文档文本内容
2018 年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项中只
有一个是符合题目要求的）
1．（3 分）计算：|﹣
|﹣
的结果是（ ）
A．1B．
C．0D．﹣1
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a）3=a3 B．（a2）3=a5 C．a2÷a
2
﹣=1D．（﹣2a3）2=4a6
3．（3 分）小亮家1 月至10 月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数
分别是（ ）
A．30 和 20 B．30 和25 C．30 和22.5
D．30 和17.5
4．（3 分）若2﹣
是方程x2
4x
﹣
+c=0 的一个根，则c 的值是（ ）
A．1B．
C．
D．
5．（3 分）某企业2018 年初获利润300 万元，到2020 年初计划利润达到507 万元．
设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507
C．300（1+x）+300（1+x）2=507D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507
6．（3 分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底
面半径是（ ）
A．10
B．20
C．10π D．20π
7．（3 分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2 的度数是（ ）
第1页（共32页）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．（3 分）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速
度均匀注水，60 秒后将容器内注满．容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之
间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）不透明的布袋里有1 个黄球、4 个红球、5 个白球，它们除颜色外其他都
相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ．
10．（3 分）已知m+n=12，m
n=2
﹣
，则m2
n
﹣
2= ．
11．（3 分）反比例函数y= （k 是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），那么这个函数
图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而 ．（填“增大”或“减
小”）
12．（3 分）已知：
=
，则
的值是 ．
13．（3 分）关于x 的方程2x2
3x
﹣
+c=0 有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是
．
14．（3 分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 为矩形，且点C 坐标为（8，6），M
第2页（共32页）
为BC 中点，反比例函数y= （k 是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC 于点N，则
MN 的长度是 ．
15．（3 分）一艘货轮以18
km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A
处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30 分钟后到达C 处，发
现灯塔B 在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离是 km．
16．（3 分）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的
变化规律：A0 纸长度方向对折一半后变为A1 纸；A1 纸长度方向对折一半后变为
A2 纸；A2 纸长度方向对折一半后变为A3 纸；A3 纸长度方向对折一半后变为A4
纸……A4 规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4 的纸可以裁
张A8 的纸．
第3页（共32页）
三、解答题（本题共有6 个小题，每小题6 分，共36 分）
17．（6 分）解不等式组：
18．（6 分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中，x=
3
﹣．
19．（6 分）已知：△ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣
1，﹣5）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍，得到△A2B2C2，请在网格中
画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
20．（6 分）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1 小时．为了解学生参加
户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样
调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．
组别
时间（小时）频数（人数）
频率
A
0≤t＜0.5
20
0.05
B
0.5≤t＜1
a
0.3
C
1≤t＜1.5
140
0.35
D
1.5≤t＜2
80
0.2
E
2≤t＜2.5
40
0.1
请根据图表中的信息，解答下列问题：
第4页（共32页）
（1）表中的a= ，将频数分布直方图补全；
（2）该区8000 名学生中，每天户外体育活动的时间不足1 小时的学生大约有多少
名？
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3 名男生和1 名女生中随机抽取两名，请
用画树状图或列表法求恰好抽到1 名男生和1 名女生的概率．
21．（6 分）已知点E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，连接BE，过点C 作CN⊥BE，
垂足为M，交AB 于点N．
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N 为AB 的中点，求tan∠ABE．
22．（6 分）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A 种原料1.2
千克、B 种原料1 千克．已知A 种原料每千克的价格比B 种原料每千克的价格多
10 元．
（1）为使每件产品的成本价不超过34 元，那么购入的B 种原料每千克的价格最高
不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，
每件产品的零售价比批发价多30 元．现用10000 元通过批发价购买该产品的件
数与用16000 元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多
第5页（共32页）
少元？
四、解答题（本题共4 道题，其中23、24 题每题8 分，25、26 题每题10 分，共36
分）
