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2023-2024 学年高二数学上学期期末模拟考试
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 ，即 ，
则直线的斜率 ，所以倾斜角为 .故选：C
2．向量 ， ，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
【答案】B
【解析】由题设 ，故 .故选：B
3．已知数列 是等差数列， 是其前n项和， ，则 （ ）
A．160 B．253 C．180 D．190
【答案】B
【解析】设数列 的首项为 ，公差为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故选：B.
4．已知 表示的曲线是圆，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由方程 可得 ，
所以当 时表示圆，解得 .故选：C.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知直线l过定点 ，且方向向量为 ，则点 到l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ，
又直线 的方向向量为 ，则 ，
所以 ，
设直线 与直线 所成的角为 ，则 ，则 ，
所以点 到直线 的距离为 ．故选：A．
6．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 是抛物线 上一点，若 ，则
的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】由焦点 到其准线的距离为 得 ；
设 在准线 上的射影为 如图,
则 ，
当且仅当 共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D．
7．等比数列 中， ，数列 ， 的前n项和为 ，则满足 的n
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ，
所以 ，
令 ，整理得 ，解得 ，故选：A.
8．已知 为双曲线 上关于原点对称的两点，点 与点 关于 轴对称，
，直线 交双曲线的右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率 为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
由 ，则点 为线段 的中点，
则 ，从而有 ，
又 ，所以 ，
又由 ，
则 ，即 ，
所以 ，所以 ．故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线 ，其中 ，则（ ）
A．当 时，直线 与直线 垂直
B．若直线 与直线 平行，则
C．直线 过定点
D．当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】对于A，当 时，直线 的方程为 ，其斜率为1，而直线 的斜率为－1，
所以当 时，直线 与直线 垂直，所以A正确；
对于B，若直线 与直线 平行，则 ，解得 或 ，所以B错误；
对于C，当 时， ，与 无关，故直线 过定点 ，所以C正确；
对于D，当 时，直线 的方程为 ，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，
所以D错误，故选：AC．
10．已知在等比数列 中，满足 ， ， 是 的前n项和，则下列说法正确的是
（ ）．
A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．数列 是等差数列 D．数列 中， ， ， 仍成等比数列
【答案】AC
【解析】依题意可知 ，
所以 ，所以数列 是等比数列，A选项正确.
，所以 ，且 ，所以数列 是递减数列，B选项错误.
设 ，则 ，
所以数列 是等差数列，C选项正确.
，因为 ，
故数列{ }中， 不成等比数列，所以D选项错误.故选：AC.
11．已知在棱长为1的正方体 中，点 分别是 ， ， 的中点，下列结论中
正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C．三棱锥 的体积为 D．直线 与 所成的角为
【答案】ABD
【解析】对于A，在正方体 中， ,
平面 ， 平面 ，故 平面 ，A正确；
对于B，以D为坐标原点，以 为 轴，建立空间直角坐标系，
连接 ， ，则 ,
则 ， ，
则 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 ，即 ,
而 平面 ，故 平面 ，B正确；
对于C，连接 ，三棱锥 的体积
，C错误；
对于D，连接EF， ，
则 ，
故 ，
即 ，由于异面直线所成角大于 小于等于 ，
故直线 与 所成的角为 ，D正确，故选：ABD
12．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有
．直线 与准线分别交于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，延长 交准线于
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点为 ，准线为 ，则 ，
由 ，得 ，
对于A，当 时， ，
则 ， ，故A正确；
对于B，当 时，可得 ， ，
则 ，
设直线 ，把 代入，可得 ，
令 ，则 ，同理 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C，由B选项知， ，故C正确；
对于D，当 时， ，则 ，
，
，
由选项A知 ，
， ，
，故D正确．故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列 中， ， ， ，则 .
【答案】
【解析】由题意知 ， ，
， ，
， ，
， ，
易知 是周期为6的数列， ．
14．以 为圆心，且与直线 相切的圆的标准方程是 .
