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2017 年安徽省芜湖市繁昌县中考数学模拟试卷（3 月份）
一、选择题（本题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4 分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）方程x2=3x 的解为（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=
3
﹣D．x1=0，x2=3
4．（4 分）若将抛物线y=x2向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位，则得到的抛
物线解析式是（ ）
A．y=（x
2
﹣）2
3
﹣
B．y=（x
2
﹣）2+3 C．y=（x+2）2
3
﹣D．y=（x+2）2+3
5．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，则下列结论不正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D=32°，则∠OAC 等于（
）
A．64° B．58° C．68° D．55°
第1页（共27页）
7．
（4 分）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC
与△DEF 的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
8．（4 分）如图，已知反比例函数y= （x＞0），则k 的取值范围是（ ）
A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤4
9．（4 分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个
动点，PQ 切⊙O 于点Q，则PQ 的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
10．（4 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，AC=6，BD=8，动点P 从
点B 出发，沿着B
A
D
﹣﹣
在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P′是点P
关于BD 的对称点，PP′交BD 于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y 与x 之间的
函数图象大致为（ ）
第2页（共27页）
A．
B．
C．
D
．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）计算：tan45°
2cos60°=
﹣
．
12．（5 分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，
则的长 ．
13．（5 分）在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2 ，AB=3，则
AD= ．
14．
（5 分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值
第3页（共27页）
如表
x
1
﹣
0
1
3
y
1
﹣
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1 时，y 的值随x 值的增大而减小．
③当x=2 时，y=5；④3 是方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 的一个根；
其中正确的有 ．（填正确结论的序号）
三、（总分90 分）
15．（8 分）解方程：x（x
4
﹣）=1．
16．（8 分）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，
根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC 向左平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，画出平移后的
△A1B1C1；
（2）将△DEF 绕D 点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
17．（8 分）某条道路上通行车辆限速为60 千米/时，在离道路50 米的点P 处建一
个监测点，道路AB 段为检测区（如图）．在△ABP 中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，
那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1 秒）？（参
考数据：≈1.41，≈1.73，60 千米/时= 米/秒）
18．（8 分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果
圆”，已知点A、B、C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，抛物
第4页（共27页）
线的解析式为y=x2
2x
3
﹣
﹣，求这个“果圆”被y 轴截得线段CD 的长 ．
19．
（10 分）某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、
乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌
的正面4 个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个
人选中的数字第二个人不能再选择了．
（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲
获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画
树状图分析．
20．
（10 分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每
年均为4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为2.6 万元，
设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x 的代数式表示第3 年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3 年的养殖成本为7.146 万元，求可变成本平均每年增长的
百分率x．
21．（12 分）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为三角形内一点，且
∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB 的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD 的长为1，求AB 的长．
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22．（12 分）2016 年里约奥运会，中国跳水队赢得8 个项目中的7 块金牌，优秀成
绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）
在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB 长为2 米，跳板距水面
CD 的高BC 为3 米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1 米时达到距水面最大
高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4 时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4 时，求运动员落水点与点C 的距离；
（3）图中CE= 米，CF= 米，若跳水运动员在区域EF 内（含点E，F）入水时才能达到
训练要求，求k 的取值范围．
23．（14 分）[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D 在经过A，B，C 三点的圆上
（如图①）
第6页（共27页）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D 在AB 的同侧），那么点D
还在经过A，B，C 三点的⊙O 上吗？
我们知道，如果点D 不在经过A，B，C 三点的圆上，那么点D 要么在⊙O 外，要么
在⊙O 内，以下该同学的想法说明了点D 不在⊙O 外．请结合图④证明点D 也不
在⊙O 内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D 在AB 的同侧），那么点D 在
经过A，B，C 三点的圆上，即：A、B、C、D 四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC 中，∠C=90°，将△ACB 绕点A 顺时针旋转α 度（α 为锐角）得
△ADE，连接BE、CD，延长CD 交BE 于点F；
（1）用含α 的代数式表示∠ACD 的度数；
（2）求证：点B、C、A、F 四点共圆；
（3）求证：点F 为BE 的中点．
