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2017 年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）在﹣2，﹣5，5，0 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣5 C．5D．0
2．（4 分）据统计2014 年我国高新技术产品出口总额40570 亿元，将数据40570
亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.0570×109 B．0.40570×1010
C．40.570×1011 D．4.0570×1012
3．（4 分）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB 于点D，∠1=50°，则∠BCD 的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
4．（4 分）不等式组﹣2≤x+1＜1 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C
．
D．
5．（4 分）过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得
到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
第1页（共27页）
6．（4 分）如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时
针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（4 分）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10
x
﹣
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
8．
（4 分）已知一个函数图象经过（1，﹣4），
（2，﹣2）两点，在自变量x 的某个取值
范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数
9．（4 分）某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三月份的产值又比二
月份的产值增长了x%，则三月份的产值比一月份的产值增长了（ ）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%
10．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC 内依次作
∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF 等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）分解因式：m3n
4mn=
﹣
．
第2页（共27页）
12．
（5 分）若函数y= 与y=x
2
﹣图象的一个交点坐标（a，b），则﹣的值为 ．
13．（5 分）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为
a、b，紧随其后的数就是2a
b”
﹣
，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2
1”
﹣
得到的，那么这组数中y 表示的数为 ．
14．（5 分）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC 上，
将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以
下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；
③EC 平分∠DCH；④当点H 与点A 重合时，EF=2
以上结论中，你认为正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
15．（8 分）计算：﹣22﹣+2cos45°+|1﹣|
16．（8 分）如图，一次函数的图象经过（2，0）和（0，﹣4），根据图象求
的值．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
17．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A
（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
第3页（共27页）
①将△ABC 先向右平移4 个单位长度、再向上平移2 个单位长度，得到△A1B1C1，
画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC 关于原点O 成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M 成中心对称，请直接写出对称中
心M 点的坐标．
18．（8 分）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3 张卡片，卡片上分别写着
3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；
盒子外有一张写着5cm 的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、
乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量
分别作为一条线段的长度．
（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）
19．（10 分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1：2.4，坡长AP 为26 米，在坡顶A 处的
同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在
坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：
（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；
（2）古塔BC 的高度（结果精确到1 米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
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20．（10 分）如图，点B、C、D 都在⊙O 上，过C 点作CA∥BD 交OD 的延长线于点
A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）求由线段AC、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
六、解答题（本题满分12 分）
21．（12 分）如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足
在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．
（1）证明：AB•CD=PB•PD．
（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
（3）已知抛物线与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点（0，﹣3），顶点
为P，如图丙所示，若Q 是抛物线上异于A、B、P 的点，使得∠QAP=90°，求Q 点坐
标．
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七、解答题（本题满分12 分）
22．（12 分）某网店打出促销广告：最潮新款服装50 件，每件售价300 元，若一次
性购买不超过10 件时，售价不变；若一次性购买超过10 件时，每多买1 件，所买
的每件服装的售价均降低2 元．已知该服装成本是每件200 元，设顾客一次性购
买服装x 件时，该网店从中获利y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
八、解答题（本题满分14 分）
23．（14 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F
分别为OA，OB 的中点．若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记
旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果
即可）．
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2017 年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）（2017•瑶海区一模）在﹣2，﹣5，5，0 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣5 C．5D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
5
﹣＜﹣2＜0＜5，
∴在﹣2，﹣5，5，0 这四个数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝
对值大的其值反而小．
2．
（4 分）
（2015•河南）据统计2014 年我国高新技术产品出口总额40570 亿元，将
数据40570 亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.0570×109 B．0.40570×1010
