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2018 年云南省曲靖市中考数学试卷
一、选择题（共8 题，每题4 分）
1．（4 分）﹣2 的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2 C．
D．
2．（4 分）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的
左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a=a2 B．a6÷a2=a3
C．a2b
2ba
﹣
2=
a
﹣
2b D．（﹣
）3=﹣
4．（4 分）截止2018 年5 月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规
模约为3.11×104亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ）
A．2311000 亿B．31100 亿C．3110 亿D．311 亿
5．（4 分）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（
）
A．60° B．90° C．108° D．120°
6．（4 分）下列二次根式中能与2
合并的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O 顺
第1页（共25页）
时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=
的图象经过点A 的对应点A′，则k
的值为（ ）
A．6B．﹣3 C．3D．6
8．（4 分）如图，在正方形ABCD 中，连接AC，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，
交AB、AC 于点M，N，分别以M，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧
交于点H，连结AH 并延长交BC 于点E，再分别以A、E 为圆心，以大于AE 长的一
半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB 于点F，G，L，交
CB 的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=
，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题（共6 题，每题3 分）
9．（3 分）如果水位升高2m 时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m 时，水位
的变化情况是 ．
10．（3 分）如图：四边形ABCD 内接于⊙O，E 为BC 延长线上一点，若∠A=n°，则
∠DCE= °．
第2页（共25页）
11．（3 分）如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D，E 分别是AB，BC 的中点，连接
DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是 ．
12．（3 分）关于x 的方程ax2+4x
2=0
﹣
（a≠0）有实数根，那么负整数a=
（一个即可）．
13．（3 分）一个书包的标价为115 元，按8 折出售仍可获利15%，该书包的进价为
元．
14．（3 分）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1 个单位长度为半径的扇形，将图
形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次
移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为
P4P5P6…，依此规律，P0P2018= 个单位长度．
三、解答题
15．（5 分）计算﹣（﹣2）+（π
3.14
﹣
）0+
+（﹣
）﹣1
16．先化简，再求值（
﹣
）÷
，其中a，b 满足a+b﹣
=0．
第3页（共25页）
17．如图：在平行四边形ABCD 的边AB，CD 上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点
M，N 是线段EF 上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF 的度数．
18．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4 个，甲做120 个所用的时
间与乙做100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
19．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部
分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800 名学生，估计该校年龄在15 岁及以上的学生人数．
20．某公司计划购买A，B 两种型号的电脑，已知购买一台A 型电脑需0.6 万元，购
买一台B 型电脑需0.4 万元，该公司准备投入资金y 万元，全部用于购进35 台这
两种型号的电脑，设购进A 型电脑x 台．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）若购进B 型电脑的数量不超过A 型电脑数量的2 倍，则该公司至少需要投入
资金多少万元？
21．数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片
的正面标有字母a，b，c 表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，
第4页（共25页）
李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC
的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC，CD，BD，过点C 的切线与线段BA 的延长线
交于点P，连接AD，在PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=
，求四边形OCDB 的面积．
23．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=
x﹣
与x 轴交于点A，经过点A 的抛
物线y=ax2
3x
﹣
+c 的对称轴是x=
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O，得到直线m，点P 是直线m 上任意一点，PB⊥x 轴于
点B，PC⊥y 轴于点C，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE，
PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当
PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点
Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
第5页（共25页）
第6页（共25页）
2018 年云南省曲靖市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 题，每题4 分）
1．（4 分）﹣2 的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2 C．
D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2 的绝对值是2，
即|
2
﹣|=2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的
相反数；0 的绝对值是0．
2．（4 分）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的
左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图
中．
【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：
第7页（共25页）
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中
每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个
平面上．
3．（4 分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a=a2 B．a6÷a2=a3
C．a2b
2ba
﹣
2=
a
﹣
2b D．（﹣
）3=﹣
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=a4，不符合题意；
C、原式=
a
﹣
2b，符合题意；
D、原式=﹣
，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
4．（4 分）截止2018 年5 月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规
模约为3.11×104亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ）
A．2311000 亿B．31100 亿C．3110 亿D．311 亿
【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数
点向右移动n 位所得到的数，据此求解即可．
【解答】解：3.11×104亿=31100 亿
故选：B．
【点评】此题主要考查了科学记数法﹣原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点
第8页（共25页）
向右移动n 位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10
n
﹣，还原为原来的
数，需要把a 的小数点向左移动n 位得到原数．
5．（4 分）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（
）
A．60° B．90° C．108° D．120°
【分析】根据正多边形的内角和定义（n
2
﹣）×180°，先求出边数，再用内角和除以
边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【解答】解：（n
2
﹣）×180°=720°，
∴n
2=4
﹣
，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故选：D．
【点评】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n﹣
2）×180°．
6．（4 分）下列二次根式中能与2