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2017 年安徽省芜湖市繁昌县中考数学模拟试卷（3 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）（2017•繁昌县模拟）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比
例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答
案．
【解答】解：A、= ，则5y=6x，故此选项错误；
B、= ，则5x=6y，故此选项正确；
C、= ，则5y=6x，故此选项错误；
D、= ，则xy=30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．（4 分）（2009•三明）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能
不相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论．
【解答】解：A 选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形；
B 选项的主视图与左视图都是正方形；
C 选项的主视图与左视图都是矩形；
D 选项的主视图与左视图都是圆．
故选A．
第8页（共27页）
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（4 分）（2017•繁昌县模拟）方程x2=3x 的解为（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=
3
﹣D．x1=0，x2=3
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2
3x=0
﹣
，
∴x（x
3
﹣）=0，
则x=0 或x
3=0
﹣
，
解得：x=0 或x=3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种
常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合
适、简便的方法是解题的关键．
4．（4 分）（2017•繁昌县模拟）若将抛物线y=x2向右平移2 个单位，再向上平移3
个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x
2
﹣）2
3
﹣
B．y=（x
2
﹣）2+3 C．y=（x+2）2
3
﹣D．y=（x+2）2+3
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点
坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线解析式是y=（x
2
﹣）2+3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，
利用顶点的变化求解更简便．
5．（4 分）（2016•乐山）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，则下列
结论不正确的是（ ）
第9页（共27页）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，sinB= ，
∵AD⊥BC，
∴sinB= ，
sinB=sin∠DAC= ，
综上，只有C 不正确
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
6．
（4 分）
（2017•澧县三模）如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D=32°，
则∠OAC 等于（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠BAC 的度数，再由等腰三角形的性质求出
∠OAB 的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵BC 是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°
32°=58°
﹣
．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
第10页（共27页）
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（4 分）（2015•咸宁）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF．若
AD=OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．
【解答】解：∵以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
8．（4 分）（2017•繁昌县模拟）如图，已知反比例函数y=（x＞0），则k 的取值范围
是（ ）
A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤4
【分析】直接根据A、B 两点的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵A（2，2），B（2，1），
∴当双曲线经过点A 时，k=2×2=4；
当双曲线经过点B 时，k=2×1=2，
第11页（共27页）
∴2＜k＜4．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（4 分）（2011•台州）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直
线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q，则PQ 的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【分析】因为PQ 为切线，所以△OPQ 是Rt△．又OQ 为定值，所以当OP 最小时，
PQ 最小．根据垂线段最短，知OP=3 时PQ 最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ 切⊙O 于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2
OQ
﹣
2，
而OQ=2，
∴PQ2=OP2
4
﹣，即PQ=
，
当OP 最小时，PQ 最小，
∵点O 到直线l 的距离为3，
∴OP 的最小值为3，
∴PQ 的最小值为= ．
第12页（共27页）
故选B．
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ 最小时
点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．
10．（4 分）（2016•大庆校级自主招生）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于
点O，AC=6，BD=8，动点P 从点B 出发，沿着B
A
D
﹣﹣
在菱形ABCD 的边上运动，
运动到点D 停止，点P′是点P 关于BD 的对称点，PP′交BD 于点M，若BM=x，
△OPP′的面积为y，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D
．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，分两种
情况：
①当BM≤4 时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式
，求出PP′，得出△OPP′的
面积y 是关于x 的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4 时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4 时，
第13页（共27页）
∵点P′与点P 关于BD 对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴
，即
，
∴PP′= x，
∵OM=4
x
﹣，
∴△OPP′的面积y= PP′•OM= × x（4
x
﹣）=﹣x2+3x；
∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4 时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为
．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、
三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二
次函数解析式是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）（2017•繁昌县模拟）计算：tan45°
2cos60°=
﹣
0
．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．
【解答】解：原式=1
2
﹣× ，
=1
1
﹣，
=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角
函数值．
12．（5 分）（2017•繁昌县模拟）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的
第14页（共27页）
半径为2，∠B=135°，则的长
π
