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专题01 数列的概念
教学目标
1．理解数列的定义，明确项、首项的概念，能准确识别数列的各项；
2．掌握数列的分类标准，熟知数列的一般形式和常见表示方法；
3．理解数列通项公式的含义，能结合公式写出数列的指定项；
4．认识数列与函数的关系，能根据定义判断数列的单调性类型。
教学重难点
重点：
数列的定义、项与首项的概念，数列的分类及常见表示方法；
数列通项公式的含义，数列与函数的内在联系及单调性判断。
难点：
理解数列是特殊的离散型函数，区分数列与一般函数的不同；
理解通项公式与数列项、序号的对应关系，灵活判断数列单调性。
知识点01 数列的概念
（1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1 项,常用符号
表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项,用
表示,……,第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项,
用
表示．其中第1 项也叫做首项．
【即学即练】
1．以下三个结论中正确的个数为（ ）
①
是数列；②
不是数列；③数列的通项公式是唯一的.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义；
②错误，
都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列；
③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的.
故选：B.
2．下面四个结论正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列的图像是一系列孤立的点
C．数列1，2，3，4 和数列1，3，4，2 是相同的数列
D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）（多选）上的函数
【答案】BD
【详解】A 选项，有限数列的项数是有限的，故A 错误；
B 选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相
应图象为一系列孤立的点，故B 正确.
C 选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4 和数列1，3，4，2 不
是相同的数列，故C 错误；
D 选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义
在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D 正确.
故选：BD
知识点02 数列的分类及表示方法
（1）分类:
若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列
（2）一般形式:数列的一般形式是
简记为
．其他方法:解析式法、表格法、图象法．
【即学即练】
3．（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列通项公式的表达式不是唯一的
C．数列1，3，5，7 可表示为
D．数列1，3，5，7 与数列7，5，3，1 不是同一数列
【答案】BD
【详解】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故
A 错误；
数列通项公式的表达式不是唯一的，
例如，数列1，
，1，
，…的通项公式可以是
，也可以是
，故B 正确；
构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C 错误；
根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D 正确．
故选：BD.
4．已知下列数列：
（1）0，0，0，0，0，0；
（2）0，－1，2，－3，4，－5，…；
（3）
，…；
（4）1，0.2，
，
，…；
（5）0，－1，0，…，
，…．
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，
摆动数列是 ．（填序号）
【答案】 （1） （2）（3）（4）（5） （3） （4） （1） （2）（5）
【详解】（1）是常数列且是有穷数列；
（2）是无穷摆动数列；
（3）是无穷递增数列（因为
）；
（4）是无穷递减数列；
（5）是无穷摆动数列．
故答案为：（1）；（2）（3）（4）（5）；（3）；（4）；（1）；（2）（5）.
知识点03 数列的通项公式
如果数列
的第n 项
与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数
列的通项公式．
【即学即练】
5．已知数列
，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将数列整理为：
，
考虑数列：
，
每一项加1 变为：
，通项为
，
所以所求数列的一个通项公式为
．
故选：D
6．设
，数列
的通项公式为
.若
是严格减数列，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据题意，若
是严格减数列，且
，
则
在
时恒成立，
变形可得
在
时恒成立，因为
,
所以必有
，即
的取值范围为
.
故答案为：
．
知识点04 数列与函数
（1）数列与函数的区别和联系：
数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点；
函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线．
（2）数列的单调性
与函数的单调性类似,项数n 相当于自变量x,项
相当于函数值
．
类别
含义
递增数
列
从第2 项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数
列
从第2 项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
【即学即练】
7．已知数列
是严格递增数列，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得
，
解得
，
因为
，所以
.
故选：C.
8．设
是正整数，
，在数列
中，“
且
”是“
是数列
的最大项”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由题意知，若
是数列
的最大项，则
且
，即
且
；若
且
，则
不一定是数列
的最大项，例如数列
，当
时，
，
，但不是最大项，最大项为
，
故“
且
”是“
是数列
的最大项”的必要不充分条件．
故选：B
题型01 数列的概念与辨析
【例1】现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如
按精确度为
得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前4 项为1，1，1，1 的数列通项公式可以为
，
等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是1.