合并的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3 的二次根式即可．
【解答】解：A、
，不能与2
合并，错误；
B、
能与2
合并，正确；
C、
不能与2
合并，错误；
D、
不能与2
合并，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解
题的关键．
7．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O 顺
第9页（共25页）
时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=
的图象经过点A 的对应点A′，则k
的值为（ ）
A．6B．﹣3 C．3D．6
【分析】直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O 顺时针旋转90°，
得到△OA′B′，反比例函数y=
的图象经过点A 的对应点A′，
∴A′（3，1），
则把A′代入y=
，
解得：k=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是
解题关键．
第10页（共25页）
8．（4 分）如图，在正方形ABCD 中，连接AC，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，
交AB、AC 于点M，N，分别以M，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧
交于点H，连结AH 并延长交BC 于点E，再分别以A、E 为圆心，以大于AE 长的一
半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB 于点F，G，L，交
CB 的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=
，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】①在△AOL 和△BLK 中，根据三角形内角和定理，如图两个角对应相等，则
第三个角∠LKB=∠BAC=22.5°；
②根据线段中垂线定理证明∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；
③根据等量代换可得：∠CGF=∠BLK，可作判断；
④连接EL，证明四边形ALEG 是菱形，根据EL＞BL，及相似三角形的性质可作判断．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC=
∠BAD=45°，
由作图可知：AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵PQ 是AE 的中垂线，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°；
故①正确；
②∵OG 是AE 的中垂线，
第11页（共25页）
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，
∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，
∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL 中，tan∠CGF=tan∠BLK=
，
故③正确；
④连接EL，
∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形ALEG 是菱形，
∴AL=EL=EG＞BL，
∴
，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴
=
，
故④不正确；
本题正确的是：①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质
第12页（共25页）
和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键
在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的
压轴题．
二、填空题（共6 题，每题3 分）
9．（3 分）如果水位升高2m 时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m 时，水位
的变化情况是 ﹣
3m
．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵水位升高2m 时水位变化记作+2m，
∴水位下降3m 时水位变化记作﹣3m．
故答案是：﹣3m．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对
性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其
中一个为正，则另一个就用负表示．
10．（3 分）如图：四边形ABCD 内接于⊙O，E 为BC 延长线上一点，若∠A=n°，则
∠DCE=
n
°．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为：n
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形
的对角互补．
第13页（共25页）
11．（3 分）如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D，E 分别是AB，BC 的中点，连接
DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是
18
．
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理
得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公
式计算即可．
【解答】解：∵D，E 分别是AB，BC 的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E 是BC 的中点，
∴直线DE 是线段BC 的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三
角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（3 分）关于x 的方程ax2+4x
2=0
﹣
（a≠0）有实数根，那么负整数a= ﹣
2
（一个即可）．
【分析】先根据判别式的意义得到△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，然后在解集中找出
负整数即可．
【解答】解：∵关于x 的方程ax2+4x
2=0
﹣
（a≠0）有实数根，
∴△=42+8a≥0，
第14页（共25页）
解得a≥﹣2，
∴负整数a=
1
﹣或﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式
△=b2
4ac
﹣
．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实
数根；当△＜0，方程没有实数根．
13．（3 分）一个书包的标价为115 元，按8 折出售仍可获利15%，该书包的进价为
80
元．
【分析】设该书包的进价为x 元，根据销售收入﹣成本=利润，即可得出关于x 的一
元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该书包的进价为x 元，
根据题意得：115×0.8
x=15%x
﹣
，
解得：x=80．
答：该书包的进价为80 元．
故答案为：80．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程
是解题的关键．
14．（3 分）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1 个单位长度为半径的扇形，将图
形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次
移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为
P4P5P6…，依此规律，P0P2018=
673
个单位长度．
【分析】根据P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；
第15页（共25页）
可知每移动一次，圆心离中心的距离增加1 个单位，依据2018=3×672+2，即可得
到点P2018在正南方向上，P0P2018=672+1=673．
【解答】解：由图可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；
P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；
P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；
∵2018=3×672+2，
∴点P2018在正南方向上，
∴P0P2018=672+1=673，
故答案为：673．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，应找出图形哪些部分发生了变化，是按
照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻
规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
三、解答题
15．（5 分）计算﹣（﹣2）+（π
3.14
﹣
）0+
+（﹣
）﹣1
【分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化
简得出答案．
【解答】解：原式=2+1+3
3
﹣
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．先化简，再求值（
﹣
）÷
，其中a，b 满足a+b﹣
=0．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=
•
=
，
由a+b﹣
=0，得到a+b=
，
则原式=2．
第16页（共25页）
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．如图：在平行四边形ABCD 的边AB，CD 上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点
M，N 是线段EF 上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF 的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS 即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM 即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4 个，甲做120 个所用的时
