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2019 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的
对应位置上按要求涂黑.每小题3 分,共42 分)
1．（3 分）在﹣4、﹣
、0、4 这四个数中，最小的数是（ ）
A．4
B．0
C．﹣
D．﹣4
2．（3 分）2013﹣2018 年我国与“一带一路”沿线国家货物贸易总额超过60000 亿元，将
60000 用科学记数法表示为（ ）
A．6×104
B．0.6×105
C．6×106
D．60×103
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．
+
＝
B．x3•x2＝x5
C．（x3）2＝x5
D．x6÷x2＝x3
4．（3 分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4 个黑球和2 个白球，从袋子中随机摸出3 个
球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．3 个都是黑球
B．2 个黑球1 个白球
C．2 个白球1 个黑球
D．至少有1 个黑球
5．（3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥
B．圆锥
C．三棱柱
D．圆柱
6．（3 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能
正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（ ）
第1页（共31页）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC、BD 相交于点O，E 是CD 的中点，则OE 的
长是（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
9．（3 分）某品牌手机三月份销售400 万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量
达到900 万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A．400（1+x2）＝900
B．400（1+2x）＝900
C．900（1﹣x）2＝400
D．400（1+x）2＝900
10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，点D 是⊙O 上一点，∠ADC＝30°，
则∠BOC 的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
11．（3 分）如图，点P 是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P 作PM⊥x 轴，垂
第2页（共31页）
足为M．若△POM 的面积等于2，则k 的值等于（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．2
12．（3 分）如图，D、E 分别是△ABC 边AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，
AC＝4，则AE 的长是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．（3 分）如图，点D 在BC 的延长线上，DE⊥AB 于点E，交AC 于点F．若∠A＝35°，∠D＝
15°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
14．（3 分）如图，小聪用一张面积为1 的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三
角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019 次操作时，余下纸片的面积为（ ）
第3页（共31页）
A．22019
B．
C．
D．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上.每小题3 分,共12 分)
15．（3 分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
16．（3 分）如图是甲、乙两名射击运动员10 次射击成绩的统计表和折线统计图．
平均数
中位数
众数
甲
8
8
8
乙
8
8
8
你认为甲、乙两名运动员， 的射击成绩更稳定．（填甲或乙）
17．（3 分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成
38°角，则木杆折断之前高度约为 m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
18．（3 分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝
0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1 或x＞3
时，y＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题（在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或
第4页（共31页）
演算步骤.共8 题,满分96 分)
19．（10 分）先化简，再求值：
÷
+
，其中a＝|﹣1﹣
|﹣tan60°+（
）﹣1．
20．（10 分）已知：AC 是▱ABCD 的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E，连接CE．（保留作图痕
迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE 的周长．
21．（12 分）赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读
伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一
部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形
统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2 本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统
计图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1 本和4 本的学生中任选两名学生进行交流，
请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4 本的概率．
22．（12 分）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．
这种文具袋标价每个10 元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
第5页（共31页）
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50 支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过
400 元．其中钢笔标价每支8 元，签字笔标价每支6 元，经过沟通，这次老板给予8 折优惠，
那么小明最多可购买钢笔多少支？
23．（12 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是半圆AB 的三等分点，过点C 作AD 延长线的垂
线CE，垂足为E．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
24．（12 分）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b 是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通
常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C 是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0 的距
离可用公式d＝
计算．
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5 的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5 的距离为：
d＝
＝
＝
＝
第6页（共31页）
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0 的距离；
（2）如图，直线y＝﹣x 沿y 轴向上平移2 个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间
的距离．
25．（14 分）如图，直线y＝﹣x+3 与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过
点B、C，与x 轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上找一点E，使EC+ED 的值最小，求EC+ED 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P 点坐标；
若不存在，请说明理由．
26．（14 分）【问题】
如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C 作直线l 平行于AB．∠EDF＝90°，
点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B，另一边DF 与AC 交于点P，研究DP 和
DB 的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点
P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
第7页（共31页）
（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D
作DG⊥CD 交BC 于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A、B），N 是射线BD 上一点，