．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC 的度数，最后根据弧长公式
求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°
135°=45°
﹣
，
∴∠AOC=90°，
则的长=
=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公
式L= ．
13．（5 分）（2017•繁昌县模拟）在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD=∠A，已
知BC=2 ，AB=3，则AD= ．
【分析】证明△DCB≌△CAB，得
，可求出BD 的长，进而可求出AD 的长，由此即
可解决问题即可．
【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△DCB～△CAB，
第15页（共27页）
∴
，
∴= ，
∴BD= ，
∴AD=AB
BD=
﹣
，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形
的判定方法，利用相似三角形的性质求出BD 的长，属于中考常考题型．
14．
（5 分）
（2017•繁昌县模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且a≠0）中的
x 与y 的部分对应值如表
x
1
﹣
0
1
3
y
1
﹣
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1 时，y 的值随x 值的增大而减小．
③当x=2 时，y=5；④3 是方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 的一个根；
其中正确的有
①③④
．（填正确结论的序号）
【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再根据二次函
数的解析式逐一分析四条结论的正误即可得出结论．
【解答】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y=ax2+bx+c，
，解得：
，
∴二次函数的解析式为y=
x
﹣2+3x+3．
①ac=
1
﹣×3=
3
﹣＜0，
∴结论①符合题意；
②∵y=
x
﹣2+3x+3=﹣
+ ，
∴当x＞时，y 的值随x 值的增大而减小，
∴结论②不符合题意；
③当x=2 时，y=
2
﹣
2+3×2+3=5，
∴结论③符合题意；
④ax2+（b
1
﹣）x+c=
x
﹣2+2x+3=（x+1）（﹣x+3）=0，
∴x=3 是方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 的一个根，
∴结论④符合题意．
第16页（共27页）
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式
分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解
题的关键．
三、（总分90 分）
15．（8 分）（2017•繁昌县模拟）解方程：x（x
4
﹣）=1．
【分析】先把方程化为x2
4x=1
﹣
，再利用配方法得到（ x
2
﹣）2=5，然后利用直接开
平方法解方程．
【解答】解：x2
4x=1
﹣
，
x2
4x
﹣
+4=5，
（ x
2
﹣）2=5，
x
2=
﹣
± ，
所以x1=2+ ，x2=2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的
形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
16．（8 分）（2017•繁昌县模拟）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF
的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC 向左平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，画出平移后的
△A1B1C1；
（2）将△DEF 绕D 点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1即可．
第17页（共27页）
【解答】解（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△DE1F1即为所求；
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题
的关键．
17．
（8 分）
（2017•繁昌县模拟）某条道路上通行车辆限速为60 千米/时，在离道路
50 米的点P 处建一个监测点，道路AB 段为检测区（如图）．在△ABP 中，已知
∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超
速（精确到0.1 秒）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，60 千米/时= 米/秒）
【分析】作PC⊥AB 于点C，根据三角函数即可求得AC 与BC 的长，则AB 即可求得
用AB 的长除以速度即可求解．
【解答】解：作PC⊥AB 于点C．
在直角△APC 中，tan∠PAC= ，
则AC=
=50 ≈86.5（米），
同理，BC=
=PC=50（米），
则AB=AC+BC≈136.5（米），
60 千米/时= 米/秒，
则136.5÷ ≈8.2（秒）．
第18页（共27页）
故车辆通过AB 段的时间在8.2 秒内时，可认定为超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题
中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．
18．（8 分）（2017•繁昌县模拟）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的
封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB
为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2
2x
3
﹣
﹣，求这个“果圆”被y 轴截得线段
CD 的长
3 + ．
【分析】将x=0 代入抛物线的解析式得y=
3
﹣，故此可得到DO 的长，然后令y=0 可
求得点A 和点B 的坐标，故此可得到AB 的长，由M 为圆心可得到MC 和OM 的长
然后依据勾股定理可求得OC 的长，最后依据CD=OC+OD 求解即可．
【解答】解：连接AC，BC．
∵抛物线的解析式为y=x2
2x
3
﹣
﹣，
∴点D 的坐标为（0，﹣3），
∴OD 的长为3．
设y=0，则0=x2
2x
3
﹣
﹣，解得：x=
1
﹣或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）．
∴MC=2，OM=1．
第19页（共27页）
在Rt△COB 中，OC=
= ．
∴CD=CO+OD=3+ ，即这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长3+ ．
故答案为：3+ ．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了坐标轴上
点的坐标特点，圆的概念和性质，勾股定理等知识点，求的点D 的坐标以及OC 的
长是解题的关键．
19．（10 分）（2017•安次区二模）某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场
外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机
会，在如图所示的翻奖牌的正面4 个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该
数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．
（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲
获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画
树状图分析．
【分析】（1）一共有4 种情况，手机有一种，除以总情况数即为所求概率；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）第一位抽奖的同学抽中手机的概率是；
（2）不同意．
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从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12 种，而且这些情况都是等可能的
先抽取的人抽中手机的概率是；
后抽取的人抽中手机的概率是= ．
所以，甲、乙两位同学抽中手机的机会是相等的．
【点评】考查了列表与树状图法求概率的知识，如果一个事件有n 种可能，而且这
些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）= ．注
意本题是不放回实验．
20．（10 分）（2014•南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其
中固定成本每年均为4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成
