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2018 年浙江省衢州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）﹣3 的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．
D．﹣
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3 的相反数是3．
故选A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是0．
2．（3 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，那么∠1 的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的
角解答即可．
【解答】解：由同位角的定义可知，∠1 的同位角是∠4．
故选C．
【点评】本题考查了同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平
面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解．
3．（3 分）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市2017 年全市生产总值为
138000000000 元，按可比价格计算，比上年增长7.3%，数据138000000000 元用科学记数法
表示为（ ）
A．1.38×1010元 B．1.38×1011元 C．1.38×1012元 D．
0.138×1012元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将138000000000 用科学记数法表示为：1.38×1011．
故选B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（3 分）由五个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从正面看得到3 列正方形的个数依次为2，1，1．
故选C．
【点评】考查三视图的相关知识；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题
的关键．
5．（3 分）如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠ACB=35°，则∠AOB 的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．
6．（3 分）某班共有42 名同学，其中有2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，
老师随机请1 名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（ ）
A．0 B．
C．
D．1
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：∵某班共有42 名同学，其中有2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手
写字，∴老师随机请1 名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是：
=
．
故选B．
【点评】本题主要考查了概率公式，利用符合题意数据与总数的比值=概率求出是解题的关键．
7．（3 分）不等式3x+2≥5 的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥
C．x≤1 D．x≤﹣1
【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
【解答】解：3x≥3
x≥1
故选A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，
本题属于基础题型．
8．（3 分）如图，将矩形ABCD 沿GH 折叠，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上的点E 处，若
∠AGE=32°，则∠GHC 等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【分析】由折叠可得：∠DGH=
∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣
∠DGH=106°．
【解答】解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折叠可得：∠DGH=
∠DGE=74°．
∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
9．（3 分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则
sin∠ABC 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据扇形的面积公式S=
L•R 求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得
15π=π×3×R，解得R=5，∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC=
．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边
之比．
10．（3 分）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD⊥AO 于E，连接BC，过点O 作OF⊥BC 于F，若
BD=8cm，AE=2cm，则OF 的长度是（ ）
A．3cm B．
cm C．2.5cm D．
cm
【分析】根据垂径定理得出OE 的长，进而利用勾股定理得出BC 的长，再利用相似三角形的判
定和性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC 是⊙O 的直径，弦BD⊥AO 于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB 中，OE2+BE2=OB2，即
OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC 中，BC=
．
∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴
，即
，解得：OF=
．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE 的长．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）分解因式：x2
9=
﹣
（
x + 3 ）（
x
3
﹣
）
．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2
9=
﹣
（x+3）（x
3
﹣）．
故答案为：（x+3）（x
3
﹣）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即
“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（4 分）数据5，5，4，2，3，7，6 的中位数是
5
．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均
数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：2、3、4、5、5、6、7，一共7 个数据，其中5 处在第4 位为中
位数．
故答案为：5．
【点评】考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后
再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是
偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（4 分）如图，在△ABC 和△DEF 中，点B，F，C，E 在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一
个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是
AB=ED
（只需写一个，不添加辅助线）．
【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED 可利用
SAS 判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB=ED．
∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF．
∵AB∥DE，∴∠B=∠E．在△ABC 和△DEF 中
，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AB=ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两
