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2017 年安徽省马鞍山市和县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）﹣5 的倒数是（ ）
A．5B．﹣5 C．D．﹣
2．（4 分）下列计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6aB．（﹣a3）2=a6 C．6a÷2a=3a
D．（﹣2a）3=
6a
﹣
3
3．（4 分）据统计，中国水资源总量约为27500 亿立方米，居世界第六位，其中数
据27500 亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.75×108B．2.75×1012
C．27.5×1013
D．0.275×1013
4．（4 分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）化简
﹣
等于（ ）
A．B．C．﹣
D．﹣
6．（4 分）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2
1
﹣B．x2+2x
1
﹣C．x2+x+1
D．4x2+4x+1
7．（4 分）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20 位销售员本月的
销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20 位销售人员本月销售量的
平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
第1页（共29页）
8．（4 分）如图，在△ABC 中，中线BE，CD 相交于点O，连接DE，下列结论：
①= ；②
= ；③= ；④
=
其中正确的个数有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
9．（4 分）从甲地到乙地的铁路路程约为615 千米，高铁速度为300 千米/小时，直
达；动车速度为200 千米/小时，行驶180 千米后，中途要停靠徐州10 分钟，若动
车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y（千米）与动车行驶时间x（小时）之间
的函数图象为（ ）
A．
B．
C．
D
．
10．（4 分）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，延长AB 至点E，使得BE=1，EF⊥AE，
EF=AE．分别连接AF，CF，M 为CF 的中点，则AM 的长为（ ）
第2页（共29页）
A．2
B．3
C．D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）不等式组
的解集是 ．
12．（5 分）去年2 月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛
涨，原来单价4 元/千克的大蒜，经过2 月和3 月连续两个月增长后，价格上升很
快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4 月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价
前的价格相同，则2 月，3 月的平均增长率为 ．
13．（5 分）如图，C，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上的两点，若CA=CD，且
∠ACD=40°，则∠CAB 的度数为 ．
14．（5 分）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC 上，
将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以
下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；
②EC 平分∠DCH；
③线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H 与点A 重合时，EF=2 ．
以上结论中，你认为正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
15．（8 分）解方程：
．
第3页（共29页）
16．（8 分）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点
是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC 关于直线l 对称的△A1B1C1；
（2）将线段AC 向左平移3 个单位，再向下平移5 个单位，画出平移得到的线段
A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
17．（8 分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O，M 为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O 的半径为2 时，求的长．
18．（8 分）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图
形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这
样得到图②，图③，…
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（1）观察以上图形并完成下表：
图形名称
基本图形的个数
菱形的个数
图①
1
1
图②
2
3
图③
3
7
图④
4
…
…
…
猜想：在图（n）中，菱形的个数为 （用含有n（n≥3）的代数式表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐
标为（x1，1），则x1= ；第2017 个基本图形的中心O2017的坐标为 ．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）
19．（10 分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广
告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB 落在斜坡上的影子BD 的长为6
米，落在广告牌上的影子CD 的长为4 米，求铁塔AB 的高（AB，CD 均与水平面垂
直，结果保留根号）．
20．（10 分）如图，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A，与反比例函数y=（x＞
0）的图象交于点B（2，n），过点B 作BC⊥x 轴于点C，点P（3n
4
﹣，1）是该反比例
函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
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六、解答题（本题满分12 分）
21．（12 分）如图，3×3 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在
方格A、B、C 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块
乙，可在方格D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．
（1）若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是
．
（2）若甲、乙均可在本层移动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 ．
七、解答题（本题满分12 分）
22．（12 分）某旅游风景区出售一种纪念品，该纪念品的成本为12 元/个，这种纪