23．（8 分）已知：AB 为⊙O 的直径，延长AB 到点P，过点P 作圆O 的切线，切点为
C，连接AC，且AC=CP．
（1）求∠P 的度数；
（2）若点D 是弧AB 的中点，连接CD 交AB 于点E，且DE•DC=20，求⊙O 的面积．
（π 取3.14）
24．
（8 分）抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A（3
，0）和点B（0，3），且这个抛物线的
对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC 的面积．
25．（10 分）空间任意选定一点O，以点O 为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、
oz．这三条互相垂直的射线分别称作x 轴、y 轴、z 轴，统称为坐标轴，它们的方向
分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空
间直角坐标系．
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现
将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1
第6页（共32页）
所在的面与x 轴垂直，S2所在的面与y 轴垂直，S3所在的面与z 轴垂直，如图1 所
示．
若将x 轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y 轴方向表示的量称为几何体码
放的列数，z 轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2 是由若干个单位长
方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1 排2 列6
层，用有序数组记作（1，2，6），如图3 的几何体码放了2 排3 列4 层，用有序数组
记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放
方式．
（1）如图4 是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式
的有序数组为 ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是 ；（只填序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．
②有序数组中x、y、z 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．
③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．
⑤有序数组中x、y、z 每两个乘积的2 倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数．
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对
若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体
有序数
组
单位长方体的个
数
表面上面积为
S1的个数
表面上面积为
S2的个数
表面上面积为
S3的个数
表面
积
（1，1，
1）
1
2
2
2
2S1+2S
2+2S3
（1，2，
1）
2
4
2
4
4S1+2S
2+4S3
（3，1，
1）
3
2
6
6
2S1+6S
2+6S3
（2，1，
2）
4
4
8
4
4S1+8S
2+4S3
（1，5，
1）
5
10
2
10
10S1+2
S2+10S
3
第7页（共32页）
（1，2，
3）
6
12
6
4
12S1+6
S2+4S3
（1，1，
7）
7
14
14
2
14S1+1
4S2+2S
3
（2，2，
2）
8
8
8
8
8S1+8S
2+8S3
…
…
…
…
…
…
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、
y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4 时，对由12 个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节
约外包装材料，对12 个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根
据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求
出这个最小面积．（缝隙不计）
26．（10 分）如图：一次函数y=﹣
x+3 的图象与坐标轴交于A、B 两点，点P 是函
数y=﹣
x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P 作PM⊥y 轴于点M，连接OP．
（1）当AP 为何值时，△OPM 的面积最大？并求出最大值；
（2）当△BOP 为等腰三角形时，试确定点P 的坐标．
第8页（共32页）
第9页（共32页）
2018 年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项中只
有一个是符合题目要求的）
1．（3 分）计算：|﹣
|﹣
的结果是（ ）
A．1B．
C．0D．﹣1
【分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式=
﹣
=0，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a）3=a3 B．（a2）3=a5 C．a2÷a
2
﹣=1D．（﹣2a3）2=4a6
【分析】根据单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断
后利用排除法求解．
【解答】解：A、（﹣a）3=
a
﹣
3，错误；
B、（a2）3=a6，错误；
C、a2÷a
2
﹣=a4，错误；
D、（﹣2a3）2=4a6，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题
的关键．
3．（3 分）小亮家1 月至10 月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数
分别是（ ）
第10页（共32页）
A．30 和 20 B．30 和25 C．30 和22.5
D．30 和17.5
【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义
求解可得．
【解答】解：将这10 个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、
30、30，
所以该组数据的众数为30、中位数为
=22.5，
故选：C．
【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数
是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个
数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据
按要求重新排列，就会出错．
4．（3 分）若2﹣
是方程x2
4x
﹣
+c=0 的一个根，则c 的值是（ ）
A．1B．
C．
D．
【分析】把2﹣
代入方程x2
4x
﹣
+c=0 就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．
【解答】解：把2﹣
代入方程x2
4x
﹣