边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（4 分）星期天，小明上午8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家
的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45 小明离家的距离是
1.5
千
米．
【分析】首先设当40≤t≤60 时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再
把（40，2）（60，0）代入可得关于k|B 的方程组，解出k、b 的值，进而可得函数解析式，再把
t=45 代入即可．
【解答】解：设当40≤t≤60 时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b．
∵图象经过（40，2）（60，0），∴
，解得：
，∴y 与t 的函数关系式为y=﹣
x+6，当t=45 时，y=﹣
×45+6=1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解
析式．
15．（4 分）如图，点A，B 是反比例函数y= （x＞0）图象上的两点，过点A，B 分别作AC⊥x 轴
于点C，BD⊥x 轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=
5
．
【分析】由三角形BCD 为直角三角形，根据已知面积与BD 的长求出CD 的长，由OC+CD 求出
OD 的长，确定出B 的坐标，代入反比例解析式求出k 的值，利用反比例函数k 的几何意义求
出三角形AOC 面积即可．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=
BD•CD=3，即CD=3．
∵C（2，0），即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B（5，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=
，
则S△AOC=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟
练掌握反比例函数k 的几何意义是解答本题的关键．
16．（4 分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方
向旋转θ 角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．
如图，等边△ABC 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O 重合，点C 在x 轴的正半轴上．
△A1B1C1就是△ABC 经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC 经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2
经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△An
1
﹣Bn
1
﹣Cn
1
﹣经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是 （﹣
，﹣
） ，点A2018
的坐标是 （﹣
，
） ．
【分析】分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n
个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n 个单位变换就是横坐标加n，纵坐
标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以
发现其中规律．
【解答】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：
对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n 个单位变换，再进行关于原点作中心对称变
换．
△ABC 经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1 坐标（﹣
，﹣
）
△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣
，
）
△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣
，﹣
）
△A3B3C3经γ（3，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣
，
）
依此类推……
可以发现规律：An横坐标存在周期性，每3 次变换为一个周期，纵坐标为
当n=2018 时，有2018÷3=672 余2
所以，A2018横坐标是﹣
，纵坐标为
故答案为：（﹣
，﹣
），（﹣
，
）．
【点评】本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a，θ）变换的
定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不
同的规律，需要分别来研究．
三、解答题（本大题共8 小题，第17-19 小题每小题6 分，第20-21 小题每小题6 分，第22-23
小题每小题6 分，第24 小题12 分，共66 分）
17．（6 分）计算：|
2
﹣|﹣
+23﹣（1
π
﹣）0．
【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、乘方、二次根式化简4 个考点．在计算时，需要针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=2
3
﹣+8
1=6
﹣
．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题
目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6 分）如图，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：
AE=CF．
【分析】由全等三角形的判定定理AAS 证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
【解答】证明：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE 与△CDF 中，
，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图
是解题的关键．
19．（6 分）有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，
木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2+
=
=a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导
过程．
20．（8 分）“五•一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A 处小明接到小陈发
来的定位，发现小陈家C 在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l 步行200 米到达
B 处，这时定位显示小陈家C 在自己的北偏东30°方向，如图所示，根据以上信息和下面的对
话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D 处（精确到1 米）（备用
数据：
≈1.414，
≈1.732）
【分析】根据题意表示出AD，DC 的长，进而得出等式求出答案．
【解答】解：如图所示：可得：∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m，则设BD=x，故DC=
x．
∵AD=DC，∴200+x=
x，解得：x=100（
﹣1）≈73，答：小明还需沿绿道继续直走73 米才能
到达桥头D 处．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=DC 是解题的关键．
21．（8 分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活
动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五
项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学
生都参与了活动，最少的参与了1 项，最多的参与了5 项，根据调查结果绘制了如图所示不
完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）被随机抽取的学生共有多少名？
（2）在扇形统计图中，求活动数为3 项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计
图；
（3）该校共有学生2000 人，估计其中参与了4 项或5 项活动的学生共有多少人？