故选：B
【例2】下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
，数列
是递减数列，A 不是；
对于B，
，数列
不是递增数列，B 不是；
对于C，
，数列
是递增数列，是无穷数列，C 是；
对于D，数列
是有穷数列，D 不是．
故选：C
【变式1-1】（多选）下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列
与数列
是同一数列
B．数列
是递减数列
C．数列
的一个通项公式是
D．数列
的通项公式为
，则110 是该数列的第11 项
【答案】BD
【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误，
对于B，由
，即数列为递减数列，B 正确，
对于C，由观察法可知
，C 错误，
对于D，由
，解得
，D 正确，
故选：BD
【变式1-2】下列说法：①数列1，0，－1，－2 与－2，－1，0，1 是相同数列；②数列1，3，5，7 可表
示为
；③数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
；④数列0，1，0，1，…是常数列；⑤数
列
是严格增数列，其中正确的是 ．（填编号）
【答案】⑤
【详解】数列1，0，－1，－2 与－2，－1，0，1 中相同的数的顺序不同，所以不是相同数列，①错；
数列不能用集合表示，②错；
数列0，1，2，3，…一个通项公式为
，③错；
常数列各项均相等，④错．
为为一次函数的形式，对应的函数为严格单调的函数，故⑤对.
故答案为：⑤.
【变式1-3】指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？
(1)2011，2015，2019，2023；
(2)0，
，
，…，
，…；
(3)1，
，
，…，
，…；
(4)1，
，
，…，
，….
【答案】(1)是有穷数列
(2)是无穷数列
(3)是无穷数列
(4)是无穷数列
【详解】（1）由于该数列只有4 项，所以是有穷数列
（2）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列
（3）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列
（4）由于该数列有无穷多项，故是无穷数列
数列及其分类的判定方法：
（1）判断所给的对象是否为数列,关键看它们是不是按一定次序排列的数.
（2）判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷
数列,否则为无穷数列.
题型02 求数列中的某项
【例3】数列
的第8 项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】记数列
为
，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为
，
.
故选：B
【例4】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的
形状把数分成许多类，如图中的
称为三角形数，该数列与一般等差数列不同，前后两项之差
并不相等，而是逐项之差或者高次差相等．我们把这类数列叫作高阶等差数列（三角形数是二阶等差数
列）.现有一个高阶等差数列，其前5 项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第7 项为（ ）
A．82
B．84
C．86
D．88
【答案】B
【详解】设高阶等差数列
，其前5 项分别为1，4，10，20，35，
可得
，
设数列
满足前4 项分别为
，可得
，
所以数列
构成首项为，公差为的等差数列，所以
，
可得
，即
，
所以
，
所以该数列的第7 项为
.
故选：B.
【变式2-1】某种规律排列的一列数：
那么第50 个数是 .
【答案】
【详解】分母为
的数个数为
个，
其中
，故第50 个数的分母为11，
其中
为第47 个数，
为第50 个数.
故答案为：
【变式2-2】如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜
边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2 倍，则第10 个图形的面积为（ ）
A．1023
B．1024
C．2047
D．2048
【答案】C
【详解】根据题意，记图形1 的面积为
，后续图形的面积依次为
，
则图形1 的面积
，图形2 的面积
，
图形3 的面积
，
图形4 的面积
，
以此类推，
则图形
的面积
则第10 个图形的面积为
．
故选：C.
【变式2-3】将
个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2008 到2010 的箭头方向依次为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】观察数表可知，位序相同的数字都是以4 为公差的等差数列，故从2008 至2010，其位序应与
相同，
故选：A．
主要靠观察规律、联想常见的数列等方法.这些方法的具体对象为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的
变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母
各个击破,或寻找分子、分母之间的关系.
题型03 由通项公式确定某项
【例5】已知数列
的通项公式为
，则下列各式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
，
，
，C 错误．
故选：C．
【例6】已知数列
的通项公式为
.
(1)求数列的前三项，60 是此数列的第几项；
(2)n 为何值时，
.
【答案】(1)
，第10 项
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由
，得
.
设
，则
，解得
或
(舍去).
∴
是此数列的第10 项.
（2）令
，解得
或
(舍去)，∴
.
令
，解得
或
(舍去).
∴当
时，
.
令
，解得
.
∴当
时，
.
综上，当
，
；
当
时，
；
当
时，
.
【变式3-1】已知数列
的通项公式为
，则
是该数列的第 项．
【答案】12
【详解】依题意，
，而
，解得
，
所以146 是该数列的第12 项.
故答案为：
【变式3-2】已知数列
的通项公式为
，则下列各数不是数列
的项的是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．80
【答案】B
【详解】因为
，
所以
．
而
，
，
所以4 不是数列
的项.
故选：B．
【变式3-3】根据数列
的通项公式，写出它的前5 项及第
项：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【详解】（1）因为
，
所以
，
.