+c=0，得（2﹣
）2
4
﹣（2﹣
）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程
左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方
程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根
5．（3 分）某企业2018 年初获利润300 万元，到2020 年初计划利润达到507 万元．
设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507
第11页（共32页）
C．300（1+x）+300（1+x）2=507D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507
【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018 年初及2020 年初的利润，
即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2=507．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一
元二次方程是解题的关键．
6．（3 分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底
面半径是（ ）
A．10
B．20
C．10π D．20π
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=
，
解得r=10．
故小圆锥的底面半径为10．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：
1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
7．（3 分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2 的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】结合平行线的性质得出：∠1=∠3=∠4=40°，再利用翻折变换的性质得出
答案．
【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=∠4=40°，
第12页（共32页）
则∠2=∠5=
=70°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
8．（3 分）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速
度均匀注水，60 秒后将容器内注满．容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之
间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据实心长方体在水槽里，长方体底面积减小，水面上升的速度较快，水
淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是长方体的底面积，水面上升的速度较
慢进行分析即可．
【解答】解：根据题意可知，刚开始时由于实心长方体在水槽里，长方体底面积减
小，水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是长方体
的底面积，水面上升的速度较慢，
故选：D．
【点评】此题考查函数的图象问题，关键是根据容器内水面的高度h（cm）与注水
时间t（s）之间的函数关系分析．
第13页（共32页）
二、填空题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）不透明的布袋里有1 个黄球、4 个红球、5 个白球，它们除颜色外其他都
相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是
．
【分析】由在不透明的袋中装有1 个黄球、4 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它
都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率
【解答】解：∵在不透明的袋中装有1 个黄球、4 个红球、5 个白球，共10 个球且它
们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是
=
，
故答案为：
．
【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数
之比．
10．（3 分）已知m+n=12，m
n=2
﹣
，则m2
n
﹣
2=
24
．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵m+n=12，m
n=2
﹣
，
∴m2
n
﹣
2=（m+n）（m
n
﹣）=2×12=24，
故答案为：24
【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．
11．（3 分）反比例函数y= （k 是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），那么这个函数
图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而 减小 ．（填“增大”或“减
小”）
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值，再利用反比例函数的性
质，即可得出：这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小．
【解答】解：∵反比例函数y=
（k 是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），
∴k=1×4=4，
第14页（共32页）
∴反比例函数的解析式为y=
，
∴这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利
用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键．
12．（3 分）已知：
=
，则
的值是 ﹣
．
【分析】根据等式的性质，可用a 表示b，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由
=
，得
b=
a．
=
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=
a 是解题关键，又利用
了分式的性质．
13．（3 分）关于x 的方程2x2
3x
﹣
+c=0 有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是
c
．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c 的一元一次不等式，解
之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的方程2x2
3x
﹣
+c=0 有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣3）2
4
﹣×2c=9
8c
﹣
＞0，
解得：c＜
．
第15页（共32页）
故答案为：c＜
．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
