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2017 年安徽省阜阳市太和县中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”
一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利50 元记作+50 元，那么亏本
30 元记作：（ ）
A．﹣30 元B．﹣50 元C．+50 元
D．+30 元
2．（4 分）下列运算正确的是：（ ）
A．（a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2 B．a10÷a2=a5C．（2a2b3）3=8a6b9 D．2a2•3a3=6a6
3．（4 分）安徽省，政府工作报告》指出，2017 年全年将实施亿元以上技改项目
1000 项，完成投资6600 亿元，把6600 亿用科学记数法可表示为（ ）
A．6.6×103 B．66×1010 C．6.600×1011 D．0.66×1012
4．（4 分）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）下列二次根式中，与之积为有理数的是（ ）
A．B．C．D．﹣
6．（4 分）若|x+y
5
﹣|与（x
y
1
﹣﹣）2互为相反数，则x2
y
﹣2的值为（ ）
A．﹣5 B．5C．13
D．15
7．（4 分）如表是某毕业班理化实验测试的分数分布，对于不同的x，下列关于分
数的统计量不会发生改变的是（ ）
分数/分
7
8
9
10
频数
2
9
x
﹣
x+14
24
A．众数、方差B．中位数、方差
C．众数、中位数D．平均数、中位数
8．（4 分）AD 是△ABC 的高，AC=2 ，AD=4，把△ADC 沿着直线AD 对折，点C 落在
第1页（共30页）
点E 的位置，如果△ABE 是等腰三角形，那么线段BE 的长度为（ ）
A．2
B．2 或5
C．2
D．5
9．
（4 分）甲、乙两车从A 地出发沿同一路线驶向B 地，甲车匀速驶向B 地，甲车出
发30 分钟后，乙车才出发，乙先匀速行驶一段时间后，到达货站装货后继续行驶
速度减少了56 千米/时，结果与甲车同时到达B 地，甲乙两车距A 地的路程y（千
米）与乙车行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，下列说法中正确的是
（ ）
A．甲车从A 地到B 地行驶了6 小时
B．甲的速度是120 千米/时
C．乙出发90 分钟追上甲
D．当两车在行驶过程中，相距40 千米时，x=2 或3.5
10．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，P 是BC 上一点，E 是AB 上一点，PD 平分∠APC，
PE⊥PD，连接DE 交AP 于F，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当P 为BC 中点，△APD 是等边三角形
B．当△ADE∽△BPE 时，P 为BC 中点
C．当AE=2BE 时，AP⊥DE
D．当△APD 是等边三角形时，BE+CD=DE
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）计算：4cos60°﹣+（3
π
﹣）0= ．
第2页（共30页）
12．（5 分）随着各地对房地产市场调控的深入，近来某市房价持续回落，某楼盘
原价为每平方米12000 元，第一次降价后，销售业绩没有预期回升，于是再次降
价，比第一次多降了10%，两次降价后售价为每平方米8640 元，设第一次降价百
分率为x，则可列方程为： ．
13．（5 分）分式方程
﹣1= 的解是x= ．
14．
（5 分）如图，D 为△ABC 中边BC 中点，E 为CD 上一点，将△ACE 沿AE 折叠时C
与D 重合，F 为AB 上一点，FB=FC，FC 与AD、AE 分别交于P、Q 点，下列结论
①AE∥DF；②△APQ≌△DPF；
③AF=DF；④
．
其中正确的有 ．
三、解答题
15．（8 分）求不等式组
的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．
16．（8 分）从2 开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n
S
1
2=1×2
2
2+4=6=2×3
3
2+4+6=15=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
5
2+4+6+8+10=30=5×6
（1）根据表中的规律猜想：用n 的式子表示S 的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=
；
（2）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律：
第3页（共30页）
①第n 行的第一个数可用含n 的式子表示为： ；
②如果某行的第一个数为157，求其所在的行数．
四、解答题
17．（8 分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 在平面直角坐
标系中的位置如图．
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2；
（3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，请在图中作出它们的对称
轴．
18．（8 分）如图，四边形ABCD 是某新建厂区示意图，∠A=75°，∠B=45°，BC⊥CD，
AB=500 米，AD=200 米，现在要在厂区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？
19．（10 分）某校组织学生参观航天展览，甲、乙、丙、丁四位同学随机分成两组乘
第4页（共30页）
车．
（1）哪两位同学会被分到第一组，写出所有可能；
（2）用列表法（或树状图法）求甲、乙分在同一组的概率．
20．（10 分）如图，A、B、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD=OD，若
OB⊥AC 于E 点．
（1）判断A 是否是PB 的中点，并说明理由；
（2）若⊙O 半径为8，试求BC 的长．
21．（12 分）如图，矩形OABC 的顶点A、C 分别在x、y 轴的正半轴上，点D 为对角
