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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4 页，均为非选择题(第1 题~第20 题，共20 题)。本卷满分为160
分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写
在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是
否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，
在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据
的方差
，其中
．
柱体的体积
，其中是柱体的底面积，
是柱体的高．
锥体的体积
，其中是锥体的底面积，
是锥体的高．
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答
题卡相应位置上．
1. 已知集合
，
，则
_____.
2. 已知复数
的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是_____.
3. 下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.
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4. 函数
定义域是_____.
5. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
6. 从3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少
有1 名女同学的概率是_____.
7. 在平面直角坐标系
中，若双曲线
经过点（3，4)，则该双曲线的
渐近线方程是_____.
8. 已知数列
是等差数列，
是其前n 项和.若
，则
的值是_____.
9. 如图，长方体
的体积是120，E 为
的中点，则三棱锥E-BCD 的体
积是_____.
10. 在平面直角坐标系
中，P 是曲线
上的一个动点，则点P 到直线
x+y=0 的距离的最小值是_____.
11. 在平面直角坐标系
中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-
e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.
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12. 如图，在
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点
.若
，则
的值是_____.
13. 已知
，则
的值是_____.
14. 设
是定义在
上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为2，且
是奇函数.当
时，
，
，其中
.若在区间
上，关于
的方程
有8 个不同的实数根，则
的取值范
围是_____.
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=
，cosB=
，求c 的值；
（2）若
，求
的值．
16. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．
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求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:
的焦点为F1（–1、
0），F2（1，0）．过F2作x 轴的垂线l，在x 轴的上方，l 与圆F2:
交于
点A，与椭圆C 交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结
DF1．已知DF1=
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求点E 的坐标．
18. 如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB
（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．
规划要求:线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A、B 到直
线l 的距离分别为AC 和BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
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（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB 和QA
长度均为d（单位：百米）.求当d 最小时，P、Q
两点间的距离．
19. 设函数
，
为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和
零点均在集合
中，求f（x）的极小值；
（3）若
，且f（x）的极大值为M，求证:M≤
．
20. 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：
，求证:数列{an}为“M－数
列”；
（2）已知数列{bn}满足:
，其中Sn为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
成立，求m 的最大值．
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括21、22、23 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题
区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
21. 已知矩阵
（1）求A2；
（2）求矩阵A 的特征值.
22. 在极坐标系中，已知两点
，直线l 的方程为
.
（1）求A，B 两点间的距离；
（2）求点B 到直线l 的距离.
23. 设
，解不等式
.
【必做题】第24 题、第25 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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24. 设
.已知
.
（1）求n 的值；
（2）设
，其中
，求
的值.
25. 在平面直角坐标系xOy 中，设点集
，
令
.从
集合Mn中任取两个不同
点，用随机变量X 表示它们之间的距离.
（1）当n=1 时，求X 的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）.
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