14．（3 分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 为矩形，且点C 坐标为（8，6），M
为BC 中点，反比例函数y= （k 是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC 于点N，则
MN 的长度是
5
．
【分析】根据矩形的性质，可得M 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根
据自变量与函数值的对应关系，可得N 点坐标，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：由四边形AOBC 为矩形，且点C 坐标为（8，6），M 为BC 中点，得
M（8，3），N 点的纵坐标是6．
将M 点坐标代入函数解析式，得
k=8×3=24，
反比例函数的解析是为y=
，
当y=6 时，
=6，解得x=4，N（4，6），
NC=8
4=4
﹣
，CM=6
3=3
﹣
，
MN=
=
=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M 点坐标是解题关键，又利
用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出N 点坐标，勾股
第16页（共32页）
定理求MN 的长．
15．（3 分）一艘货轮以18
km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A
处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30 分钟后到达C 处，发
现灯塔B 在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离是
18
km．
【分析】作CE⊥AB 于E，根据题意求出AC 的长，根据正弦的定义求出CE，根据三
角形的外角的性质求出∠B 的度数，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB 于E，
18
km/h×30 分钟=9
km，
∴AC=9
km，
∵∠CAB=45°，
∴CE=AC•sin45°=9km，
∵灯塔B 在它的南偏东15°方向，
∴∠NCB=75°，∠CAB=45°，
∴∠B=30°，
∴BC=
km，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
第17页（共32页）
16．（3 分）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的
变化规律：A0 纸长度方向对折一半后变为A1 纸；A1 纸长度方向对折一半后变为
A2 纸；A2 纸长度方向对折一半后变为A3 纸；A3 纸长度方向对折一半后变为A4
纸……A4 规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4 的纸可以裁
16
张A8 的纸．
【分析】根据题意可以得到一张A4 的纸可以裁2 张A5 的纸，以此类推，得到答案
【解答】解：由题意得，一张A4 的纸可以裁2 张A5 的纸
一张A5 的纸可以裁2 张A6 的纸
一张A6 的纸可以裁2 张A7 的纸
一张A7 的纸可以裁2 张A8 的纸，
∴一张A4 的纸可以裁24=16 张A8 的纸，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在
的规律是解题的关键．
三、解答题（本题共有6 个小题，每小题6 分，共36 分）
17．（6 分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
，
第18页（共32页）
∵解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＞﹣7，
∴原不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的
解集是解此题的关键．
18．（6 分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中，x=
3
﹣．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=
当
时，原式=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基
础题型．
19．（6 分）已知：△ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣
1，﹣5）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍，得到△A2B2C2，请在网格中
画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
第19页（共32页）
【分析】（1）利用关于y 轴对称点的性质得出对应点得出即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求； B2（10，8）
【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
20．（6 分）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1 小时．为了解学生参加
户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样
调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．
组别
时间（小时）频数（人数）
频率
A
0≤t＜0.5
20
0.05
B
0.5≤t＜1
a
0.3
C
1≤t＜1.5
140
0.35
D
1.5≤t＜2
80
0.2
E
2≤t＜2.5
40
0.1
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的a=
120
，将频数分布直方图补全；
（2）该区8000 名学生中，每天户外体育活动的时间不足1 小时的学生大约有多少
名？
第20页（共32页）
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3 名男生和1 名女生中随机抽取两名，请
用画树状图或列表法求恰好抽到1 名男生和1 名女生的概率．
【分析】（1）先根据A 组频数及其频率求得总人数，再用总人数乘以B 组的频率
即可得a 的值，从而补全条形图；
（2）用总人数乘以A、B 组频率之和可得；
（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1 名
男生和1 名女生的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为20÷0.05=400，
∴a=400×0.3=120，
补全图形如下：
（2）每天户外体育活动的时间不足1 小时的学生大约有8000×（0.05+0.3）=2800
（名）；
（3）画树状图为：
第21页（共32页）
共有12 种等可能的结果数，其中抽到1 名男生和1 名女生的可能性有6 种．
∴P（抽到1 名男生和1 名女学生）=
．
【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，
解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用