线OB 的中点，点E（4，m）在边AB 上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象
经过点D、E，且cos∠BOA= ．
（1）求边AB 的长；
（2）求反比例函数的解析式和m 的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F，点G、H 分别是y 轴、x 轴上的
点，当△OGH≌△FGH 时，求线段OG 的长．
22．（12 分）某公司生产的某种产品每件成本为40 元，经市场调查整理出如下信
息：
①该产品90 天内日销售量（m 件）与时间（第x 天）满足一次函数关系，部分数据
如下表：
时间（第x 天）
1
3
6
10
…
第5页（共30页）
日销售量（m
件）
198
194
188
180
…
②该产品90 天内每天的销售价格与时间（第x 天）的关系如下表：
时间（第x 天）
1≤x＜50
50≤x≤90
销售价格（元/件）
x+60
100
（1）求m 关于x 的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y 元，请写出y 关于x 的函数表达式，并求出在90
天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日
销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400 元，请直接写出结
果．
23．（14 分）已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF∥AC 交BC 于F，AE∥BC，
∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．
（1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE 是等边三角形；
（2）如图2，当α=45°时，求证：①= ；②CE⊥DE．
（3）如图3，当α 为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系是：=
．
第6页（共30页）
2017 年安徽省阜阳市太和县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）（2017•太和县一模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九
章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利50 元记
作+50 元，那么亏本30 元记作：（ ）
A．﹣30 元B．﹣50 元C．+50 元
D．+30 元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：如果盈利50 元记作+50 元，那么亏本30 元记作﹣30 元，
故选A．
【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．
2．（4 分）（2017•太和县一模）下列运算正确的是：（ ）
A．（a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2 B．a10÷a2=a5C．（2a2b3）3=8a6b9 D．2a2•3a3=6a6
【分析】A、利用完全平方公式进行计算；
B、根据同底数幂的除法法则进行计算；
C、根据积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算；
D、利用单项式乘以单项式的法则进行计算．
【解答】解：A、（a
b
﹣）2=a2
2ab
﹣
+b2，所以此选项不正确；
B、a10÷a2=a8，所以此选项不正确；
C、（2a2b3）3=8a6b9，所以此选项正确；
D、2a2•3a3=6a5，所以此选项不正确；
故选C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘以单项
式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（4 分）（2017•太和县一模）安徽省，政府工作报告》指出，2017 年全年将实施
第7页（共30页）
亿元以上技改项目1000 项，完成投资6600 亿元，把6600 亿用科学记数法可表示
为（ ）
A．6.6×103 B．66×1010 C．6.600×1011 D．0.66×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：数据6600 亿用科学记数法可表示：6.600×1011，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（4 分）（2017•太和县一模）三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的俯视
图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是五个矩形，右边的矩形的边是虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．（4 分）（2017•太和县一模）下列二次根式中，与之积为有理数的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】将各式与相乘，判断即可．
【解答】解：A、=3 ，3 × =6，符合题意；
B、原式= ，× = ，不符合题意；
C、原式=2 ，2 × =2 ，不符合题意；
D、原式=
3
﹣
，﹣3 × =
3
﹣
，不符合题意，
第8页（共30页）
故选A
【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差
公式是解答问题的关键．
6．（4 分）（2017•太和县一模）若|x+y
5
﹣|与（x
y
1
﹣﹣）2互为相反数，则x2
y
﹣2的
值为（ ）
A．﹣5 B．5C．13
D．15
【分析】根据相反数性质列出关系式，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，即可
确定出原式的值．
【解答】解：由题意得：|x+y
5
﹣|+（x
y
1
﹣﹣）2=0，
∴
，
则原式=（x+y）（x
y
﹣）=5，