【答案】
【解析】圆心到切线的距离 ，所以圆的半径 ，
所以圆的标准方程为 .
15．在空间直角坐标系 中，向量 ， 分别为异面直线 ， 方向向量，则异
面直线 ， 所成角的余弦值为 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【解析】因为 ，则 ，
而异面直线 所成角的范围为 ，
所以异面直线 所成角的余弦值为 .
16．已知椭圆 ： 的离心率为 ，左顶点是A，左、右焦点分别是 ， ， 是
在第一象限上的一点，直线 与 的另一个交点为 ．若 ，且 的周长为 ，则直线
的斜率为 ．
【答案】
【解析】因为椭圆 ： 的离心率为 ，则 ，
又因为 ，即 ，
则 ，
可得 ，
所以 ，①
又因为 ，可得 ，②
又因为 ，③
由①②③知 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
可得 为锐角，则 ，
所以 ，即 的斜率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．（10分）
已知点 和直线 ．
（1）若直线 经过点P，且 ，求直线 的方程；
（2）若直线 过原点，且点P到直线 ，l的距离相等，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为2．
又直线 经过点 ，
所以直线 的方程为： ，即 ．
（2）点P到直线l的距离为： ，
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为： ，点P到直线 的距离为2，与已知矛盾；
②当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为： ，
则 ，解得 ．
所以，直线 的方程为： ．
18．（12分）
已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
【答案】（1） . ；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由已知 ，得 ，
而 ，所以 .
又因为 ，解得 .所以， .
由 ，可得 .
由 ，可得 ，
联立①②，解得 ，由此可得 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设数列 的前 项和为 ，由 ，
有 ，
，
上述两式相减，得
.
得 .
所以，数列 的前 项和为 .
19．（12分）
已知椭圆 ： 经过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的右顶点为 ，若直线 与椭圆 相交于 两点（异于点 ），且满足 ，求
面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）知 ，
设直线 的方程为 ，
由 得， ，
因为 ，所以 ，即 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，即 ，
设 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以直线 的方程为 ，即直线l恒过定点 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， 最大值为 ．
20．（12分）
在平面直角坐标系中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上．
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 与圆 相交于A、B两点，求 弦长．
【答案】（1） ；（2）4
【解析】（1）曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 , ， , ．
可知圆心在直线 上，故可设该圆的圆心 为 ，
则有 ，解得 ，
故圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为 ；
（2） 的方程为 ．即
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司圆D： ，即
两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为
圆C的圆心 到直线 距离为 ，
所以 .
21．（12分）
平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿 边折叠使得平
面 平面 ， 为斜边 的中点.
（1）求证： .
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
（3）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， .
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，如图，
又 为 的中点， ，
由 ，则 ，
又 为等腰直角三角形， ， , ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，
（2）由（1）知， ，
又平面 平面 ， 是交线， 平面 ，
所以 平面 ，即 两两互相垂直，
故以 为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 ，则 ，
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，令 ，即 ，
设 与平面 所成角为 ，
，
即 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）若存在N使得平面 平面 ，且 ， ，
则 ，解得 ，
又 ，则 ， ，
设 是平面CNM的一个法向量，
则 ，令b=l，则 ，
，解得 ，
故存在N使得平面 平面 ，此时 .
22．（12分）
已知双曲线 经过点 ，双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为2.
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知 为 的中点，作 的平行线 与双曲线 交于不同的两点 ，直线 与双曲线
交于另一点 ，直线 与双曲线 交于另一点 ，证明： 三点共线.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】（1）因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为 .
因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 .
故双曲线 的方程为 .
（2）证明：因为 为 的中点，所以 .
设直线 的方程为 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 .
联立 ,
可得 ，
所以
又因为 ，所以 ，
则 .
同理可得 .
,
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
所以 ，故 三点共线.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