【分析】（1）利用活动数为2 项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；
（2）利用活动数为3 项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5 项的
学生数，即可补全折线统计图；
（3）利用参与了4 项或5 项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4 项或5 项活动
的学生总数．
【解答】解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%=50（人）；
（2）活动数为3 项的学生所对应的扇形圆心角=
×360°=72°，活动数为5 项的学生为：50﹣
8
14
10
12=6
﹣
﹣
﹣
，如图所示：
（3）参与了4 项或5 项活动的学生共有
×2000=720（人）．
【点评】本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图
得出解题所需的数据是解题的关键．
22．（10 分）如图，已知AB 为⊙O 直径，AC 是⊙O 的切线，连接BC 交⊙O 于点F，取
的中点
D，连接AD 交BC 于点E，过点E 作EH⊥AB 于H．
（1）求证：△HBE∽△ABC；
（2）若CF=4，BF=5，求AC 和EH 的长．
【分析】（1）根据切线的性质即可证明：∠CAB=∠EHB，由此即可解决问题；
（2）连接AF．由△CAF∽△CBA，推出CA2=CF•CB=36，推出CA=6，AB=
=3
，AF=
=2
，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF=AH=2
，设EF=EH=x．在Rt△EHB 中，可
得（5
x
﹣）2=x2+（
）2，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AC 是⊙O 的切线，∴CA⊥AB．
∵EH⊥AB，∴∠EHB=∠CAB．
∵∠EBH=∠CBA，∴△HBE∽△ABC．
（2）连接AF．
∵AB 是直径，∴∠AFB=90°．
∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴CA2=CF•CB=36，∴CA=6，AB=
=3
，AF=
=2
．
∵
=
，∴∠EAF=∠EAH．
∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF=EH．
∵AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF=AH=2
，设EF=EH=x．在Rt△EHB 中，（5
x
﹣）2=x2+（
）2，∴x=2，∴EH=2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
23．
（10 分）某游乐园有一个直径为16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的
水柱为抛物线，在距水池中心3 米处达到最高，高度为5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷
水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标
系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅
站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，
把水池的直径扩大到32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）
处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8 时x 的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不
变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣
x2+bx+
，代入点
（16，0）可求出b 值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x
3
﹣）2+5（a≠0），将
（8，0）代入y=a（x
3
﹣）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣
，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的
函数表达式为y=﹣
（x
3
﹣）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8 时，有﹣（x
3
﹣）2+5=1.8，解得：x1=
1
﹣，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8 米的王
师傅站立时必须在离水池中心7 米以内．
（3）当x=0 时，y=﹣
（x
3
﹣）2+5=
．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣
x2+bx+
．
∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣
×162+16b+
，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线
（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣
x2+3x+
=﹣（x﹣
）2+
，∴扩建改造后喷水
池水柱的最大高度为
米．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题
的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象
上点的坐标特征求出当y=1.8 时x 的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表
达式．
24．（12 分）如图，Rt△OAB 的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为（6，8），直线CD 交AB 于
点D（6，3），交x 轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD 的函数表达式；
（2）动点P 在x 轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1 个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作
直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t．
①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P 的坐标；若
不存在，请说明理由；
②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M，在直线CD 上存在点Q，使得以OB 为一边，O，
B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①如图1 中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．利用平行线分线段成比例定理，计算即可，再根
据对称性求出P′；
②分两种情形分别求解即可解决问题：如图2 中，当OP=OB=10 时，作PQ∥OB 交CD 于Q．如
图3 中，当OQ=OB 时，设Q（m，﹣
m+6），构建方程求出点Q 坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）设直线CD 的解析式为y=kx+b，则有
，解得
，∴直线CD 的
解析式为y=﹣
x+6．
（2）①如图1 中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．
∵DP∥OB，∴
=
，∴
=
，∴PA=
，∴OP=6﹣
=
，∴P（
，0），根据对称性可
知，当AP=AP′时，P′（
，0），∴满足条件的点P 坐标为（
，0）或（
，0）．
②如图2 中，当OP=OB=10 时，作PQ∥OB 交CD 于Q．
∵直线OB 的解析式为y=
x，∴直线PQ 的解析式为y=
x+
，由
，解得
，∴Q（﹣4，8），∴PQ=
=10，∴PQ=OB．
∵PQ∥OB，∴四边形OBQP 是平行四边形．
∵OB=OP，∴四边形OBQP 是菱形，此时点M 与的Q 重合，满足条件，t=0．
如图3 中，当OQ=OB 时，设Q（m，﹣
m+6），
则有m2+（﹣
m+6）2=102，解得m=
，∴点Q 的横坐标为
或
，设
点M 的横坐标为a，则有：
=
或
=
，∴a=
或
，∴满足条件的t 的值为
或
．
【点评】本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等
知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定
两个函数的交点坐标，所以中考压轴题．