C．40.570×1011 D．4.0570×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．本
题中40570 亿，有13 位整数，n=13
1=12
﹣
．
【解答】解：40570 亿=4057000000000=4.057×1012，
故选D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4 分）（2016•咸宁）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB 于点D，∠1=50°，则∠BCD 的度
数为（ ）
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A．50° B．45° C．40° D．30°
【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC 的度数，然后在直角三角形CBD 中可
求得∠BCD 的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD⊥AB 于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的
性质，掌握相关知识是解题的关键．
4．（4 分）（2014•临沂）不等式组﹣2≤x+1＜1 的解集，在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C
．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵由题意可得
，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜0，
∴﹣3≤x＜0，
在数轴上表示为：
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．
故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知““小于向左，大于向
右”是解答此题的关键．
5．（4 分）（2013•荆门）过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一
个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．
【解答】解：所给图形的俯视图是B 选项所给的图形．
故选B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向
下看得到的视图．
6．（4 分）（2013•昭通）如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC
绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过C 点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的
问题，转化为在Rt△BCD 中求tanB．
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【解答】解：过C 点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD 中，tanB= = ，
∴tanB′=tanB= ．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数
值的求法．
7．（4 分）（2016•福州）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10
x
﹣
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的
频数知出现次数最多的数据及第15、16 个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15 岁与年龄为16 岁的频数和为x+10
x=10
﹣
，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14 岁，中位数为：
=14 岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数
是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8．（4 分）（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量
x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可
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能是（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数
【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．
【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b，
由题意得，
，
解得，
，
∵k＞0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴A、B 错误，
设反比例函数解析式为：y= ，
由题意得，k=
4
﹣，
k＜0，
∴在每个象限，y 随x 的增大而增大，
∴C 错误，
当抛物线开口向上，x＞1 时，y 随x 的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌
握各个函数的增减性是解题的关键．
9．
（4 分）
（2017•瑶海区一模）某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三
月份的产值又比二月份的产值增长了x%，则三月份的产值比一月份的产值增长
了（ ）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%
【分析】直接利用已知表示出三月份的产值，进而表示出增长率，即可得出答案．
【解答】解：设一月份的产值为a，则二月份的产值为：a（1+x%），
故三月份的产值为：a（1+x%）2，
则三月份的产值比一月份的产值增长了
﹣1=（2+x%）x%．
故选：D．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出增长率是解题关键．
第11页（共27页）
10．（4 分）（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC 内依
次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF 等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比
例的知识，可得出EF 的长度．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴= ，= ，= ，= ，
∵AB=AC，
∴CD=CE，
解得：CD=CE= ，DE= ，EF= ．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，
难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．
二、填空题（每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）（2015•杭州）分解因式：m3n
4mn=
﹣
mn
（
m
2
﹣
）（
m
+ 2 ）
．
【分析】先提取公因式mn，再利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：m3n
4mn
﹣
=mn（m2
4
﹣）
=mn（m
2
﹣）（m+2）．
第12页（共27页）
故答案为：mn（m
2
﹣）（m+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公
式是解题关键．
12．（5 分）（2017•瑶海区一模）若函数y= 与y=x
2
﹣图象的一个交点坐标（a，b），
则﹣的值为 ﹣
2
．
【分析】根据函数解析式，可得b= ，b=a
2
﹣，进而得出ab=1，b
a=
2
﹣
﹣，即可求得
﹣= = =
2
﹣．
【解答】解：∵函数y= 与y=x
2
﹣图象的一个交点坐标（a，b），
∴b= ，b=a
2
﹣，
∴ab=1，b
a=
2
﹣
﹣，
∴﹣= = =
2
﹣
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数解析式得到ab=1，
b
a=
2
﹣
﹣是解决本题的关键．．
13．（5 分）（2014•上海）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前
两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a
b”
﹣
，例如这组数中的第三个数“3”是
由“2×2
1”
﹣
得到的，那么这组数中y 表示的数为 ﹣
9
．
【分析】根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a
b”
﹣
，
首先建立方程2×3
x=7
﹣
，求得x，进一步利用此规定求得y 即可．
【解答】解：
解法一：常规解法
∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a
b
﹣
∴2×3
x=7
﹣
∴x=
1
﹣
则2×（﹣1）﹣7=y
解得y=
9
﹣．
解法二：技巧型
第13页（共27页）
∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a
b
﹣
∴7×2
y=23
﹣
∴y=
9
﹣
故答案为：﹣9．