念品的销售价格为x（元/个）与每天的销售数量y（个）之间的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）销售价格定为多少时，每天可以获得最大利润？并求出最大利润．
（3）“十•一”期间，游客数量大幅增加，若按八折促销该纪念品，预计每天的销
售数量可增加200%，为获得最大利润，“十•一”假期该纪念品打八折后售价为
多少？
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八、解答题（本题满分14 分）
23．（14 分）如图，在△ABC 中，点D 在△ABC 的内部且DB=DC，点E，F 在△ABC 的
外部，FB=FA，EA=EC，∠FBA=∠DBC=∠ECA．
（1）①填空：△ACE∽ ∽ ；
②求证：△CDE∽△CBA；
（2）求证：△FBD≌△EDC；
（3）若点D 在∠BAC 的平分线上，判断四边形AFDE 的形状，并说明理由．
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2017 年安徽省马鞍山市和县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）（2014•盘锦）﹣5 的倒数是（ ）
A．5B．﹣5 C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【解答】解：﹣5 的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1 的两数互为倒数．
2．（4 分）（2016•西宁）下列计算正确的是（ ）
A．2a•3a=6aB．（﹣a3）2=a6 C．6a÷2a=3a
D．（﹣2a）3=
6a
﹣
3
【分析】A：根据单项式乘单项式的方法判断即可．
B：根据积的乘方的运算方法判断即可．
C：根据整式除法的运算方法判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可．
【解答】解：∵2a•3a=6a2，
∴选项A 不正确；
∵（﹣a3）2=a6，
∴选项B 正确；
∵6a÷2a=3，
∴选项C 不正确；
∵（﹣2a）3=
8a
﹣
3，
∴选项D 不正确．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了整式的除法，解答此题的关键是熟练掌握整式的除
法法则：①单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对
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于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．②多项式
除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①（am）n=amn（m，n 是正整数）；②（ab）n=anbn（n 是正整数）．
（3）此题还考查了单项式乘单项式的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项
式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．（4 分）（2017•安徽二模）据统计，中国水资源总量约为27500 亿立方米，居世
界第六位，其中数据27500 亿用科学记数法表示为（ ）
A．2.75×108B．2.75×1012
C．27.5×1013
D．0.275×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将27500 亿用科学记数法表示为：2.75×1012．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（4 分）（2016•菏泽）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C 所示的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是
第9页（共29页）
解题的关键．
5．（4 分）（2016•德州）化简
﹣
等于（ ）
A．B．C．﹣
D．﹣
【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到
结果．
【解答】解：原式=
+
=
+ = = ，
故选B
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（4 分）（2017•和县一模）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A．x2
1
﹣B．x2+2x
1
﹣C．x2+x+1
D．4x2+4x+1
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D 符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．
7．（4 分）（2016•威海）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20 位
销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20 位销售人员
本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中
位数和众数的定义分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：
销售20 台的人数是：20×40%=8（人），
第10页（共29页）
销售30 台的人数是：20×15%=3（人），
销售12 台的人数是：20×20%=4（人），
销售14 台的人数是：20×25%=5（人），
则这20 位销售人员本月销售量的平均数是
=18.4（台）；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11 个数的平均数，
则中位数是
=20（台）；
∵销售20 台的人数最多，
∴这组数据的众数是20．
故选C．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数
最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
8．（4 分）（2016•咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE，CD 相交于点O，连接DE，下列
结论：
①= ；②
= ；③= ；④
=
其中正确的个数有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】BE、CD 是△ABC 的中线，即D、E 是AB 和AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位
线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．
【解答】解：∵BE、CD 是△ABC 的中线，即D、E 是AB 和AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE= BC，即= ，
第11页（共29页）
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴
=（）2=（）2= ，
= = = ，
故①正确，②错误，③正确；
设△ABC 的BC 边上的高AF，则S△ABC= BC•AF，S△ACD= S△ABC= BC•AF，
∵△ODE 中，DE= BC，DE 边上的高是× AF= AF，
∴S△ODE= × BC× AF= BC•AF，
∴
=
= ，故④错误．
故正确的是①③．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形
的面积公式证明△ODE 和△ADC 之间的关系是关键．