（2）因为
，
所以
，
.
（3）因为
，
所以
，
，
，
，
，
.
（4）因为
，
所以
，
，
，
，
，
.
（1）由通项公式写出数列的指定项,主要是对
进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析
式和自变量的值求函数值.
（2）判断一个数是否为该数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根
便可确定这个数是否为数列中的项.
题型04 根据数列的前几项求数列的通项公式
【例7】数列
的一个通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知题干数列是
交替出现，故其通项公式可以写成
或利用三角函数来写，
对于A，
的第一项为
，不符合题意，故A 错误；
对于B，
即为
，对应的余弦值为
，符合题意，故B 正确；
对于C，
的前两项依次为
，不符合题意，故C 错误；
对于D，
的第一项为
，不符合题意，故D 错误；
故选：B.
【例8】根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数.
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）设第
项的点数为
，
，
，
，
，
该数列的第项为
，
数列
的一个通项公式为
，
第项的图形如下图所示：
（2）设第
项的点数为
，
，
，
，
，
该数列的第项为
，
数列
的一个通项公式为
，
第项的图形如下图所示：
（3）设第
项的点数为
，
，
，
，
，
该数列的第项为
，
数列
的一个通项公式为
，
第项的图形如下图所示：
【变式4-1】（多选）已知数列
，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是
B．是它的第
项
C．此数列的通项公式是
D．是它的第
项
【答案】AB
【详解】数列
，
即
，
则此数列的通项公式为
，A 正确，C 错，
令
，解得
，故B 正确，D 错.
故选：AB
【变式4-2】观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：
(1)2，4，______，8，10，12；
(2)2，4，______，16，32，______，128，______；
(3)______，4，3，2，1，______，
，______；
(4)______，4，9，16，25，______，49.
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
，
(4)
，
【详解】（1）根据数列的规律可知其是偶数数列，于是空格填
，符合的通项为
；
（2）根据数列的规律发现后一个数是前一个数的
倍，故三个空分别填
，符合的通项为
；
（3）根据数列的规律发现后一个数比前一个数少，故三个空分别填
，符合的通项为
；
（4）根据数列的规律可知其是每个正整数的平方，故两个空分别填
，符合的通项为
.
【变式4-3】如图，直线
与
相交于点
，又直线与
轴交于点
，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，过点
作
轴的垂线交直线于点
，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，…，这样一直作下去，可得到一系列点
，…，设点
的横坐标构成数
列
，则
= ，数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】
【详解】令
，则
，即
横坐标为
，
所以
，
令
，则
，即
横坐标为
，
所以
，
令
，则
，即
横坐标为
，
所以
，
令
，则
，即
横坐标为
，
……
依次类推，易知：
.
故答案为：
，
.
题型05 数列的单调性
【例9】已知数列
的通项公式为
，则数列
为（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
【答案】B
【详解】由
，显然随
的增加，
逐渐变小并趋向于，所以
为递减数列.
故选：B
【例10】数列
的通项公式为
，
．求证：
为递增数列．
【答案】证明见解析
【详解】
，因为
，所以
，所以
，所
以
，又
，所以
，即
，
．所以
是递增数列．
【变式5-1】已知数列
的通项公式为
，则数列
的最小项是
．
【答案】
【详解】由
，
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
数列
在
上都单调递减，
所以最小项为
，即
.
故答案为：
.
【变式5-2】已知数列
的通项公式为
，它的前
项中最小项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，故
，
，所以
，
假设数列
的第
项最小，
，
，
则
，故
，
所以
，
所以
，即数列的前
项中最小项是
，
故选：D.
【变式5-3】已知数列
的通项公式为
，求该数列的最大项．
【答案】
【详解】因为
，又因为
且
，
所以当
或
时，
最大，最大值为
．
判断数列的单调性,则需要从第2 项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足
,则是递增数列;
若满足
,则是递减数列;若满足
,则是常数列;若
与
的大小不确定时,则是摆动数列.
题型06 数列单调性求参数
【例11】已知数列
是单调递增数列，
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，由于数列
为单调递增数列，
即
，
，
整理得
，
令
，则
，
，
所以数列
单调递减，故
是数列
的最大项，
所以
，所以
.
则
的取值范围为
.
故选：D．
【例12】已知数列
的通项公式为
，若
是递增数列，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】当
时，
，
而
，
若
是递增数列，则
恒成立，
得到
的最小值是
，解得
；
当
时，
，
若
是递增数列，则
恒成立，
即
，解得
，且
，解得
，
综上，
，即
.
