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14.1.2 幂的乘方 一、单选题 1．下列命题中，真命题有（ ） ①如果a＝b，b＝c，那么a＝c； ②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ③如果a•b＝0，那么a＝b＝0； ④如果a＝b，那么a3＝b3 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据等式的传递性、点到直线的距离的概念、有理数的乘法法则、幂的乘方运算法则进行判断即 可． 【详解】①如果a＝b，b＝c，那么a＝c，说法正确，是真命题； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，说法错误，是假命题； ③如果a•b＝0，那么a=0 或b=0 或a＝b＝0，说法错误，是假命题； ④如果a＝b，那么a3＝b3，说法正确，是真命题， 真命题的有2 个， 故选：B． 【点评】本题考查命题的真假判断，涉及点到直线的距离的概念、有理数的乘法、幂的乘方运算等知识， 判断命题的真假的关键是熟悉相关知识的概念及性质． 2．已知 ，则 的值为（ ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，可得要求形式，根据同底数幂的除法，可得答案． 【详解】∵ ， ＝ ＝ ， ∴原式＝ ＝ ； 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握公式，灵活逆向使用公式是解题的关键． 3．已知： ， ，则 用 ， 可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可； 【详解】 ， ∵ ， ， ∴原式 ； 故答案选D． 【点评】本题主要考查了幂的运算，准确计算是解题的关键． 4．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照合并同类项，幂的运算法则计算判断即可. 【详解】∵2x 与3y 不是同类项， ∴无法计算， ∴选项A 错误； ∵ ， ∴选项B 错误； ∵ ， ∴选项C 正确； ∵ ， ∴选项D 错误； 故选C. 【点评】本题考查了幂的基本运算，准确掌握幂的运算法则，并规范求解是解题的关键. 5．下列式子中，计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别运用合并同类项法则，同底数幂乘法法则以及幂的乘方法则计算出各选项的结果再进行判断 即可． 【详解】A、 ，故此选项不符合题意； B、 ，故此选项不符合题意； C、 ，故此选项不符合题意； D、 计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答此题的关 键． 6．若 为正整数，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ = = = = ， 故选A． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂 的乘方法则是解题的关键． 7．下列运算中，正确的个数是（ ） ① ；② ；③ ；④ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【分析】①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算； ③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算. 【详解】∵ 与 不是同类项，无法合并，∴①是错误的； ∵ ，∴②是正确的； ∵ ，∴③是错误的； ∵ ，∴④是错误的； 综上所述，只有一个正确， 故选：A. 【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其 运算法则是解题的关键. 8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 ， ， ，比较 的大小即可． 【详解】∵ ， ， ， ， ∴ ，即 ， 故选B． 【点评】本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则． 二、填空题 9．若 ，则 _______________________． 【答案】36 【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】∵ ， ∴ =2²×3²=36， 故答案为36． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 10．已知 ， ，则 _______． 【答案】 ． 【分析】将 变形 ，整体代入即可求解． 【详解】∵ = ∴ ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考察了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方 的逆运算． 11．如果a3m+n=27，am=3，则an=_____． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，即可求解． 【详解】∵a3m+n=27， ∴a3m∙an =27， ∴(am)3∙an=27， ∵am=3， ∴33∙ an=27， ∴an=1． 故答案是：1． 【点评】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握上述运算法则的逆运用，是解题的关键． 12．若2x 1 ﹣＝16，则x＝_____． 【答案】5 【分析】将原式变形，直接利用幂的乘方逆运算计算得出答案． 【详解】∵2x 1 ﹣＝16， ∴2x 1 ﹣＝24， 则x 1 ﹣＝4， 解得：x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了幂的乘方法则，能利用幂的乘方逆运算是解答此题的关键． 三、解答题 13．已知am＝3，an＝6，求a3m 2 ﹣n的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方及积的乘方运算法则，将底数变为（am） 3、（an） 2的形式,然后代入运算即可． 【详解】a3m 2 ﹣n ＝（am） 3÷（an） 2， ∵am＝3，an＝6， ∴原式＝33÷62 ＝27÷36 ＝ ． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方及积的乘方运算法则． 14．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】(1)按照负整数指数幂，零指数幂的计算意义计算即可； (2)按照幂的对应公式计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，同底数幂，幂的乘方，积的乘方，熟记公式并灵活计算是 解题的关键. 15．已知 ，求 的值 【答案】108 【分析】首先根据已知条件可得a2x、a3y的值，然后利用同底数幂的乘法运算法则求出代数式的值． 【详解】 ， ． 【点评】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，利用性质转化为已知条件的形式是解题的关键． 16．（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值． （2）已知：3m+2n 6 ﹣＝0，求8m•4n的值． 【答案】（1）432；（2）64 【分析】（1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则将原式变形进行求解； （2）利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进行求解． 【详解】（1）∵10x＝3，10y＝2， ∴代数式103x+4y＝（10x） 3×（10y） 4 ＝33×24 ＝432； （2）∵3m+2n 6 ﹣＝0， ∴3m+2n＝6， ∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64． 【点晴】 考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，解题关键是熟记运算法则． 17．已知某一实数的平方根是 和 ，求 的值. 【答案】37 【分析】利用一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数及平方根和绝对值的非负性确定a,b 的 值，从而代入求值. 【详解】 和 是同一实数的平方根（互为相反数）， 又∵ ， ， 解得 ， ， . 【点评】此题考查平方根的意义及整数指数幂的计算，掌握一个正数有两个平方根且它们互为相反数是解 题关键. 18．已知a6＝2b＝84，且a＜0，求|a b| ﹣ 的值． 【答案】16 【分析】根据幂的乘方运算法则确定a、b 的值，再根据绝对值的定义计算即可． 【详解】∵（±4） 6＝2b＝84＝212，a＜0， ∴a＝﹣4，b＝12， ∴|a b| ﹣ ＝| 4 12| ﹣﹣ ＝16． 【点评】本题考查幂的乘方，难度不大，也是中考的常考知识点，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关 键． 19．若am=an(a>0 且a≠1,m,n 是正整数)，则m=n. 你能利用上面的结论解决下面的2 个问题吗?试试看，相信你一定行! ①如果2×8x×16x=222，求x 的值； ②如果(27−x)2=38，求x 的值． 【答案】（1）3；（2）− . 【分析】首先分析题意，分析结论的使用条件即只须有am=an（a>0 且a≠1，m，n 是正整数），可知m=n， 即指数相等，然后在解题中应用即可． 【详解】(1)∵2×8x×16x=21+3x+4x=222， ∴1+3x+4x=22， 解得，x=3； 故答案为3. (2)∵(27−x)2=3−6x=38， ∴−6x=8， 解得x=− ； 故答案为− . 【点评】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 20．小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法， 这个方程在实数 范围内无解，如果存在一个数i 使得 ，那么方程 可以变成 ，则 ，从而 是方程x2＝－1 的两个解，小明还发现i 具有以下性质： ， ， ， ，……． 请你观察上述等式，根据你发现的规律填空： （1） ______， ______， ______， _______．（n 为自然数） （2）计算： ． 【答案】（1）1、i、-1、-i；（2） ． 【分析】（1）根据已知的等式即可计算得到答案； （2）先同时计算开平方，立方运算，开立方及化简绝对值，再计算乘法同时将 代入计算，最后合 并同类项即可. 【详解】（1）∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， 故答案为：1、i、-1、-i； （2） = = . 【点评】此题考查幂的乘方的逆运算的计算方法，实数的混合运算，正确理解已知的等式的计算法则，将 所求代数式按照幂的乘方逆运算进行计算是解题的关键.
