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2016-2017 学年安徽省芜湖市南陵县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）﹣3 的倒数是（ ）
A．﹣
B．3C．D．±
2．（4 分）2017 年2 月27 日在南陵县第十七届人民代表大会第一次会议上，徐晓
明县长在政府工作报告中说南陵五年来，综合经济实力大幅跃升，地区生产总值
增加到205.5 亿元．其中205.5 亿用科学记数法表示为（ ）
A．205.5×104
B．2.055×102
C．2.055×1010 D．2.055×1011
3．（4 分）与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
（4 分）如图，已知直线AB∥CD，∠BEG 的平分线EF 交CD 于点F，若∠1=42°，则
∠2 等于（ ）
A．159° B．148° C．142° D．138°
5．（4 分）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次体育课上，体育老
师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：
成绩（m）
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
次数
1
1
2
5
1
则下列关于这组数据的说法中正确的是（ ）
第1页（共29页）
A．众数是2.45 B．平均数是2.45
C．中位数是2.5 D．方差是0.48
6．（4 分）某广场绿化工程中有一块长2 千米，宽1 千米的矩形空地，计划在其中
修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如
图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行
通道的宽度为x 千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1 B．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1 C．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1 D．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=2
7．（4 分）小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直
不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是P1，P2，则下列结论正确的是（ ）
A．P1=P2 B．P1＞P2
C．P1＜P2
D．P1≤P2
8．（4 分）如图，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 在直线y=2x
4
﹣上运动，当线段AB
最短时，点B 的坐标是（ ）
A．（﹣，﹣）B．
（，）C．（﹣，）D．（，﹣）
9．（4 分）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，延长AB 至点E，使得BE=1，EF⊥AE，
EF=AE．分别连接AF，CF，M 为CF 的中点，则AM 的长为（ ）
第2页（共29页）
A．2
B．3
C．D．
10．
（4 分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=60°，AB=6 厘米，BC=12 厘米，点P、Q
同时从 顶点A 出发，点P 沿A→B→C→D 方向以2 厘米/秒的速度前进，点Q 沿
A→D 方向以1 厘米/秒的速度前进，当Q 到达点D 时，两个点随之停止运动．设运
动时间为x 秒，P、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y（cm2），则y 与x
的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）若使式子
有意义，则x 的取值范围是 ．
12．（5 分）如图，在⊙O 中，∠AOB+∠COD=70°，AD 与BC 交于点E，则∠AEB 的度
数为 ．
13．（5 分）因式分解：﹣x2+ x﹣= ．
14．（5 分）如图，D、E 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长
相等，△CAE 与△CBE 的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，给出以下几个结论：
①如果AD 是BC 边中线，那么CE 是AB 边中线；
②AE 的长度为
；
③BD 的长度为
；
④若∠BAC=90°，△ABC 的面积为S，则S=AE•BD．
第3页（共29页）
其中正确的结论是 （将正确结论的序号都填上）
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．（8 分）计算：（﹣1）0+（﹣1）2015+（）﹣1
2sin30°
﹣
．
16．（8 分）解不等式组：
．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．（8 分）在平面直角坐标系中，△ABC 是格点三角形（三角形顶点在小方格顶点
上），网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：
（1）将△ABC 向下平移3 个单位得到△A1B1C1，作出平移后的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1 经过适当方式进行图形变换后得到△A2B2C2，使得△A2B2C2 与