本为2.6 万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x 的代数式表示第3 年的可变成本为
2.6
（
1 + x ）
2
万元；
（2）如果该养殖户第3 年的养殖成本为7.146 万元，求可变成本平均每年增长的
百分率x．
【分析】（1）根据增长率问题由第1 年的可变成本为2.6 万元就可以表示出第二
年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：（1）由题意，得
第3 年的可变成本为：2.6（1+x）2，
故答案为：2.6（1+x）2；
（2）由题意，得
4+2.6（1+x）2=7.146，
解得：x1=0.1，x2=
2.1
﹣
（不合题意，舍去）．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
【点评】本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运
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用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是
关键．
21．（12 分）（2017•繁昌县模拟）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为
三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB 的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD 的长为1，求AB 的长．
【分析】（1）只要证明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解决问题．
（2）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．
（3）由△DCA∽△DAB，推出= = = ，又CD=1，推出AD= ，DB=2．根据BC=
，求
出BC，再在Rt△ABC 中，求出AB 即可解决问题．
【解答】（1）解：∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°
135°
135°=90°
﹣
﹣
．
（2）证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB
（3）解：∵△DCA∽△DAB，
∴= = = ，
又∵CD=1，
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∴AD= ，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC=
=
= ，
在Rt△ABC 中，∵AC=BC= ，
∴AB=
= ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现
∠CDB=90°，属于中考常考题型．
22．（12 分）（2017•繁昌县模拟）2016 年里约奥运会，中国跳水队赢得8 个项目中
的7 块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练
时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB
长为2 米，跳板距水面CD 的高BC 为3 米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离
1 米时达到距水面最大高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4 时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4 时，求运动员落水点与点C 的距离；
（3）图中CE= 米，CF= 米，若跳水运动员在区域EF 内（含点E，F）入水时才能达到
训练要求，求k 的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x
3
﹣）2+4，将
点A（2，3）代入可得；
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（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x 即可；
（3）若跳水运动员在区域EF 内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x﹣
3）2+k 中当x= 米，y＞0，当x= 米时y＜0，解不等式即可得．
【解答】解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）
设抛物线解析为：y=a（x
3
﹣）2+4，
则3=a（2
3
﹣）2+4，
解得：a=
1
﹣，
故抛物线解析式为：y=﹣（x
3
﹣）2+4；
（2）由题意可得：当y=0，则0=﹣（x
3
﹣）2+4，
解得：x1=1，x2=5，
故抛物线与x 轴交点为：（5，0），
当k=4 时，求运动员落水点与点C 的距离为5 米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y=a（x
3
﹣）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3
k
﹣
若跳水运动员在区域EF 内（含点E，F）入水，
则当x= 时，y= a+k≥0，即（3
k
﹣）+k≥0，
解得：k≤，
当x= 时，y= a+k≤0，即（3
k
﹣）+k≤0，
解得：k≥，
故≤k≤．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解
析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
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23．（14 分）（2017•繁昌县模拟）[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D 在经过
A，B，C 三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D 在AB 的同侧），那么点D
还在经过A，B，C 三点的⊙O 上吗？
我们知道，如果点D 不在经过A，B，C 三点的圆上，那么点D 要么在⊙O 外，要么
在⊙O 内，以下该同学的想法说明了点D 不在⊙O 外．请结合图④证明点D 也不
在⊙O 内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D 在AB 的同侧），那么点D 在
经过A，B，C 三点的圆上，即：A、B、C、D 四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC 中，∠C=90°，将△ACB 绕点A 顺时针旋转α 度（α 为锐角）得
△ADE，连接BE、CD，延长CD 交BE 于点F；
（1）用含α 的代数式表示∠ACD 的度数；
（2）求证：点B、C、A、F 四点共圆；
（3）求证：点F 为BE 的中点．
【分析】【思考】【证】如图1，假设点D 在⊙O 内，延长AD 交⊙O 于点E，连接BE，
则∠AEB=∠ACB，根据外角的性质得到∠ADB＞∠AEB，于是得到∠ADB＞∠ACB，
于是得到结论；
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【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，根据等腰三角形的性质即可得到
∠ACD=90°﹣；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABE=90°﹣α，同时代的∠ACD=∠ABE，即可得
到结论；
（3）由B、C、A、F 四点共圆，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根据等腰三角
形的性质即可得到结论．
【解答】【思考】【证】如图1，假设点D 在⊙O 内，延长AD 交⊙O 于点E，连接BE，
则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB 是△BDE 的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB 这与条件∠ACB=∠ADB 矛盾，
∴点D 也不在⊙O 内，
∴点D 即不在⊙O 内，也不在⊙O 外，点D 在⊙O 上；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°﹣；
（2）∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F 四点共圆；
（3）∵B、C、A、F 四点共圆，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即点F 为BE 的中点．
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【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、圆周角定理以及反证法的应用，掌握反
证法的一般步骤、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
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