故答案为：
.
【变式6-1】设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递减数列，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为数列
是单调递减数列，
所以
恒成立，
则
，即
，
又
，则
，所以
，则实数a 的取值范围为
.
故选：D
【变式6-2】已知数列
满足
，若对于任意的
都有
成立，则正整数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意数列
为递增数列，
所以
，则
且
，
又
为正整数，由
知，
，
当
时，
，符合
，
同理
均符合，
当
时，
，不符合
，
故正整数
的取值范围是
.
故选：D.
【变式6-3】已知数列
满足
，若对于任意
都有
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】
对任意的
，都有
，
数列
单调递增，
所以
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
一、单选题
1．已知数列
，则
是它的（ ）
A．第9 项
B．第10 项
C．第13 项
D．第12 项
【答案】C
【详解】数列
，即数列
的通项公式是
，
令
，所以
是它的第13 项.
故选：C.
2．已知数列
的通项公式为
，则数列
为（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
【答案】B
【详解】数列
中，
，则
，
即
，所以数列
为递减数列.
故选：B
3．已知数列的通项公式
，则数列
的最大值是（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，其对应的函数为二次函数
，
开口向下，对称轴为
，又
，
所以
或2 时，
取得最大值，故数列
的最大值是
.
故选：C.
4．已知数列
的通项公式为
，则下列各数是数列
的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】易知数列
为递增数列，且
，
，
，
，
，
故选：C.
5．已知数列
的通项公式为
，且
和
是
中的两项，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，
，其中
、
，且
，
所以，
，
因为
、
，且
，则
、
，
所以，
、
为的两个约数，显然
，
所以，
，解得
，则
，解得
.
故选：B.
6．已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯一的最小项，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，
，令
，得：
，
解得：
或
，因此可知：
；
又当
时，
，当
时，
，所以
在
时，取最小值：
．
当
时，
，则该代数式对应函数对称轴为直线
，
因为
是
中唯一的最小项，所以
，且
，
解得
，且
，
即
．
故选：B
二、多选题
7．下列数列
的通项公式中，是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，
，
数列
为递减数列，故A 错误；
对于B，
，
数列
为递增数列，故B 正确；
对于C，
，
数列
为递增数列，故C 正确；
对于D，
，故D 正确．
故选：BCD．
8．已知数列
的通项公式为
，则（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
、
，
，
【答案】BD
【详解】对任意的
，
，
当
且
时，
，此时，数列
单调递增，即
；
当
时，
；
当
且
时，
，此时，数列
单调递减，
所以，数列
的最大项为
或
，且当
时，
，即
无最小项，BD 对，AC 错.
故选：BD.
三、填空题
9．数列，
，，
，
，…中，按此规律，
是数列的第 项．
【答案】12
【详解】观察，易知数列
的一个通项公式为
，
．
所以
.
故答案为：12.
10．已知数列
中，
，且
，则
.
【答案】
【详解】在数列
中，
，且
，由
可得
，
，
，
，
，
以此类推可知，对任意的
，
，故数列
是以
为周期的周期数列，
因为
，故
.
故答案为：
.
四、解答题
11．下列数列，哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
①2012，2014，2016，2018，2020，2022；
②
；
③
；
④9，9，9，9，9，9．
【答案】①②是递增数列；③是递减数列；④是常数列．
【详解】对于①，
，①是递增数列；
对于②，任意
，
，即
，②是递增数列；
对于③，任意
，
，③是递减数列；
对于④，数列9，9，9，9，9，9 各项均为9，是常数列.
12．已知数列
的通项公式为
．
(1)问
是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；
(2)判断数列
的增减性并证明．
【答案】(1)是，第17 项；
(2)数列
是递增数列，证明见解析
【分析】
【详解】（1）
是这个数列的第17 项．理由如下：
由
，可解得
，
故
是数列
的项，是第17 项．
（2）数列
是递增数列，证明如下：
由题知，
，即
数列
是递增数列．
13．已知数列
的通项公式是
.
(1)若
，当
为何值时，
有最小值？给出结论并求出最小值．
(2)对于任意
，都有
，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)
有最小值，其最小值为
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
由二次函数性质得当
或
时，
有最小值，其最小值为
．
（2）由于对任意
，都有
，
即
对任意
恒成立，
整理得
对任意
恒成立，
令
，由一次函数性质得
单调递减，
则
的最大值为
，因此
，
所以实数k 的取值范围为
．