△ABC 关于原点O 成中心对称，请画出△A2B2C2，并说出你是如何将△A1B1C1进行
图形变换后得到△A2B2C2的．
18．
（8 分）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B 两处，同时测
得事发地点C 在A 的南偏东60°且C 在B 的南偏东30°上．已知B 在A 的正东方向
且相距100 里，请分别求出两艘船到达事发地点C 的距离．（注：里是海程单位，
相当于一海里．结果保留根号）
第4页（共29页）
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．（10 分）现有三个盒子，每个盒子中间有一个隔档，分为两个空间．三个盒子
分别装有两支笔、两本书、一支笔和一本书（每个空间放一样物品）；
（1）随机抽取一个盒子打开一个空间，请用列表或画树状图列举所有打开方式；
（2）随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是多少？
20．（10 分）如图，AB∥CD，点E，F 分别是AB，CD 上，连结EF，∠AEF，∠CEF 的平
分线交于点G，∠BEF，∠DFE 的平分线交于点H．
（1）如果过点G 作MN∥EF，分别交AB，CD 于点M，N，过点H 作PQ∥EF，分别交
AB，CD 于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP 是菱形．
（2）在（1）的条件下，联结GH 交EF 于点K，则MEKG 是什么四边形？并证明．
六、解答题（本大题满分12 分）
21．（12 分）已知：如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为1 的⊙B 经过点O，
且与x，y 轴分别交于点A，C，点A 的坐标为（﹣，0），AC 的延长线与⊙B 的切线
OD 交于点D．
（1）求OC 的长和∠CAO 的度数；
第5页（共29页）
（2）求过D 点的反比例函数的表达式．
七、解答题（本大题满分12 分）
22．
（12 分）从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的
线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰
三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的黄金分割线
（1）求这个顶点对应角的度数；
（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD 的长；
（3）试求sin72°的值．
八、解答题（本大题满分14 分）
23．（14 分）已知抛物线l1：y=
x
﹣2+2x+3 与x 轴交于点A、B（点A 在点B 左边），与
y 轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x 轴的另一个交点为E（4，0），与y 轴交于点
D（0，﹣2）．
（1）求抛物线l2的解析式；
（2）点P 为线段AB 上一动点（不与A、B 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线l1
于点M，交抛物线l2于点N．
①当四边形AMBN 的面积最大时，求点P 的坐标；
②当CM=DN≠0 时，求点P 的坐标．
第6页（共29页）
第7页（共29页）
2016-2017 学年安徽省芜湖市南陵县九年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）（2015•攀枝花）﹣3 的倒数是（ ）
A．﹣
B．3C．D．±
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：﹣3 的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互
为倒数．
2．（4 分）（2017 春•南陵县期中）2017 年2 月27 日在南陵县第十七届人民代表大
会第一次会议上，徐晓明县长在政府工作报告中说南陵五年来，综合经济实力大
幅跃升，地区生产总值增加到205.5 亿元．其中205.5 亿用科学记数法表示为（
）
A．205.5×104
B．2.055×102
C．2.055×1010 D．2.055×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：其中205.5 亿用科学记数法表示为2.055×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4 分）（2007•宁波）与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
第8页（共29页）
A．
B．
C．
D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形
【解答】解：从正视图可以排除C，故C 选项错误；
从左视图可以排除A，故A 选项错误；
从左视图可以排除D，故D 选项错误；
符合条件的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对
立体图形的认知能力，可通过排除法进行解答．
4．（4 分）（2016•颍泉区一模）如图，已知直线AB∥CD，∠BEG 的平分线EF 交CD
于点F，若∠1=42°，则∠2 等于（ ）
A．159° B．148° C．142° D．138°
【分析】根据平行线的性质可得∠GEB=∠1=42°，然后根据EF 为∠GEB 的平分线可
得出∠FEB 的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2 的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEB=∠1=40°，
∵EF 为∠GEB 的平分线，