且AM＝BN，连接MN 与BC 交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，
发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ 的最大值．
第8页（共31页）
2019 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的
对应位置上按要求涂黑.每小题3 分,共42 分)
1．（3 分）在﹣4、﹣
、0、4 这四个数中，最小的数是（ ）
A．4
B．0
C．﹣
D．﹣4
【考点】22：算术平方根；2A：实数大小比较．菁优网版权所有
【分析】根据有理数大小比较的法则求解．
【解答】解：﹣4＜﹣
＜0＜4，
∴在﹣4、﹣
、0、4 这四个数中，最小的数是﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是掌握有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值
反而小．
2．（3 分）2013﹣2018 年我国与“一带一路”沿线国家货物贸易总额超过60000 亿元，将
60000 用科学记数法表示为（ ）
A．6×104
B．0.6×105
C．6×106
D．60×103
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：60000＝6×104，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．
+
＝
B．x3•x2＝x5
C．（x3）2＝x5
D．x6÷x2＝x3
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；78：二次根式
的加减法．菁优网版权所有
第9页（共31页）
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答
案．
【解答】解：A、
+
无法计算，故此选项错误；
B、x3•x2＝x5，正确；
C、（x3）2＝x6，故此选项错误；
D、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运
算法则是解题关键．
4．（3 分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4 个黑球和2 个白球，从袋子中随机摸出3 个
球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．3 个都是黑球
B．2 个黑球1 个白球
C．2 个白球1 个黑球
D．至少有1 个黑球
【考点】X1：随机事件．菁优网版权所有
【分析】正确理解“必然事件”的定义，即可解答．必然事件是指事件一定会发生，即事件
发生的可能性为100%．
【解答】解：A 袋子中装有4 个黑球和2 个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，
所以A 不是必然事件；
B．C．袋子中有4 个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C 有可能不发生，所以B、C 不是
必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查了“必然事件”，正确理解“必然事件”的定义是解题的关键．
5．（3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥
B．圆锥
C．三棱柱
D．圆柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
第10页（共31页）
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为
圆锥．
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想
象能力方面的考查．
6．（3 分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3 分）如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能
正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（ ）
第11页（共31页）
A．
B．
C．
D．
【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据容器上下的大小，判断水上升快慢．
【解答】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有机
的结合起来，注意先慢后快表现出的函数图形为先缓，后陡．
8．（3 分）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC、BD 相交于点O，E 是CD 的中点，则OE 的
长是（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得OE 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形，
∴CD＝BC＝
＝5，且O 为BD 的中点，
∵E 为CD 的中点，
∴OE 为△BCD 的中位线，
∴OE＝
CB＝2.5，
故选：A．
第12页（共31页）
【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解
题的关键．
9．（3 分）某品牌手机三月份销售400 万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量
达到900 万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A．400（1+x2）＝900
B．400（1+2x）＝900
C．900（1﹣x）2＝400
D．400（1+x）2＝900
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【分析】设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，
此题得解．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2＝900．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝
增长后的量．
10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，点D 是⊙O 上一点，∠ADC＝30°，
则∠BOC 的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关
系求得∠BOC 的度数．
【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，
∴
＝
．
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
故选：D．
第13页（共31页）
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运
用定理进行推理是解此题的关键．
11．（3 分）如图，点P 是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P 作PM⊥x 轴，垂
足为M．若△POM 的面积等于2，则k 的值等于（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．2
【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】利用反比例函数k 的几何意义得到
|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值
的意义确定k 的值．
【解答】解：∵△POM 的面积等于2，
∴
|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y＝
图象中任取一点，
过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反
比例函数的性质．
12．（3 分）如图，D、E 分别是△ABC 边AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，
AC＝4，则AE 的长是（ ）
第14页（共31页）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
＝
，即
＝
，
解得，AE＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
13．（3 分）如图，点D 在BC 的延长线上，DE⊥AB 于点E，交AC 于点F．若∠A＝35°，∠D＝
15°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
【考点】K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
【点评】此题考查三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
第15页（共31页）
14．（3 分）如图，小聪用一张面积为1 的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三
角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019 次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019
B．
C．
D．
【考点】KW：等腰直角三角形；P9：剪纸问题．菁优网版权所有
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积
为原来面积的一半即可解答．
【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积
，
第二次：余下面积
，
第三次：余下面积
，
当完成第2019 次操作时，余下纸片的面积为
，
故选：C．
【点评】本题考查图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考
常考题型．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上.每小题3 分,共12 分)