【点评】此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．
14．（5 分）（2017•瑶海区一模）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点
E，F 分别在AD，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，
点D 落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；
③EC 平分∠DCH；④当点H 与点A 重合时，EF=2
以上结论中，你认为正确的有
①②④
．（填序号）
【分析】①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然
后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②点H 与点A 重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8
x
﹣，利用勾股定理列出方程求解
得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF 的取值范
围，判断出②正确；
③根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有
∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，判断出③错误；
④过点F 作FM⊥AD 于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④
正确．
【解答】解：①∵FH 与EG，EH 与CF 都是原来矩形ABCD 的对边AD、BC 的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE 是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE 是菱形，
第14页（共27页）
故①正确；
②点H 与点A 重合时，设BF=x，则AF=FC=8
x
﹣，
在Rt△ABF 中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8
x
﹣）2，
解得x=3，
点G 与点D 重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF 的取值范围为3≤BF≤4，
故②正确；
③∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，
故③错误；
过点F 作FM⊥AD 于M，
则ME=（8
3
﹣）﹣3=2，
由勾股定理得，
EF=
=2 ，
故④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定
理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
15．（8 分）（2017•瑶海区一模）计算：﹣22﹣+2cos45°+|1﹣|
【分析】原式利用乘方的意义，二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及绝对值
的代数意义化简，计算即可得到结果．
第15页（共27页）
【解答】解：原式=
4
2
﹣﹣
+2× +
1=
5
﹣
﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
16．（8 分）（2017•瑶海区一模）如图，一次函数的图象经过（2，0）和（0，﹣4），根
据图象求
的值．
【分析】先根据题意得出一次函数的解析式，求出k、b 的值，再代入代数式进行计
算即可．
【解答】解：∵一次函数的图象经过（2，0）和（0，﹣4），
∴
，解得
．
∵k2
2kb
﹣
+b2=（k
b
﹣）2=（2+4）2=36，
∴
= =6．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点
的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
17．（8 分）（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐
标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC 先向右平移4 个单位长度、再向上平移2 个单位长度，得到△A1B1C1，
画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC 关于原点O 成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M 成中心对称，请直接写出对称中
心M 点的坐标．
第16页（共27页）
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C 平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然
后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C 关于原点O 的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺
次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是对称中心M．
【解答】解：（1）①△A1B1C1如图所示；
②△A2B2C2如图所示；
（2）连接B1B2，C1C2，得到对称中心M 的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，
准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
18．（8 分）（2015•遵义）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3 张卡片，卡
片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写着2cm、
4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm 的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相
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同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡
片上标明的数量分别作为一条线段的长度．
（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与
这三条线段能组成三角形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先由树状图求得这三条线段能组成直角三角形的情况，然后直接利用概率
公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7 种情况，
∴这三条线段能组成三角形的概率为：；
（2）∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；
∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）
19．（10 分）（2017•资中县模拟）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1：2.4，坡长AP 为
26 米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶
B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：
（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；
（2）古塔BC 的高度（结果精确到1 米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
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【分析】（1）过点A 作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP 的坡度为1：2.4，得出
AH，PH，AP 的关系求出即可；
（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°= ，求出即可．
【解答】解：（1）过点A 作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP 的坡度为1：2.4，∴= ，
设AH=5km，则PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km．
∴13k=26m． 解得k=2．
∴AH=10m．
答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10m．
（2）延长BC 交PQ 于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC 是矩形，CD=AH=10，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x
14
﹣
．
在Rt△ABC 中，tan76°= ，即≈4.0，
解得x= ，即x≈19，
答：古塔BC 的高度约为19 米．
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【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得
出各边长度是解题关键．