∴∠FEB= ∠GEB=21°，
∴∠2=180°﹣∠FEB=159°．
第9页（共29页）
故选A．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线
平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
5．（4 分）（2017•安徽二模）立定跳远是小刚同学体育中考的选考项目之一．某次
体育课上，体育老师记录了小刚的一组立定跳远训练成绩如下表：
成绩（m）
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
次数
1
1
2
5
1
则下列关于这组数据的说法中正确的是（ ）
A．众数是2.45 B．平均数是2.45
C．中位数是2.5 D．方差是0.48
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
【解答】解：A、如图表所示：众数是2.5，故此选项错误；
B、平均数是：（2.35+2.4+2.45×2+2.5×5+2.55）=2.47（m），故此选项错误；
C、中位数是：
=2.5，故此选项正确；
D、方差为：[（2.35
2.225
﹣
）2+（2.4
2.225
﹣
）2+…+（2.55
2.225
﹣
）2]
= （0.015625+0.030625+0.050625+0.378125+0.105625）
=0.0580625，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关
定义是解题关键．
6．（4 分）（2017•安徽二模）某广场绿化工程中有一块长2 千米，宽1 千米的矩形
空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等
的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地
面积的，设人行通道的宽度为x 千米，则下列方程正确的是（ ）
A．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1 B．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1 C．（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1 D．（2
第10页（共29页）
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=2
【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地
面积的，即矩形绿地的面积= 矩形空地面积，可列方程．
【解答】解：设人行通道的宽度为x 千米，
则矩形绿地的长为：（2
3x
﹣
），宽为（1
2x
﹣
），
由题意可列方程：2× （2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）= ×2×1，
即：（2
3x
﹣
）（1
2x
﹣
）=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查根据实际问题列方程的能力，分析题意准确抓住相等关系
是解方程的关键．
7．（4 分）（2017•威海模拟）小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自
己一个规定：一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是P1，P2，则下列结
论正确的是（ ）
A．P1=P2 B．P1＞P2
C．P1＜P2
D．P1≤P2
【分析】根据题意画出相应的树状图，找出小红、小明获胜的情况数，进而求出P1，
P2的值，比较即可．
【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有6 种，其中小红获胜的情况有2 种，小明获胜的情况有2
种，
则P1=P2= = ，
故选A
【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（4 分）（2014•鄂州模拟）如图，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 在直线y=2x
4
﹣上
运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是（ ）
第11页（共29页）
A．（﹣，﹣）B．
（，）C．（﹣，）D．（，﹣）
【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短，得到AB 垂直于直线y=2x
4
﹣时最短，
过A 作AB⊥直线y=2x
4
﹣，垂足为B，过B 作BD⊥x 轴，设B（a，2a
4
﹣），根据三角
形ABD 与三角形BCD 相似，由相似得比例列出关于a 的方程，求出方程的解得到
a 的值，即可确定出B 坐标．
【解答】解：过A 作AB⊥直线y=2x
4
﹣，垂足为B，过B 作BD⊥x 轴，
令y=0，得到x=2，即C（2，0），
设B（a，2a
4
﹣）（a＞0），即BD=|2a
4
﹣|，|OD|=a，
∵∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠BAD=∠DBC，
∵∠BDC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD2=AD•DC，即（2a
4
﹣）2=（a+1）（2
a
﹣），
整理得：5a2
17a
﹣
+14=0，即（5a
7
﹣）（2
a
﹣）=0，
解得：a= 或a=2（不合题意，舍去），
则B（，﹣）．
故选D
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形