9．（4 分）（2017•和县一模）从甲地到乙地的铁路路程约为615 千米，高铁速度为
300 千米/小时，直达；动车速度为200 千米/小时，行驶180 千米后，中途要停靠
徐州10 分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y（千米）与动车行驶
时间x（小时）之间的函数图象为（ ）
A．
B．
C．
D
．
第12页（共29页）
【分析】先根据两车并非同时出发，得出D 选项错误；再根据高铁从甲地到乙地的
时间以及动车从甲地到乙地的时间，得出两车到达乙地的时间差，结合图形排除
C 选项，再根据图象的交点位置即可得出结论．
【解答】解：由题可得，两车并非同时出发，故D 选项错误；
高铁从甲地到乙地的时间为615÷300=2.05h，
动车从甲地到乙地的时间为615÷200+ ≈3.24h，
∵动车先出发半小时，
∴两车到达乙地的时间差为3.24
2.05
0.5=0.69h
﹣
﹣
，该时间差小于动车从甲地到
乙地所需时间的一半，故C 选项错误；
假设动车出发x 小时后与高铁相遇，则200（x﹣）=300（x﹣），
解得x=1.17，
又∵动车第二次开始行驶的时间为：180÷200+ =1.07＜1.17，
∴两个图象的交点应出现在动车图象的第三段上，
故A 选项符合题意，B 选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对
对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个
函数的图象．解决问题的关键是比较各函数图象的不同之处，依据函数图象中各
端点的实际意义，运用排除法进行判断．
10．
（4 分）
（2017•广丰区一模）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，延长AB 至点E，使
得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M 为CF 的中点，则AM 的长为（ ）
第13页（共29页）
A．2
B．3
C．D．
【分析】连接AC，易得△ACF 是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结
论．
【解答】解：连接AC，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC=45°．
∵EF⊥AE，EF=AE，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠CAF=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=
=2 ．
∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，
∴AF=
=3 ，
∴CF=
=
= ．
∵M 为CF 的中点，
∴AM= CF= ．
故选D．
【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
第14页（共29页）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）（2016•广东）不等式组
的解集是 ﹣
3 ＜
x ≤
1
．
【分析】分别解两个不等式得到x≤1 和x＞﹣3，然后利用大小小大中间找确定不
等式组的解集．
【解答】解：
，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其
中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等
式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到．
12．（5 分）（2017•和县一模）去年2 月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批
发市场大蒜价格猛涨，原来单价4 元/千克的大蒜，经过2 月和3 月连续两个月增
长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4 月大蒜价格下降了
36%，恰好与涨价前的价格相同，则2 月，3 月的平均增长率为
25%
．
【分析】根据“原来单价4 元/千克的大蒜，经过2 月和3 月连续两个月增长后，价
格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4 月大蒜价格下降了36%”可
列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结论；
【解答】解：设2 月，3 月的平均增长率为x，根据题意得：
4（1+x）2（1
36%
﹣
）=4，
解得：x=25%或x=
2.25
﹣
（舍去）
故答案为：25%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据增长率问题列
出方程，难度不大．
13．（5 分）（2017•和县一模）如图，C，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上的两点，若
CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB 的度数为
20°
．
第15页（共29页）
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的
性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACD=40°，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA= （180°
40°
﹣
）=70°，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关
键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（5 分）（2017•和县一模）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F
分别在AD，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D
落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；
②EC 平分∠DCH；
③线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H 与点A 重合时，EF=2 ．
以上结论中，你认为正确的有
①③④
．（填序号）
【分析】①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然
第16页（共29页）
后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有
∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8
x
﹣，利用勾股定理列出方程求解
得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF 的取值范
围，判断出③正确；
④过点F 作FM⊥AD 于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④
正确．
【解答】解：∵FH 与CG，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD、BC 的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE 是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE 是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，（故②错误）；
点H 与点A 重合时，设BF=x，则AF=FC=8