样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精
确．
21．（6 分）已知点E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，连接BE，过点C 作CN⊥BE，
垂足为M，交AB 于点N．
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N 为AB 的中点，求tan∠ABE．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形
∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°
∵CM⊥BE，
第22页（共32页）
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
在△ABE 和△BCN 中
∴△ABE≌△BCN（ASA）；
（2）∵N 为AB 中点，
∴BN=
AB
又∵△ABE≌△BCN，
∴AE=BN=
AB
在Rt△ABE 中，tan∠ABE═
．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定
解答．
22．（6 分）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A 种原料1.2
千克、B 种原料1 千克．已知A 种原料每千克的价格比B 种原料每千克的价格多
10 元．
（1）为使每件产品的成本价不超过34 元，那么购入的B 种原料每千克的价格最高
不超过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，
每件产品的零售价比批发价多30 元．现用10000 元通过批发价购买该产品的件
数与用16000 元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多
少元？
【分析】（1）设B 种原料每千克的价格为x 元，则A 种原料每千克的价格为（x+10）
元，根据每件产品的成本价不超过34 元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解
之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设这种产品的批发价为a 元，则零售价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结
合用10000 元通过批发价购买该产品的件数与用16000 元通过零售价购买该产
品的件数相同，即可得出关于a 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
第23页（共32页）
【解答】解：（1）设B 种原料每千克的价格为x 元，则A 种原料每千克的价格为
（x+10）元，
根据题意得：1.2（x+10）+x≤34，
解得：x≤10．
答：购入B 种原料每千克的价格最高不超过10 元．
（2）设这种产品的批发价为a 元，则零售价为（a+30）元，
根据题意得：
=
，
解得：a=50，
经检验，a=50 是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50 元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列
出分式方程．
四、解答题（本题共4 道题，其中23、24 题每题8 分，25、26 题每题10 分，共36
分）
23．（8 分）已知：AB 为⊙O 的直径，延长AB 到点P，过点P 作圆O 的切线，切点为
C，连接AC，且AC=CP．
（1）求∠P 的度数；
（2）若点D 是弧AB 的中点，连接CD 交AB 于点E，且DE•DC=20，求⊙O 的面积．
（π 取3.14）
【分析】（1）连接OC，由PC 为圆的切线，利用切线的性质得到∠OCP 为直角，利
用等边对等角及外角性质求出所求即可；
（2）连接AD，由D 为弧AB 的中点，利用等弧所对的圆周角相等，再由公共角相等，
得到三角形ACD 与三角形EAD 相似，由相似得比例求出AD 的长，进而求出AB 的
第24页（共32页）
长，求出OA 的长，求出面积即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵PC 为⊙O 的切线，
∴∠OCP=90°，即∠2+∠P=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠1，
∵AC=CP，
∴∠P=∠CAO，
又∵∠2 是△AOC 的一个外角，
∴∠2=2∠CAO=2∠P，
∴2∠P+∠P=90°，
∴∠P=30°；
（2）连接AD，
∵D 为
的中点，
∴∠ACD=∠DAE，
∴△ACD∽△EAD，
∴
=
，即AD2=DC•DE，
∵DC•DE=20，
∴AD=2
，
∵
=
，
∴AD=BD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴Rt△ADB 为等腰直角三角形，
∴AB=2
，
∴OA=
AB=
，
∴S⊙O=π•OA2=10π=31.4．
第25页（共32页）
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，以及切线
的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．
（8 分）抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A（3
，0）和点B（0，3），且这个抛物线的
对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC 的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用割补法求ABC 的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线
经过A
、B（0，3）
∴
由上两式解得
∴抛物线的解析式为：
；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=
把x=
代入，
得y=4
则点C 坐标为（
，4）
设线段AB 所在直线为：y=kx+b
解得AB 解析式为：
第26页（共32页）
∵线段AB 所在直线经过点A
、B（0，3）
抛物线的对称轴l 于直线AB 交于点D
∴设点D 的坐标为D
将点D
代入
，解得m=2
∴点D 坐标为
，
∴CD=CE
DE=2
﹣
过点B 作BF⊥l 于点F∴BF=OE=
∵BF+AE=OE+AE=OA=
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=
CD•BF+
CD•AE
∴S△ABC=
CD（BF+AE）=
×2×
=
【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角
形面积．解答时注意数形结合．
25．（10 分）空间任意选定一点O，以点O 为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、
oz．这三条互相垂直的射线分别称作x 轴、y 轴、z 轴，统称为坐标轴，它们的方向
分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空
间直角坐标系．
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现