故选B
【点评】此题考查了解二元一次方程组，相反数，以及非负数的性质，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
7．（4 分）（2017•太和县一模）如表是某毕业班理化实验测试的分数分布，对于不
同的x，下列关于分数的统计量不会发生改变的是（ ）
分数/分
7
8
9
10
频数
2
9
x
﹣
x+14
24
A．众数、方差B．中位数、方差
C．众数、中位数D．平均数、中位数
【分析】由频数分布表可知8 分、9 分两组的频数和为23，即可得知总人数，结合7
分、10 分两组的频数知出现次数最多的数据及数据的中位数，可得答案．
【解答】解：分数为8 分和9 分的人数之和为9
x
﹣+x+14=23，
则抽取的总人数为2+23+24=49 人，
由统计表可知10 分的人数最多，有24 人，故众数为10；
其中位数为第25 个数据，即中位数为9 分，
∴对于不同的x，众数和中位数不会发生改变，
故选：C．
第9页（共30页）
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数
是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8．（4 分）（2017•太和县一模）AD 是△ABC 的高，AC=2 ，AD=4，把△ADC 沿着直线
AD 对折，点C 落在点E 的位置，如果△ABE 是等腰三角形，那么线段BE 的长度为
（ ）
A．2
B．2 或5
C．2
D．5
【分析】分两种情形：①当高AD 在△ABC 内时．②当高AD 在△ACB′外时．分别求
解即可．
【解答】解：如图①当高AD 在△ABC 内时，由题意EA=EB=AC=2 ．
②当高AD 在△ACB′外时，设AB′=B′E=x．
在Rt△ADC 中，CD=
=
=2，
由题意DE=DC=2，
在Rt△AED 中，∵AB′2=AD2+DB′2，
∴x2=42+（x
2
﹣）2，
∴x=5．
∴线段BE 的长度为2 或5，
故选B．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题，出现高的问题，注意高在三角形内和三角形外
两种情形，属于中考常考题型．
9．（4 分）（2017•太和县一模）甲、乙两车从A 地出发沿同一路线驶向B 地，甲车
匀速驶向B 地，甲车出发30 分钟后，乙车才出发，乙先匀速行驶一段时间后，到
达货站装货后继续行驶，速度减少了56 千米/时，结果与甲车同时到达B 地，甲乙
两车距A 地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，下
第10页（共30页）
列说法中正确的是（ ）
A．甲车从A 地到B 地行驶了6 小时
B．甲的速度是120 千米/时
C．乙出发90 分钟追上甲
D．当两车在行驶过程中，相距40 千米时，x=2 或3.5
【分析】利用图中信息，先求出两人的速度，再寻找等量关系，列出方程，一一判断
即可．
【解答】解：A、错误．甲车从A 地到B 地行驶了6.5 小时．
B、错误．甲的速度为=80 千米/时．
C、错误．设乙开始的速度为x 千米/时，由题意3x+2.5（x
56
﹣
）=520，解得x=120，
设乙出发t 小时追上甲，则（120
80
﹣
）t=0.5×80，t=1，
所以乙出发t 小时追上甲．
D、正确．由题意甲的函数解析式为y=80x+40，
乙开始的函数解析式为y=120x，装货后的解析式为y=64x+136，
由题意120x﹣（80x+40）=40 或64x+136﹣（80x+40）=40，
解得x=2 或3.5．
故选D．
【点评】本题考查一次函数的应用、行程问题的应用等知识，解题的关键是读懂图
象信息，学会寻找等量关系列出方程解决问题，属于中考常考题型．
10．（4 分）（2017•太和县一模）如图，在矩形ABCD 中，P 是BC 上一点，E 是AB 上
一点，PD 平分∠APC，PE⊥PD，连接DE 交AP 于F，在以下判断中，不正确的是（
）
第11页（共30页）
A．当P 为BC 中点，△APD 是等边三角形
B．当△ADE∽△BPE 时，P 为BC 中点
C．当AE=2BE 时，AP⊥DE
D．当△APD 是等边三角形时，BE+CD=DE
【分析】A、先判断出△APB≌△DPC，进而可以得出∠APD=60°，即可得出结论；
B、虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数
关系和没出现含30°的直角三角形，所以没办法得出点P 是BC 的中点；
C、先求出∠BAP，进而得出∠ADE=∠PDE，即可判断出△ADE≌△PDE，最后用三角
形三线合一的性质即可得出结论；
D、先求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，再用含30°的直角三角形的性质和勾股定理
即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B，
∵点P 是BC 的中点，
∴PB=PC，
在△APB 和△DPC 中，
，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD，∠APB=∠DPC，
∵PD 平分∠APC，
∴∠APD=∠CPD，
∴∠APB=∠APD=∠CPD，
∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°，
∴∠APD=60°，
∵PA=PD，
∴△APD 是等边三角形；
∴A 正确，故A 不符合题意；
第12页（共30页）
C、∵PD⊥PE，
∴∠BPE+∠DPC=90°，∠APE+∠APD=90°，
∵∠APD=∠CPD，
∴∠APE=∠BPE，
∴
，
∵AE=2BE，
∴
，
在Rt△ABP 中，sin∠BAP=
，
∴∠BAP=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP，
∴AE=PE，
∵EA⊥AD，EP⊥PD，
∴∠ADE=∠PDE，
在△ADE 和△PDE 中，
，
∴△ADE≌△PDE，
∴∠AED=∠PED，
∵AE=PE，
∴DE⊥AP，
∴C 正确，故C 不符合题意；
D、∵△APD 是等边三角形，
∴AP=DP，∠APD=60°，
∴∠CPD=60°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30°
∴AE=PE
设BE=a，