间与乙做100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
【分析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x
4
﹣）个零件，根据工作时间=工
第17页（共25页）
作总量÷工作效率结合甲做120 个所用的时间与乙做100 个所用的时间相等，即
可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x
4
﹣）个零件，
根据题意得：
=
，
解得：x=24，
经检验，x=24 是分式方程的解，
∴x
4=20
﹣
．
答：甲每小时做24 个零件，乙每小时做20 个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
19．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部
分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800 名学生，估计该校年龄在15 岁及以上的学生人数．
【分析】（1）由12 岁的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）先求出14、16 岁的人数，再根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中15、16 岁的人数所占比例可得．
【解答】解：（1）样本容量为6÷12%=50；
（2）14 岁的人数为50×28%=14、16 岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2，
第18页（共25页）
则这组数据的平均数为
=14（岁），
中位数为
=14（岁），众数为15 岁；
（3）估计该校年龄在15 岁及以上的学生人数为1800×
=720 人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．某公司计划购买A，B 两种型号的电脑，已知购买一台A 型电脑需0.6 万元，购
买一台B 型电脑需0.4 万元，该公司准备投入资金y 万元，全部用于购进35 台这
两种型号的电脑，设购进A 型电脑x 台．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）若购进B 型电脑的数量不超过A 型电脑数量的2 倍，则该公司至少需要投入
资金多少万元？
【分析】（1）根据题意列出关于x、y 的方程，整理得到y 关于x 的函数解析式；
（2）解不等式求出x 的范围，根据一次函数的性质计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，0.6x+0.4×（35
x
﹣）=y，
整理得，y=0.2x+14（0＜x＜35）；
（2）由题意得，35
x
﹣≤2x，
解得，x≥
，
则x 的最小整数为12，
∵k=0.2＞0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴当x=12 时，y 有最小值16.4，
答：该公司至少需要投入资金16.4 万元．
【点评】本题考查的是一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的
性质是解题的关键．
第19页（共25页）
21．数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片
的正面标有字母a，b，c 表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，
李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2）由四张卡片中只有C、D 两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解可得
【解答】解：（1）由题意可得，
共有12 种等可能的结果；
（2）∵共有12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都
能组成三角形有2 种结果，
∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为
=
．
【点评】本题考查树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC
的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC，CD，BD，过点C 的切线与线段BA 的延长线
交于点P，连接AD，在PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC．
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（1）判断PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=
，求四边形OCDB 的面积．
【分析】（1）连接DO 并延长交PM 于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，
则可判断四边形OBDC 为菱形，所以OD⊥BC，△OCD 和△OBD 都是等边三角形，
从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC 得到OE⊥PM，所以OE=
OP，
根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=
OP，从而可判定PM 是⊙O 的切线；
（2）先在Rt△OPC 中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形
OCDB 的面积．
【解答】解：（1）PM 与⊙O 相切．
理由如下：
连接DO 并延长交PM 于E，如图，
∵弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC 为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
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∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=
OP，
∵PC 为⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=
OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PC，
∴PM 是⊙O 的切线；
（2）在Rt△OPC 中，OC=
PC=
×
=1，
∴四边形OCDB 的面积=2S△OCD=2×
×12=
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切
线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、
圆周角定理和折叠的性质．
23．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=
x﹣
与x 轴交于点A，经过点A 的抛
物线y=ax2
3x
﹣
+c 的对称轴是x=
．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）平移直线l 经过原点O，得到直线m，点P 是直线m 上任意一点，PB⊥x 轴于
点B，PC⊥y 轴于点C，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE，
PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当
PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点
Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=
列出关于
a、c 的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进
行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到
点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到
=
，
=
，从
而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解
析式求得a 的值即可．
【解答】解：（1）当y=0 时，x﹣
=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴
是x=
，得
，
解得
，抛物线的解析式为y=x2
3x
4
﹣
﹣；
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（2）∵平移直线l 经过原点O，得到直线m，
∴直线m 的解析式为y=
x．
∵点P 是直线1 上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴
=
．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E（a，0），则BE=6
a
﹣．
∵CF=3BE=18
3a
﹣
，
∴OF=20
3a
﹣
．
∴F（0，20
3a
﹣
）．
∵PEQF 为矩形，
∴
=
，
=
，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20
3a
﹣
+0，
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∴Qx=a
6
﹣，Qy=18
3a
﹣
．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18
3a=
﹣
（a
6
﹣）2
3
﹣（a
6
﹣）﹣4，解得：a=4
或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E（a，0），则BE=a
6
﹣．
∵CF=3BE=3a
18
﹣
，
∴OF=3a
20
﹣
．
∴F（0，20
3a
﹣
）．
∵PEQF 为矩形，
∴
=
，
=
，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20
3a
﹣
+0，
∴Qx=a
6
﹣，Qy=18
3a
﹣
．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18
3a=
﹣
（a
6
﹣）2
3
﹣（a
6
﹣）﹣4，解得：a=8
或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性
质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的
坐标是解题的关键．
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