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14.3 因式分解 专题过关
1．将下列各式分解因式
（1）3p2
6pq
﹣
（2）2x2+8x+8
2．将下列各式分解因式
（1）x3y
xy
﹣
（2）3a3
6a
﹣
2b+3ab2．
3．分解因式
（1）a2（x
y
﹣）+16（y
x
﹣） （2）（x2+y2）2
4x
﹣
2y2
4．分解因式：
（1）2x2
x
﹣ （2）16x2
1
﹣ （3）6xy2
9x
﹣
2y
y
﹣
3 （4）4+12（x
y
﹣）+9（x
y
﹣）2
5．因式分解：
（1）2am2
8a
﹣
（2）4x3+4x2y+xy2
6．将下列各式分解因式：
（1）3x
12x
﹣
3 （2）（x2+y2）2
4x
﹣
2y2
7．因式分解：（1）x2y
2xy
﹣
2+y3 （2）（x+2y）2
y
﹣
2
8．对下列代数式分解因式：
（1）n2（m
2
﹣）﹣n（2
m
﹣） （2）（x
1
﹣）（x
3
﹣）+1
9．分解因式：a2
4a+4
b
﹣
﹣
2
10．分解因式：a2
b
﹣
2
2a+1
﹣
11．把下列各式分解因式：
（1）x4
7x
﹣
2+1 （2）x4+x2+2ax+1
a
﹣2
（3）（1+y）2
2x
﹣
2（1
y
﹣
2）+x4（1
y
﹣）2 （4）x4+2x3+3x2+2x+1
12．把下列各式分解因式：
（1）4x3
31x+15
﹣
； （2）2a2b2+2a2c2+2b2c2
a
﹣4
b
﹣
4
c
﹣4； （3）x5+x+1；
（4）x3+5x2+3x
9
﹣； （5）2a4
a
﹣3
6a
﹣
2
a+2
﹣
．
因式分解 专题过关
1．将下列各式分解因式
（1）3p2
6pq
﹣
； （2）2x2+8x+8
分析：（1）提取公因式3p 整理即可；
（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答：解：（1）3p2
6pq=3p
﹣
（p
2q
﹣
），
（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2．
2．将下列各式分解因式
（1）x3y
xy
﹣
（2）3a3
6a
﹣
2b+3ab2．
分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
解答：解：（1）原式=xy（x2
1
﹣）=xy（x+1）（x
1
﹣）；
（2）原式=3a（a2
2ab+b
﹣
2）=3a（a
b
﹣）2．
3．分解因式
（1）a2（x
y
﹣）+16（y
x
﹣）； （2）（x2+y2）2
4x
﹣
2y2．
分析：（1）先提取公因式（x
y
﹣），再利用平方差公式继续分解；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．
解答：解：（1）a2（x
y
﹣）+16（y
x
﹣），=（x
y
﹣）（a2
16
﹣
），=（x
y
﹣）（a+4）（a
4
﹣）；
（2）（x2+y2）2
4x
﹣
2y2，=（x2+2xy+y2）（x2
2xy+y
﹣
2），=（x+y）2（x
y
﹣）2．
4．分解因式：
（1）2x2
x
﹣； （2）16x2
1
﹣； （3）6xy2
9x
﹣
2y
y
﹣
3； （4）4+12（x
y
﹣）+9（x
y
﹣）2．
分析：（1）直接提取公因式x 即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（4）把（x
y
﹣）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．
解答：解：（1）2x2
x=x
﹣
（2x
1
﹣）；
（2）16x2
1=
﹣
（4x+1）（4x
1
﹣）；
（3）6xy2
9x
﹣
2y
y
﹣
3，=
y
﹣（9x2
6xy+y
﹣
2），=
y
﹣（3x
y
﹣）2；
（4）4+12（x
y
﹣）+9（x
y
﹣）2，=[2+3（x
y
﹣）]2，=（3x
3y+2
﹣
）2．
5．因式分解：
（1）2am2
8a
﹣
； （2）4x3+4x2y+xy2
分析：（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答：解：（1）2am2
8a=2a
﹣
（m2
4
﹣）=2a（m+2）（m
2
﹣）；
（2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2），=x（2x+y）2．
6．将下列各式分解因式：
（1）3x
12x
﹣
3 （2）（x2+y2）2
4x
﹣
2y2．
分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．
解答：解：（1）3x
12x
﹣
3=3x（1
4x
﹣
2）=3x（1+2x）（1
2x
﹣
）；
（2）（x2+y2）2
4x
﹣
2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2
2xy
﹣
）=（x+y）2（x
y
﹣）2．
7．因式分解：
（1）x2y
2xy
﹣
2+y3； （2）（x+2y）2
y
﹣
2．
分析：（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；
（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．
解答：解：（1）x2y
2xy
﹣
2+y3=y（x2
2xy+y
﹣
2）=y（x
y
﹣）2；
（2）（x+2y）2
y
﹣
2=（x+2y+y）（x+2y
y
﹣）=（x+3y）（x+y）．
8．对下列代数式分解因式：
（1）n2（m