的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，以及解一元二次方程，解题的关键是
利用垂线段最短确定出B 的位置．
9．（4 分）（2017•广丰区一模）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，延长AB 至点E，使
得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M 为CF 的中点，则AM 的长为（ ）
第12页（共29页）
A．2
B．3
C．D．
【分析】连接AC，易得△ACF 是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结
论．
【解答】解：连接AC，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC=45°．
∵EF⊥AE，EF=AE，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠CAF=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=
=2 ．
∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，
∴AF=
=3 ，
∴CF=
=
= ．
∵M 为CF 的中点，
∴AM= CF= ．
故选D．
【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
第13页（共29页）
10．（4 分）（2016•鹤峰县模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=60°，AB=6 厘米，
BC=12 厘米，点P、Q 同时从 顶点A 出发，点P 沿A→B→C→D 方向以2 厘米/秒的
速度前进，点Q 沿A→D 方向以1 厘米/秒的速度前进，当Q 到达点D 时，两个点
随之停止运动．设运动时间为x 秒，P、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积
为y（cm2），则y 与x 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】当点P 在AB 上时，易得S△APQ的关系式；当点P 在BC 上时，高不变，但底
边在增大，所以P、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积关系式为一个一次
函数；当P 在CD 上时，表示出所围成的面积关系式，根据开口方向判断出相应的
图象即可．
【解答】解：当点P 在AB 上时，即0≤x≤3 时，P、Q 经过的路径与线段PQ 围成的
图形的面积= x× =
；
当点P 在BC 上时，即3≤x≤9 时，P、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积=
×3× + （2x
6
﹣+x
3
﹣）=
9
﹣
，y 随x 的增大而增大；
当点P 在CD 上时，即9≤x≤12 时，P、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积
=12× ﹣（12
x
﹣）（﹣+12 ）=
+12 x
36
﹣
；
综上，图象A 符合题意．
故选A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，考查了学生从图象中读取信息的
能力，正确列出表达式，是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）（2015•庐阳区二模）若使式子
有意义，则x 的取值范围是
x ≤
且
第14页（共29页）
x ≠
0
．
【分析】根据当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是
二次根式时，被开方数非负，可得答案．．
【解答】解：使式子
有意义，得
．
解得x≤且x≠0，
故答案为：x≤且x≠0．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面
考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考
虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．
（5 分）
（2017•威海模拟）如图，在⊙O 中，∠AOB+∠COD=70°，AD 与BC 交于点
E，则∠AEB 的度数为
35°
．
【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB= AOB，∠CBD= COD，然后由三角形
的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BD，∵∠ADB= AOB，∠CBD= COD，
∵∠AEB=∠CBD+∠ADB= （∠AOB+∠COD），
∴∠AEB= ×70°=35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解
题的关键．
第15页（共29页）
13．（5 分）（2017 春•南陵县期中）因式分解：﹣x2+ x﹣= ﹣（
x
1
﹣
）
2
．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=﹣（x2
2x
﹣
+1）=﹣（x
1
﹣）2，
故答案为：﹣（x
1
﹣）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
14．（5 分）（2016•蜀山区二模）如图，D、E 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，
△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c，