15．（3 分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝
x （
x ﹣
y ）
2
．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
第16页（共31页）
16．（3 分）如图是甲、乙两名射击运动员10 次射击成绩的统计表和折线统计图．
平均数
中位数
众数
甲
8
8
8
乙
8
8
8
你认为甲、乙两名运动员， 乙 的射击成绩更稳定．（填甲或乙）
【考点】VD：折线统计图；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据题意和统计图中的数据可以解答本题．
【解答】解：由统计表可知，
甲和乙的平均数、中位数和众数都相等，
由折线统计图可知，乙的波动小，成绩比较稳定，
故答案为：乙．
【点评】本题考查折线统计图、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确波动越小，成
绩越稳定．
17．（3 分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成
38°角，则木杆折断之前高度约为
8.1
m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【考点】T8：解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】在Rt△APC 中，由AC 的长及sinB＝0.63 的值可得出AB 的长，即可解答．
【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，
∴AB＝
＝
，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）
第17页（共31页）
故答案为8.1
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形选择适当的三角函数求出三
角形边长是解题的关键．
18．（3 分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝
0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1 或x＞3
时，y＞0．上述结论中正确的是
②③④
．（填上所有正确结论的序号）
【考点】AA：根的判别式；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x 轴的交点．
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【分析】由图可知，对称轴x＝1，与x 轴的一个交点为（3，0），则有b＝﹣2a，与x 轴另一个
交点（﹣1，0）；
①由a＞0，得b＜0；
②当x＝﹣1 时，y＝0，则有a﹣b+c＝0；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0 可以看作函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 的交点，由图象可
知函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）
有两个不相等的实数根；
④由图象可知，y＞0 时，x＜﹣1 或x＞3．
【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x 轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x 轴另一个交点（﹣1，0），
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
第18页（共31页）
②当x＝﹣1 时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0 可以看作函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0 时，x＜﹣1 或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象
中获取信息进行准确的分析是解题的关键．
三、解答题（在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.共8 题,满分96 分)
19．（10 分）先化简，再求值：
÷
+
，其中a＝|﹣1﹣
|﹣tan60°+（
）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．菁优网版权所有
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：
÷
+
＝
＝
＝
，
当a＝|﹣1﹣
|﹣tan60°+（
）﹣1＝
+1﹣
+2＝3 时，原式＝
．
【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键
第19页（共31页）
是明确分式化简求值的方法．由于原题有误，已经过菁优网改编．
20．（10 分）已知：AC 是▱ABCD 的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E，连接CE．（保留作图痕
迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE 的周长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质；N2：作图—基本作图．
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【分析】（1）利用基本作图作AC 的垂直平分线得到E 点；
（2）利用平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根据线段垂直平分线上的性
质得到EA＝EC，然后利用等线段代换计算△DCE 的周长．
【解答】解：（1）如图，CE 为所作；
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∵点E 在线段AC 的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
∴△DCE 的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了平行四边形的性质．
21．（12 分）赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读
伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一
部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形
统计图．
第20页（共31页）
（1）随机抽取学生共
50
名，2 本所在扇形的圆心角度数是
216
度，并补全折线统计
图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1 本和4 本的学生中任选两名学生进行交流，
请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4 本的概率．
【考点】VB：扇形统计图；VD：折线统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）用读书数量为3 本的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用360°乘
以读书数量为2 本的人数的所占的百分比得到2 本所在扇形的圆心角度数；然后计算出
读书数量为2 本的人数后补全折线统计图；
（2）画树状图（用1、4 分别表示读书数量为1 本和4 本的学生）展示所有12 种等可能的结
果数，找出这两名学生读书数量均为4 本的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）16÷32%＝50，
所以随机抽取学生共50 名，
2 本所在扇形的圆心角度数＝360°×
＝216°；
4 本的人数为50﹣2﹣16﹣30＝2（人），
补全折线统计图为：
故答案为50，216°．
（2）画树状图为：（用1、4 分别表示读书数量为1 本和4 本的学生）
第21页（共31页）
共有12 种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4 本的结果数为4，
所以这两名学生读书数量均为4 本的概率＝
＝
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概
率．也考查了统计图．
22．（12 分）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．
这种文具袋标价每个10 元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50 支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过
400 元．其中钢笔标价每支8 元，签字笔标价每支6 元，经过沟通，这次老板给予8 折优惠，
那么小明最多可购买钢笔多少支？
【考点】8A：一元一次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x 个，则实际购买了（x+1）个，根据对话内容列出方
程并解答；
（2）设小明可购买钢笔y 支，根据两种物品的购买总费用不超过400 元列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋x 个，则实际购买了（x+1）个，
依题意得：10（x+1）×0.85＝10x﹣17．
解得x＝17．
答：小明原计划购买文具袋17 个．
（2）设小明可购买钢笔y 支，则购买签字笔（50﹣y）支，
依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400﹣10×17+17．
解得y≤4.375．
第22页（共31页）
即y 最大值＝4．
答：小明最多可购买钢笔4 支．
【点评】考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题
意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
