹣（80°+65°+180°﹣35°）＝
70°，即∠AEC+∠BFC＝70°．
【易错点2 三角形的外角性质】
8．三角形中，三个内角的比为1：2：6，则该三角形最大的外角为（ ）
A．108° B．120° C．160° D．162°
【答案】C
【解答】解：设三角形的内角为别为x，2x，6x，
x+2x+6x＝180°，
解得x＝20°，
∴2x＝40°，6x＝120°，
∴最小的内角为20°，
故这个三角形的最大的外角的度数是160°．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外
角∠ACD，则∠E＝（ ）A．40° B．36° C．20° D．18°
【答案】D
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝ ∠ACD，∠EBC＝ ∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝ ∠ACD﹣ ∠ABC＝18°．
故选：D．
10．将一副三角尺按如图方式放置在直尺上，则∠1的度数为 10 5 度．
【答案】105．
【解答】解：如图：
∵∠2+30°+45°＝180°，
∴∠2＝105°．
∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝105°．
故答案为：105．
【易错点3 直角三角形的性质】
11．如图为脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．
一次体检中，若测得某人cobb角∠O＝45°，则图中与∠O相等的角的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB，
∴∠ACO＝∠ACB＝∠BDO＝∠BDA＝90°，
∵∠O＝45°，
∴∠CAO＝90°﹣∠O＝45°，∠DBO＝90°﹣∠O＝45°，
∴∠APD＝90°﹣∠CAO＝45°，
∴∠APD＝∠BPC＝45°，
∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个，
故选：D．