给出以下几个结论：
①如果AD 是BC 边中线，那么CE 是AB 边中线；
②AE 的长度为
；
③BD 的长度为
；
④若∠BAC=90°，△ABC 的面积为S，则S=AE•BD．
其中正确的结论是
②③④
（将正确结论的序号都填上）
【分析】由中线的定义，可得到AB=AC，但AB=AC 时未必有AC=BC，可判断①；
△ABD 与△ACD 的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好是
三角形ABC 周长的一半，有AB，AC 的值，那么就能求出BD 的长了，同理可求出
AE 的长，可判断②③；把AE 和BD 代入计算，结合勾股定理可求得S，可判断④；
则可得出答案．
【解答】解：
当AD 是BC 边中线时，则BD=CD，
∵△ABD 与△ACD 的周长相等，
∴AB=AC，
但此时，不能得出AC=BC，即不能得出CE 是AB 的中线，
第16页（共29页）
故①不正确；
∵△ABD 与△ACD 的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD+AD=AC+CD+AD，
∴AB+BD=AC+CD，
∵AB+BD+CD+AC=a+b+c，
∴AB+BD=AC+CD=
．
∴BD=
c=
﹣
，
同理AE=
，
故②③都正确；
当∠BAC=90°时，则b2+c2=a2，
∴AE•BE=
×
= [a﹣（c
b
﹣）][a﹣（c
b
﹣）]= [a2﹣（c
b
﹣）2]= [a2﹣（c2+b2﹣
2bc ）]= ×2bc= bc=S，
故④正确；
综上可知正确的结论②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及三
角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中．
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．（8 分）（2016 秋•莒南县期末）计算：（﹣1）0+（﹣1）2015+（）﹣1
2sin30°
﹣
．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项
利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1
1
﹣+3
2
﹣× =1
1
﹣+3
1=2
﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8 分）（2017 春•南陵县期中）解不等式组：
．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
，
由①得，x≥﹣1，
由②得，x＜3，
第17页（共29页）
所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到（无解）．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．（8 分）（2017 春•南陵县期中）在平面直角坐标系中，△ABC 是格点三角形（三
角形顶点在小方格顶点上），网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：
（1）将△ABC 向下平移3 个单位得到△A1B1C1，作出平移后的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1 经过适当方式进行图形变换后得到△A2B2C2，使得△A2B2C2 与
△ABC 关于原点O 成中心对称，请画出△A2B2C2，并说出你是如何将△A1B1C1进行
图形变换后得到△A2B2C2的．
【分析】（1）将三角形的三个顶点向下平移3 个单位得到其对应点，顺次连接即
可得；
（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的图形△A2B2C2，结合图形可先旋转、再平
移得到．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
第18页（共29页）
（2）如图所示，现将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转180°，再向左平移8 个单位、向下
平移3 个单位即可得到△A2B2C2．
【点评】本题主要考查了图象的平移与旋转．掌握平移与旋转关键是先确定对应
点坐标，再连成图形便可．
18．
（8 分）
（2017•镜湖区校级一模）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分
别位于A、B 两处，同时测得事发地点C 在A 的南偏东60°且C 在B 的南偏东30°上．
已知B 在A 的正东方向，且相距100 里，请分别求出两艘船到达事发地点C 的距
离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
【分析】作BG⊥AC 于G，在图中标注方向角，根据等腰三角形的性质和正弦、余弦
的概念求出AC、BC 即可．
【解答】解：作BG⊥AC 于G，
∵点C 在A 的南偏东60°，
∴∠A=90°
60°=30°
﹣
，
∵C 在B 的南偏东30°，
∴∠ABC=120°，
第19页（共29页）
∴∠C=30°，
∴BC=AB=100 里，
∴BG=BC•sin30°=50 里，
CG=BC•cos30°=50 里，
∴AC=2CG=100 里．
答：A 船到达事发地点C 的距离是100 里，B 船到达事发地点C 的距离是100 里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．（10 分）（2017 春•南陵县期中）现有三个盒子，每个盒子中间有一个隔档，分
为两个空间．三个盒子分别装有两支笔、两本书、一支笔和一本书（每个空间放一
样物品）；