23．（12 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是半圆AB 的三等分点，过点C 作AD 延长线的垂
线CE，垂足为E．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】（1）由已知条件得出
，由圆周角定理得出∠BOC＝∠A，证出
OC∥AD，再由已知条件得出CE⊥OC，即可证出CE 为⊙O 的切线；
（2）连接OD，OC，由
，得到∠COD＝
×180°＝60°，根据CD∥AB，得到
S△ACD＝S△COD，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点C、D 为半圆O 的三等分点，
∴
，
∴∠BOC＝∠A，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE 为⊙O 的切线；
（2）解：连接OD，OC，
∵
，
∴∠COD＝
×180°＝60°，
∵CD∥AB，
第23页（共31页）
∴S△ACD＝S△COD，
∴图中阴影部分的面积＝S 扇形COD＝
＝
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关
键．
24．（12 分）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b 是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通
常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C 是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0 的距
离可用公式d＝
计算．
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5 的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5 的距离为：
d＝
＝
＝
＝
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0 的距离；
（2）如图，直线y＝﹣x 沿y 轴向上平移2 个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间
的距离．
第24页（共31页）
【考点】76：分母有理化；F5：一次函数的性质；F9：一次函数图象与几何变换；FF：两条直
线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】（1）直接将Q 点的坐标代入公式d＝
就可以求出结论；
（2）在直线y＝﹣x 任意取一点P，求出P 点的坐标，然后代入点到直线y＝﹣x+2 的距离
公式d＝
就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵3x﹣y+7＝0，
∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．
∵点Q（﹣2，2），
∴d＝
＝
＝
．
∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0 的距离为
；
（2）直线y＝﹣x 沿y 轴向上平移2 个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2，
在直线y＝﹣x 上任意取一点P，
当x＝0 时，y＝0．
∴P（0，0）．
∵直线y＝﹣x+2，
∴A＝1，B＝1，C＝﹣2
∴d＝
＝
，
第25页（共31页）
∴两平行线之间的距离为
．
【点评】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的
坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．
25．（14 分）如图，直线y＝﹣x+3 与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过
点B、C，与x 轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上找一点E，使EC+ED 的值最小，求EC+ED 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P 点坐标；
若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）直线y＝﹣x+3 与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，则点B、C 的坐标分别为（3，
0）、（0，3），将点B、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C′，连接CD′交x 轴于点E，则此时EC+ED 为最
小，即可求解；
（3）分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3 与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，则点B、C 的坐标分别为
（3，0）、（0，3），
将点B、C 的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：
，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1 或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C′，连接CD′交x 轴于点E，则此时EC+ED 为最
小，
第26页（共31页）
函数顶点D 坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD 的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0 时，x＝
，
故点E（
，0），
则EC+ED 的最小值为DC′＝
；
（3）①当点P 在x 轴上方时，如下图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B 作BH⊥AP 于点H，设PH＝BH＝m，
则PB＝PA＝
m，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（
m﹣m）2，解得：m2＝8+4
，
则PB2＝2m2＝16+8
则yP＝
＝2+2
；
第27页（共31页）
②当点P 在x 轴下方时，
则yP＝﹣（2
）；
故点P 的坐标为（1，2
）或（1，﹣2﹣2
）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性
等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（14 分）【问题】
如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C 作直线l 平行于AB．∠EDF＝90°，
点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B，另一边DF 与AC 交于点P，研究DP 和
DB 的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点
P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D
作DG⊥CD 交BC 于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A、B），N 是射线BD 上一点，
且AM＝BN，连接MN 与BC 交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，
发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ 的最大值．
【考点】KY：三角形综合题．菁优网版权所有
【分析】【探究发现】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠CBA＝
第28页（共31页）
∠DCB＝45°，即可证DB＝DP；
【数学思考】
（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP＝DB
【拓展引申】
（3）过点M 作MH⊥MN 交AC 于点H，通过证明△AMH≌△BNQ，可得AH＝BQ，通过证
明△ACM∽△BMQ，可得
，可得BQ＝
，由二次函数的性质可求
BQ 的最大值．
【解答】证明：【探究发现】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DB＝DP
【数学思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴BD＝DP
【拓展引申】
（3）如图4，过点M 作MH⊥MN 交AC 于点H，连接CM，HQ，
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∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB＝90°
∵CD∥AB，∠CDB＝90°
∴∠DBM＝90°
∴∠NMB+∠MNB＝90°
∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH＝BQ
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝4
，AC﹣AH＝BC﹣BQ
∴CH＝CQ
∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM＝∠QMB
∵∠ACB＝∠HMQ＝90°
∴点H，点M，点Q，点C 四点共圆，
∴∠HCM＝∠HQM
∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ＝
∴AM＝2
时，BQ 有最大值为2．
第30页（共31页）
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出BQ 与AM 的关系是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/8/5 10:51:26；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
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