x
﹣，
在Rt△ABF 中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8
x
﹣）2，
解得x=3，
点G 与点D 重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF 的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F 作FM⊥AD 于M，
则ME=（8
3
﹣）﹣3=2，
由勾股定理得，
EF=
=
=2 ，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3 个，
第17页（共29页）
故答案为①③④．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点
在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
15．（8 分）（2016•贺州）解方程：
．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：2x
3
﹣（30
x
﹣）=60，
去括号得：2x
90
﹣
+3x=60，
移项合并得：5x=150，
解得：x=30．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未
知数系数化为1，求出解．
16．（8 分）（2015•安徽）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，给出了
△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC 关于直线l 对称的△A1B1C1；
（2）将线段AC 向左平移3 个单位，再向下平移5 个单位，画出平移得到的线段
A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2．
第18页（共29页）
【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点
位置是解题关键．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
17．（8 分）（2016•福州）如图，正方形ABCD 内接于⊙O，M 为中点，连接BM，
CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O 的半径为2 时，求的长．
第19页（共29页）
【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=CD，
∴= ，
∵M 为中点，
∴= ，
∴+ = + ，即= ，
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O 的半径为2，
∴⊙O 的周长为4π，
∵= = = ，
∴= + = ，
∴的长= × ×4π= ×4π= π．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌
握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
18．（8 分）（2017•和县一模）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本
图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱
形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察以上图形并完成下表：
图形名称
基本图形的个数
菱形的个数
第20页（共29页）
图①
1
1
图②
2
3
图③
3
7
图④
4
11
…
…
…
猜想：在图（n）中，菱形的个数为
4n
5
﹣
（用含有n（n≥3）的代数式表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐
标为（x1，1），则x1= ；第2017 个基本图形的中心O2017的坐标为 （
2017
，
1 ）
．
【分析】（1）根据从第3 个图形开始，每多一个基本图形就会多出4 个菱形解答即
可；
（2）根据菱形的性质求得中心O1的坐标为（，1），据此可得．
【解答】解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3
2
﹣），
图④中，菱形的个数为3+4×（4
2
﹣）=11，
∵当n≥3 时，每多一个基本图形就会多出4 个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n
2
﹣）=4n
5
﹣，
故答案为：11，4n
5
﹣；
（2）过点O1作O1A⊥y 轴，O1B⊥x 轴，则OA=1，
由菱形的性质知∠BAO1=30°，
∴AO1=
= = ，
即x1= ，
中心O2的坐标为（2 ，1）、O3的坐标为（3 ，1）…，O2017的坐标为（2017 ，1），
故答案为：，（2017 ，1）．
【点评】本题主要考查图形与坐标的变化规律，根据题意得出每多一个基本图形
就会多出4 个菱形的规律和熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
第21页（共29页）
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）
19．（10 分）（2014•仙桃）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗
立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB 落在斜坡上的影子
BD 的长为6 米，落在广告牌上的影子CD 的长为4 米，求铁塔AB 的高（AB，CD 均
与水平面垂直，结果保留根号）．
【分析】过点C 作CE⊥AB 于E，过点B 作BF⊥CD 于F，在Rt△BFD 中，分别求出
DF、BF 的长度，在Rt△ACE 中，求出AE、CE 的长度，继而可求得AB 的长度．
【解答】解：过点C 作CE⊥AB 于E，过点B 作BF⊥CD 于F，
在Rt△BFD 中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF= = ，cos∠DBF= = ，
∵BD=6，
∴DF=3，BF=3 ，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE 为矩形，
∴BF=CE=3 ，CF=BE=CD
DF=1
﹣
，
在Rt△ACE 中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=3 ，
∴AB=3 +1．
答：铁塔AB 的高为（3 +1）m．
第22页（共29页）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的根据题目所给的坡角构造
直角三角形，利用三角函数的知识求解．
20．（10 分）（2016•苏州）如图，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A，与反比
例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B 作BC⊥x 轴于点C，点P（3n
4
﹣，
1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的
表达式．
【分析】将点B（2，n）、P（3n
4
﹣，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n 的值，从
而求得反比例函数的解析式以及点B 和点P 的坐标，过点P 作PD⊥BC，垂足为
D，并延长交AB 与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后
将点P′和点B 的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．