（1）随机抽取一个盒子打开一个空间，请用列表或画树状图列举所有打开方式；
（2）随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是多少？
【分析】（1）共有6 个空间，随机打开一个有种可能结果，列举即可；
（2）列表表示出所有可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）将三个箱子里的物品用字母分别表示为笔记B1，S1，B2、B3、S2、S3，
随机抽取一个盒子打开一个空间，共有B1，S1，B2、B3、S2、S3这6 种等可能结果；
（2）列表如下：
第20页（共29页）
首次打开一个空间
再打开另一个空间
B1
S1
S1
B1
B2
B3
B3
B2
S2
S3
S3
S2
随机打开一个空间，如果里面是笔，那么另外一个空间也是笔的概率是= ．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，如果一个事件有n 种可能，而且
这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）= ．
20．（10 分）（2017 春•南陵县期中）如图，AB∥CD，点E，F 分别是AB，CD 上，连结
EF，∠AEF，∠CEF 的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE 的平分线交于点H．
（1）如果过点G 作MN∥EF，分别交AB，CD 于点M，N，过点H 作PQ∥EF，分别交
AB，CD 于点P，Q，得到四边形ANQP，求证：MNQP 是菱形．
（2）在（1）的条件下，联结GH 交EF 于点K，则MEKG 是什么四边形？并证明．
【分析】（1）首先证明四边形EGFH 是矩形，再证明四边形MGKE 是菱形，利用可
证四边形EKHP ，四边形KFQH ，四边形KFNG 都是菱形，即可推出
MN=NQ=PQ=PM，推出四边形MNQP 是菱形；
（2）四边形MEKG 是菱形．只要证明KE=KG，四边形MEKG 是平行四边形即可；
【解答】（1）证明：∵GE 平分∠AEF，HE 平分∠BEF，
∴∠GEH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠GEF= ∠AEF，∠GFE= ∠CFE，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
第21页（共29页）
同理∠EHF=90°，
∴四边形EGFH 是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME∥GK，∵MG∥EK，
∴四边形MGKE 是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE 是菱形，
同理可证四边形EKHP，四边形KFQH，四边形KFNG 都是菱形，
∴MG=GN=NF=FQ=QH=HP=PE=EM，
∴MN=NQ=PQ=PM，
∴四边形MNQP 是菱形．
（2）四边形MEKG 是菱形．
理由：∵四边形EGFH 是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME∥GK，∵MG∥EK，
∴四边形MGKE 是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE 是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题（本大题满分12 分）
21．（12 分）
（2017 春•南陵县期中）已知：如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径
第22页（共29页）
为1 的⊙B 经过点O，且与x，y 轴分别交于点A，C，点A 的坐标为（﹣，0），AC 的
延长线与⊙B 的切线OD 交于点D．
（1）求OC 的长和∠CAO 的度数；
（2）求过D 点的反比例函数的表达式．
【分析】（1）根据圆周角定理AC 是⊙B 的直径，得到根据勾股定理求出OC，根据
正弦的概念求出∠CAO 的度数；
（2）根据三角形的外角的性质求出∠DOE=60°，求出点D 的坐标，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AC 是⊙B 的直径，
∴AC=2，
∵点A 的坐标为（﹣，0），
∴OA= ，
∴OC=
=1，
则OC= AB，
∴∠CAO=30°；
（2）连接OB，作DE⊥x 轴于E，
∵BA=BO，
∴∠ODA=∠CAO=30°，
∴∠DOE=∠CAO+∠ODA=60°，OD=OA= ，
∵OD 为⊙B 的切线，
∴OB⊥OD，
∴OE= OD= ，DE= OD= ，
则点D 的坐标为：（，），
第23页（共29页）
× = ，
∴过D 点的反比例函数的表达式为：y= ．
【点评】本题考查的是切线的性质、反比例函数解析式的确定、勾股定理的应用以
及锐角三角函数的概念，掌握切线的性质定理、正确求出点D 的坐标是解题的关
键．
七、解答题（本大题满分12 分）
22．（12 分）（2017 春•南陵县期中）从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边
相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两
个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做
这个三角形的黄金分割线．
（1）求这个顶点对应角的度数；
（2）如图，已知黄金分割线CD=1，求BD 的长；
（3）试求sin72°的值．
【分析】（1）根据题意画出图形，运用三角形内角和定理，即可得到顶点对应角的
度数；
（2）根据△CBD∽△ABC，得到= ，再设BD=x，则= ，即x2+x+1=0，即可解得x=
，
进而得到BD=
；