20．（10 分）（2014•黔西南州）如图，点B、C、D 都在⊙O 上，过C 点作CA∥BD 交
OD 的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）求由线段AC、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出
∠OCA，根据切线的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO 的面积和扇形COD 的面积，
即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，交BD 于E，
∵∠B=30°，∠B= ∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC 是⊙O 的切线；
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（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE= BD= ，
∵sin∠COD= ，
∴OD=2，
在Rt△ACO 中，tan∠COA= ，
∴AC=2 ，
∴S 阴影= ×2×2 ﹣
=2 ﹣．
【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直
角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．
六、解答题（本题满分12 分）
21．（12 分）（2017•瑶海区一模）如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为
B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．
（1）证明：AB•CD=PB•PD．
（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
（3）已知抛物线与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点（0，﹣3），顶点
为P，如图丙所示，若Q 是抛物线上异于A、B、P 的点，使得∠QAP=90°，求Q 点坐
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标．
【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP 和△PCD 相似，
再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
（2）与（1）的证明思路相同；
（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P 的坐标，
再过点P 作PC⊥x 轴于C，设AQ 与y 轴相交于D，然后求出PC、AC 的长，再根据
（2）的结论求出OD 的长，从而得到点D 的坐标，利用待定系数法求出直线AD 的
解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q 的坐标．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴= ，
∴AB•CD=PB•PD；
（2）AB•CD=PB•PD 仍然成立．
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴= ，
∴AB•CD=PB•PD；
（3）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
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∵抛物线与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点（0，﹣3），
∴
，
解得
，
所以，y=x2
2x
3
﹣
﹣，
∵y=x2
2x
3=
﹣
﹣
（x
1
﹣）2
4
﹣，
∴顶点P 的坐标为（1，﹣4），
过点P 作PC⊥x 轴于C，设AQ 与y 轴相交于D，
则AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根据（2）的结论，AO•AC=OD•PC，
∴1×2=OD•4，
解得OD= ，
∴点D 的坐标为（0，），
设直线AD 的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
所以，y= x+ ，
联立
，
解得
，
（为点A 坐标，舍去），
所以，点Q 的坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系
数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交
点坐标，综合题，但难度不大，根据同角的余角相等求出两个角相等得到两三角
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形相似是解题的关键．
七、解答题（本题满分12 分）
22．（12 分）（2017•瑶海区一模）某网店打出促销广告：最潮新款服装50 件，每件
售价300 元，若一次性购买不超过10 件时，售价不变；若一次性购买超过10 件时，
每多买1 件，所买的每件服装的售价均降低2 元．已知该服装成本是每件200 元，
设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
【分析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；
（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．
【解答】解：（1）y=
；
（2）在0≤x≤10 时，y=100x，当x=10 时，y 有最大值1000；
在10＜x≤30 时，y=
2x
﹣
2+120x，
当x=30 时，y 取得最大值=1400，
∴顾客一次购买30 件时，该网站从中获利最多．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出y 与x 的函数关系是解题
关键．
八、解答题（本题满分14 分）
23．（14 分）（2014•天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A（﹣2，0），点B（0，
2），点E，点F 分别为OA，OB 的中点．若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方
形OE′D′F′，记旋转角为α．
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（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果
即可）．
【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．
（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．
（3）首先找到使点P 的纵坐标最大时点P 的位置（点P 与点D′重合时），然后运用
勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P 的纵坐标的
最大值．
【解答】解：（Ⅰ）当α=90°时，点E′与点F 重合，如图①．
∵点A（﹣2，0）点B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵点E，点F 分别为OA，OB 的中点，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O 中，
AE′=
．
在Rt△BOF′中，
BF′=
．
∴AE′，BF′的长都等于．
（Ⅱ）当α=135°时，如图②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，
，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
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∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′．
（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，
∴点P、B、A、O 四点共圆，
∴当点P 在劣弧OB 上运动时，点P 的纵坐标随着∠PAO 的增大而增大．
∵OE′=1，
∴点E′在以点O 为圆心，1 为半径的圆O 上运动，
∴当AP 与⊙O 相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，
此时∠AE′O=90°，点D′与点P 重合，点P 的纵坐标达到最大．
过点P 作PH⊥x 轴，垂足为H，如图③所示．
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′= ．
∴AP= +1．
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH= AP=
．
∴点P 的纵坐标的最大值为
．
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【点评】本题是在图形旋转过程中，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、
三角形的外角性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点P 的
纵坐标最大时点P 的位置是解决最后一个问题的关键．
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