【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n
4
﹣，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴
．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y= ．
∵m=8，n=4，
∴点B（2，4），P（8，1）．
过点P 作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB 与点P′．
第23页（共29页）
在△BDP 和△BDP′中，
∴△BDP≌△BDP′．
∴DP′=DP=6．
∴点P′（﹣4，1）．
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：
，
解得：
．
∴一次函数的表达式为y= x+3．
【点评】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方
程组是解题的关键．
六、解答题（本题满分12 分）
21．（12 分）（2016•遵义）如图，3×3 的方格分为上中下三层，第一层有一枚黑色
方块甲，可在方格A、B、C 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有
一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F 中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成
各种拼图．
（1）若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是
（2）若甲、乙均可在本层移动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 ．
第24页（共29页）
【分析】（1）若乙固定在E 处，求出移动甲后黑色方块构成的拼图一共有多少种
可能，其中是轴对称图形的有几种可能，由此即可解决问题．
（2）①画出树状图即可解决问题．
②中心对称图形有两种可能，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3 种可能，
其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E 处，移动甲后黑色方块构成的
拼图是轴对称图形的概率是．
故答案为．
（2）①由树状图可知，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率= ．
②黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形，①甲在B 处，乙在F 处，②甲
在C 处，乙在E 处，
所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查轴对称图形、中心对称图形、树状图、概率公式等知识，解题的关
键是几种基本概念，学会画树状图解决概率问题，属于中考常考题型．
七、解答题（本题满分12 分）
22．（12 分）（2017•和县一模）某旅游风景区出售一种纪念品，该纪念品的成本为
12 元/个，这种纪念品的销售价格为x（元/个）与每天的销售数量y（个）之间的函
数关系如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
第25页（共29页）
（2）销售价格定为多少时，每天可以获得最大利润？并求出最大利润．
（3）“十•一”期间，游客数量大幅增加，若按八折促销该纪念品，预计每天的销
售数量可增加200%，为获得最大利润，“十•一”假期该纪念品打八折后售价为
多少？
【分析】（1）根据函数图象中两个点的坐标，利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析，利用二次函数的性质可
得最值情况；
（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设y=kx+b，
根据函数图象可得：
，
解得：
，
∴y=
5x
﹣
+200；
（2）设每天获利w 元，
则w=（x
12
﹣
）y=
5x
﹣
2+260x
2400=
5
﹣
﹣（x
26
﹣
）2+980，
∴当x=26 时，w 最大，最大利润为980 元；
（3）设“十一”假期每天利润为P 元，
则P=（0.8x
12
﹣
）•y（1+200%）=
12x
﹣
2+660x
7200=
12
﹣
﹣
（x﹣）2+1875，
∴当x= 时，P 最大，
此时售价为0.8× =22，
答：“十•一”假期该纪念品打八折后售价为22 元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用和待定系数法求一次函数的解析式，熟练
掌握销售问题中关于总利润的相等关系和二次函数的性质是解题的关键．
第26页（共29页）
八、解答题（本题满分14 分）
23．（14 分）（2017•和县一模）如图，在△ABC 中，点D 在△ABC 的内部且DB=DC，
点E，F 在△ABC 的外部，FB=FA，EA=EC，∠FBA=∠DBC=∠ECA．
（1）①填空：△ACE∽
△
ABF
∽
△
BCD
；
②求证：△CDE∽△CBA；
（2）求证：△FBD≌△EDC；
（3）若点D 在∠BAC 的平分线上，判断四边形AFDE 的形状，并说明理由．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB，∠FBA=∠FAB，
∠ACE=∠EAC，等量代换得到∠FAB=∠BCD=∠EAC，于是得到结论；②根据相似三
角形的性质得到
，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠EDC=∠FBD，∠FDB=∠ACB 等量代换得到
∠FDB=∠ACB，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到FB=DE，DF=CE，等量代换得到FD=AE，FA=DE，推
出四边形AFDE 是平行四边形，连接AD，于是得到AD 平分∠BAC，根据菱形的判
定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵FB=FA，EA=EC，
∴∠FBA=∠FAB，∠ACE=∠EAC，
∵∠FBA=∠DBC=∠ECA，
∴∠FAB=∠BCD=∠EAC，
∴△ACE∽△ABF∽△BCD；
故答案为：△ABF，△BCD；
②由①知，△ACE∽△BCD，
∴
，即
，
∵∠ECA=∠DCB，
第27页（共29页）
∴∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA；
（2）∵△CDE∽△CBA，
∴∠ABC=∠EDC，
∵∠ABC=∠FBD，
∴∠EDC=∠FBD，
同理△BFD∽△BAC，
∴∠FDB=∠ACB，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠FDB=∠ACB，
在△FBD 与△EDC 中
，
∴△FBD≌△EDC；
（3）四边形AFDE 是菱形，
理由：∵△FBD≌△EDC，
∴FB=DE，DF=CE，
∵FB=FA，EA=EC，
∴FD=AE，FA=DE，
∴四边形AFDE 是平行四边形，
连接AD，则AD 平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∵∠BAF=∠CAE，
∴∠DAF=∠DAE，
∵AF∥DE，
∴∠DAF=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴EA=ED，
∴▱AFDE 是菱形．
第28页（共29页）
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，菱形的
判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的
关键．
第29页（共29页）