2
﹣）﹣n（2
m
﹣）； （2）（x
1
﹣）（x
3
﹣）+1．
分析：（1）提取公因式n（m
2
﹣）即可；
（2）根据多项式的乘法把（x
1
﹣）（x
3
﹣）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．
解答：解：（1）n2（m
2
﹣）﹣n（2
m
﹣）=n2（m
2
﹣）+n（m
2
﹣）=n（m
2
﹣）（n+1）；
（2）（x
1
﹣）（x
3
﹣）+1=x2
4x+4=
﹣
（x
2
﹣）2．
9．分解因式：a2
4a+4
b
﹣
﹣
2．
分析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a 的二次项a2，a 的
一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公
式进行分解．
解答：解：a2
4a+4
b
﹣
﹣
2=（a2
4a+4
﹣
）﹣b2=（a
2
﹣）2
b
﹣
2=（a
2+b
﹣
）（a
2
b
﹣﹣）．
10．分解因式：a2
b
﹣
2
2a+1
﹣
分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a 的二次项，a
的一次项，有常数项．所以要考虑a2
2a+1
﹣
为一组．
解答：解：a2
b
﹣
2
2a+1=
﹣
（a2
2a+1
﹣
）﹣b2=（a
1
﹣）2
b
﹣
2=（a
1+b
﹣
）（a
1
b
﹣﹣）．
11．把下列各式分解因式：
（1）x4
7x
﹣
2+1； （2）x4+x2+2ax+1
a
﹣2
（3）（1+y）2
2x
﹣
2（1
y
﹣
2）+x4（1
y
﹣）2 （4）x4+2x3+3x2+2x+1
分析：（1）首先把﹣7x2变为+2x2
9x
﹣
2，然后多项式变为x4
2x
﹣
2+1
9x
﹣
2，接着利用完全平方
公式和平方差公式分解因式即可求解；
（2）首先把多项式变为x4+2x2+1
x
﹣
2+2ax
a
﹣2，然后利用公式法分解因式即可解；
（3）首先把﹣2x2（1
y
﹣
2）变为﹣2x2（1
y
﹣）（1
y
﹣），然后利用完全平方公式分解因式
即可求解；
（4）首先把多项式变为x4+x 3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着
提取公因式即可求解．
解答：解：（1）x 4
7x
﹣
2+1=x4+2x2+1
9x
﹣
2=（x2+1）2﹣（3x）2=（x2+3x+1）（x2
3x+1
﹣
）；（2）
x4+x2+2ax+1
a=x
﹣
4+2x2+1
x
﹣
2+2ax
a
﹣2=（x2+1）﹣（x
a
﹣）2=（x2+1+x
a
﹣）（x2+1﹣
x+a）；
（3）（1+y）2
2x
﹣
2（1
y
﹣
2）+x4（1
y
﹣）2=（1+y）2
2x
﹣
2（1
y
﹣）（1+y）+x4（1
y
﹣）2=
（1+y）2
2x
﹣
2（1
y
﹣）（1+y）+[x2（1
y
﹣）]2=[（1+y）﹣x2（1
y
﹣）]2=（1+y﹣
x2+x2y）2
（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x
（x 2+x+1）+x2+x+1=（x2+x+1）2．
12．把下列各式分解因式：
（1）4x3
31x+15
﹣
； （2）2a2b2+2a2c2+2b2c2
a
﹣4
b
﹣
4
c
﹣4；
（3）x5+x+1； （4）x3+5x2+3x
9
﹣；
（5）2a4
a
﹣3
6a
﹣
2
a+2
﹣
．
分析：（1）需把﹣31x 拆项为﹣x
30x
﹣
，再分组分解；
（2）把2a2b2拆项成4a2b2
2a
﹣
2b2，再按公式法因式分解；
（3）把x5+x+1 添项为x5
x
﹣
2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；
（4）把x3+5x2+3x
9
﹣拆项成（x3
x
﹣
2）+（6x2
6x
﹣
）+（9x
9
﹣），再提取公因式因式分解；
（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．
解答：解：（1）4x3
31x+15=4x
﹣
3
x
30x+15=x
﹣﹣
（2x+1）
（2x
1
﹣）﹣15（2x
1
﹣）=（2x
1
﹣）
（2x2+1
15
﹣
）=（2x
1
﹣）（2x
5
﹣）（x+3）；
（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2
a
﹣4
b
﹣
4
c
﹣4=4a2b2﹣（a4+b4+c4+2a2b2
2a
﹣
2c2
2b
﹣
2c2）=（2ab）2
﹣（a2+b2
c
﹣2）2=（2ab+a2+b2
c
﹣2）（2ab
a
﹣2
b
﹣
2+c2）=（a+b+c）（a+b
c
﹣）（c+a
b
﹣）（c
a+b
﹣
）；
（3）x5+x+1=x5
x
﹣
2+x2+x+1=x2（x3
1
﹣）+（x2+x+1）=x2（x
1
﹣）
（x2+x+1）+（x2+x+1）=
（x2+x+1）（x3
x
﹣
2+1）；
（4）x3+5x2+3x
9=
﹣（x3
x
﹣
2）+（6x2
6x
﹣
）+（9x
9
﹣）=x2（x
1
﹣）+6x（x
1
﹣）+9（x
1
﹣）
=（x
1
﹣）（x+3）2；
（5）2a4
a
﹣3
6a
﹣
2
a+2=a
﹣
3（2a
1
﹣）﹣（2a
1
﹣）（3a+2）=（2a
1
﹣）（a3
3a
2
﹣
﹣）=（2a
1
﹣）（a3+a2
a
﹣2
a
2a
2
﹣﹣
﹣）=（2a
1
﹣）[a2（a+1）﹣a（a+1）﹣2（a+1）]=（2a﹣
1）（a+1）（a2
a
2
﹣﹣）=（a+1）2（a
2
﹣）（2a
1
﹣）．