（3）过点C 作CE⊥AB 交AB 于点E，根据等腰三角形的性质可得BE= BD=
，在
第24页（共29页）
Rt△BCE 中，根据勾股定理可得CE=
=
，最后在Rt△BCE 中，求得sin72°= =
．
【解答】解：（1）符合条件的三角形可画出如下三种：
如图①，△BCD∽△BAC，△ACD 是等腰三角形，
设∠A=∠ACD=α，则∠BDC=∠B=2α，∠BCD=α，
∵△BCD 的内角和等于180°，
∴5α=180°，即α=36°，
∴∠ACB=72°；
如图②，△CAD∽△CBA，△BAD 是等腰三角形，
设∠C=∠CAD=α，则∠ADB=∠DAB=2α，∠B=α，
∵△ADB 的内角和等于180°，
∴5α=180°，即α=36°，
∴∠CAB=3α=108°；
如图③，△CAD∽△CBA，△BAD 是等腰三角形，
设∠C=∠B=∠CAD=α，则∠ADB=2α，∠DAB=α，
∵△ADB 的内角和等于180°，
∴4α=180°，即α=45°，
∴∠BAD=2α=90°，
综上所述，这个顶点对应角的度数分别为72°，108°，90°；
（2）由题意知，△CBD∽△ABC，
第25页（共29页）
∴= ，
设BD=x，则
= ，即x2+x+1=0，
解得x=
，
∴BD=
；
（3）如图所示，过点C 作CE⊥AB 交AB 于点E，
则BE= BD=
，
∴Rt△BCE 中，CE=
=
=
，
∴Rt△BCE 中，sin72°= =
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，黄金分割以及三
角形内角和定理的综合应用，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是画
出图形，依据等腰三角形和相似三角形的性质进行求解．
八、解答题（本大题满分14 分）
23．
（14 分）
（2016•应城市一模）已知抛物线l1：y=
x
﹣2+2x+3 与x 轴交于点A、B（点
A 在点B 左边），与y 轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x 轴的另一个交点为E（4，
0），与y 轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线l2的解析式；
（2）点P 为线段AB 上一动点（不与A、B 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线l1
于点M，交抛物线l2于点N．
①当四边形AMBN 的面积最大时，求点P 的坐标；
②当CM=DN≠0 时，求点P 的坐标．
第26页（共29页）
【分析】（1）令抛物线l1：y=0，可求得点A 和点B 的坐标，然后设设抛物线l2的解
析式为y=a（x+1）（x
4
﹣），将点D 的坐标代入可求得a 的值，从而得到抛物线的解
析式；
（2）①由点A 和点B 的坐标可求得AB 的长，设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N
（x，x2﹣x
2
﹣）．然后依据SAMBN= AB•MN 列出S 与x 的函数关系，从而可得到当S
有最大值时，x 的值，于是可得到点P 的坐标；②CM 与DN 不平行时，可证明四边
形CDNM 为等腰梯形，然后可证明GM=HN，设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N
（x，x2﹣x
2
﹣）．从而可列出关于x 的方程，于是可求得点P 的坐标；当CM∥DN
时，四边形CDNM 为平行四边形．故此DC=MN=5，从而得到关于x 的方程，从而可
求得点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x1=
1
﹣，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
设抛物线l2的解析式为y=a（x+1）（x
4
﹣）．
∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=
2
﹣，
∴a= ．
∴抛物线的解析式为y= x2﹣x
2
﹣；
（2）①如图1 所示：
第27页（共29页）
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x，x2﹣x
2
﹣）．
∵MN⊥AB，
∴SAMBN= AB•MN=
3x
﹣
2+7x+10（﹣1＜x＜3）．
∴当x= 时，SAMBN有最大值．
∴此时P 的坐标为（，0）．
②如图2 所示：作CG⊥MN 于G，DH⊥MN 于H，如果CM 与DN 不平行．
∵DC∥MN，CM=DN，
∴四边形CDNM 为等腰梯形．
∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM 和△DNH 中
，
∴△CGM≌△DNH．
∴MG=HN．
∴PM
PN=1
﹣
．
设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x，x2﹣x
2
﹣）．
∴（﹣x2+2x+3）+（x2﹣x
2
﹣）=1，解得：x1=0（舍去），x2=1．
∴P（1，0）．
当CM∥DN 时，如图3 所示：
第28页（共29页）
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM 为平行四边形．
∴DC=MN．=5
∴﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x
2
﹣）=5，
∴x1=0（舍去），x2= ，
∴P（，0）．
总上所述P 点坐标为（1，0），或（，0）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、等腰梯形的性质、全等三角形的性质、平行四边形的性
质和判定，依MN=DC=5、PM
PN=1
﹣
列出关于P 的横坐标x 的方程是解题的关键．
第29页（共29页）