第27页（共32页）
将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1
所在的面与x 轴垂直，S2所在的面与y 轴垂直，S3所在的面与z 轴垂直，如图1 所
示．
若将x 轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y 轴方向表示的量称为几何体码
放的列数，z 轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2 是由若干个单位长
方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1 排2 列6
层，用有序数组记作（1，2，6），如图3 的几何体码放了2 排3 列4 层，用有序数组
记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放
方式．
（1）如图4 是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式
的有序数组为 （
2 ，
3 ，
2 ）
，组成这个几何体的单位长方体的个数为
12
个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是
①②⑤
；（只填序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．
②有序数组中x、y、z 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．
③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．
⑤有序数组中x、y、z 每两个乘积的2 倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数．
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对
若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体
有序数
组
单位长方体的个
数
表面上面积为
S1的个数
表面上面积为
S2的个数
表面上面积为
S3的个数
表面
积
（1，1，
1）
1
2
2
2
2S1+2S
2+2S3
（1，2，
1）
2
4
2
4
4S1+2S
2+4S3
（3，1，
1）
3
2
6
6
2S1+6S
2+6S3
（2，1，
2）
4
4
8
4
4S1+8S
2+4S3
（1，5，
1）
5
10
2
10
10S1+2
S2+10S
第28页（共32页）
3
（1，2，
3）
6
12
6
4
12S1+6
S2+4S3
（1，1，
7）
7
14
14
2
14S1+1
4S2+2S
3
（2，2，
2）
8
8
8
8
8S1+8S
2+8S3
…
…
…
…
…
…
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、
y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4 时，对由12 个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节
约外包装材料，对12 个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根
据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求
出这个最小面积．（缝隙不计）
【分析】（1）根据有序数组（x，y，z）的定义即可判断；
（2）根据有序数组（x，y，z）的定义，结合图形即可判断；
（3）探究观察寻找规律，利用规律即可解决问题；
（4）当S1=2，S2=3，S3=4 时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy），欲使S（x，y，z）
的值最小，不难看出x、y、z 应满足x≤y≤z（x、y、z 为正整数）．在由12 个单位长
第29页（共32页）
方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），
（2，2，3）．求出各个表面积即可判断；
【解答】解：（1）这种码放方式的有序数组为（2，3，2），组成这个几何体的单位长
方体的个数为2×3×2=12 个，
故答案为（2，3，2），12；
（2）正确的有①②⑤．
故答案为①②⑤；
（3）S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3=2（yzS1+xzS2+xyS3）．
（4）当S1=2，S2=3，S3=4 时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy）
欲使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z 应满足x≤y≤z（x、y、z 为正整数）．
在由12 个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，
2，6），（1，3，4），（2，2，3）．
而S（1，1，12）=128，S（1，2，6）=100，S（1，3，4）=96，S（2，2，3）=92
所以，由12 个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为：（2，2，3），
最小面积为S（2，2，3）=92．
【点评】本题考查几何变换综合题、空间直角坐标系、有序数组（x，y，z）的定义等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会从特殊到一般
的探究规律的方法，属于中考创新题目．
26．（10 分）如图：一次函数y=﹣
x+3 的图象与坐标轴交于A、B 两点，点P 是函
数y=﹣
x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P 作PM⊥y 轴于点M，连接OP．
（1）当AP 为何值时，△OPM 的面积最大？并求出最大值；
（2）当△BOP 为等腰三角形时，试确定点P 的坐标．
第30页（共32页）
【分析】（1）先设出点P 的坐标，进而得出点P 的纵横坐标的关系，进而建立
△OPM 的面积与点P 的横坐标的函数关系式，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用等腰三角形的两边相等建立方程即可得出结论．
【解答】解：（1）令点P 的坐标为P（x0，y0）
∵PM⊥y 轴
∴S△OPM=
OM•PM=
将
代入得
∴当x0=2 时，△OPM 的面积，有最大值Smax=
，
即：PM=2，
∴PM∥OB，
∴
即
∵直线AB 分别交两坐标轴于点A、B，
∴A（0，3），B（4，0），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴AP=
；
（2）①在△BOP 中，当BO=BP 时
BP=BO=4，AP=1
第31页（共32页）
∵P1M∥OB，
∴
∴
，
将
代入代入
中，得
∴P1（
，
）；
②在△BOP 中，当OP=BP 时，如图，
过点P 作PN⊥OB 于点N
∵OP=BP，
∴ON=
将ON=2 代入
中得，
∴点P 的坐标为P（2，
），
即：点P 的坐标为（
，
）或（2，
）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性
质，用方程的思想和函数思想解决问题是解本题的关键．
第32页（共32页）