在Rt△PBE 中，BP= BE= a，PE=2a，
第13页（共30页）
∴AE=2a，
∴CD=AB=BE+AE=3a，
易证△APB≌△DPC，
∴PB=PC，
∴AD=BC=2BP=2 a，
在Rt△ADE 中，根据勾股定理，得，DE=
=4a，
∵BE+CD=a+3a=4a=DE，
∴D 正确，故D 不符合题意；
∴符合题意的只有B．
故选B．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，
等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本
题的关键：A 、判断出△APB≌△DPC ，C 、求出∠BAP ，D 、求出
∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，是一道综合性比较强的题目．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）（2017•太和县一模）计算：4cos60°﹣+（3
π
﹣）0=
1
．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，立方根定义，以及零指数幂法则计算即可
得到结果．
【解答】解：原式=4×
2
﹣+1=2
2
﹣+1=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
12．（5 分）（2017•太和县一模）随着各地对房地产市场调控的深入，近来某市房
价持续回落，某楼盘原价为每平方米12000 元，第一次降价后，销售业绩没有预
第14页（共30页）
期回升，于是再次降价，比第一次多降了10%，两次降价后售价为每平方米8640
元，设第一次降价百分率为x，则可列方程为：
12000
（ 1
x
﹣
）（
1
x
10%
﹣﹣
）
=8640
．
【分析】设第一次降价百分率为x，得出第一次降价后的价格是12000（1
x
﹣）元，
再根据第二次比第一次多降了10%，两次降价后售价为每平方米8640 元，列出方
程即可．
【解答】解：设第一次降价百分率为x，根据题意得：
12000（1
x
﹣）（1
x
10%
﹣﹣
）=8640；
故答案为：12000（1
x
﹣）（1
x
10%
﹣﹣
）=8640．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是读懂题意，找出之间
的等量关系，列出方程．
13．（5 分）（2017•太和县一模）分式方程
﹣1= 的解是x= ﹣
5
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6
x
﹣2+9=
x
﹣2
3x
﹣
，
解得：x=
5
﹣，
经检验x=
5
﹣是分式方程的解．
故答案为：﹣5
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．（5 分）（2017•太和县一模）如图，D 为△ABC 中边BC 中点，E 为CD 上一点，将
△ACE 沿AE 折叠时C 与D 重合，F 为AB 上一点，FB=FC，FC 与AD、AE 分别交于P、
Q 点，下列结论
①AE∥DF；②△APQ≌△DPF；
③AF=DF；④
．
其中正确的有
①②④
．
第15页（共30页）
【分析】①正确．由DF⊥BC，AE⊥BC，即可推出DF∥AE．
②正确．只要证明DF=AQ 即可解决问题．
③错误．如图2 中，当∠AFQ 设钝角是，AQ＞AF，即DF＞AF，故③错误．
④正确．由△AFP∽△CFA，可得AF2=FP•FC，时PF=PQ=a，则FQ=QC=2a，推出
AF2=4a2，推出AF=2a，PC=3a，由此即可判断．
【解答】解：∵FB=FC，D 为△ABC 中边BC 中点，
∴DF⊥BC，
∵将△ACE 沿AE 折叠时C 与D 重合，
∴AE⊥BC，
∴AE∥DF；故①正确；
∵BD=CD，DE=CE，
∴DE=CE= BD，
∵DF∥AE，
∴= = ，= ，
∴AE= DF，QE= DF，
∴=3，∴QE= AQ，
∴DF=AQ，
在△APQ 与△DPF 中，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
，
∴△APQ≌△DPF，故②正确；
如图2 中，当∠AFQ 设钝角是，AQ＞AF，即DF＞AF，故③错误．
连接DQ，易证四边形AFDQ 是平行四边形，
∴AF∥DQ，
∴∠FAP=∠ADQ，
∵∠ADC=∠ACD，∠QDC=∠QCE，
∴∠ADQ=∠ACF=∠FAP，
第16页（共30页）
∵∠AFP=∠CFA，
∴△AFP∽△CFA，可得AF2=FP•FC，时PF=PQ=a，则FQ=QC=2a，
∴AF2=4a2，
∴AF=2a，PC=3a，
∴
，故④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质
定理、平行四边形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，本题的突破
点设证明DF=AQ，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
15．（8 分）（2017•太和县一模）求不等式组
的解集，并把它们的解集在数轴
上表示出来．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
第17页（共30页）
【解答】解：解①得x＜4，
解②得x≥﹣2．
则不等式组的解集是：﹣2≤x＜4．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求
出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示
不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴
求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到．
16．（8 分）（2017•太和县一模）从2 开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n
S
1
2=1×2
2
2+4=6=2×3
3
2+4+6=15=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
5
2+4+6+8+10=30=5×6
（1）根据表中的规律猜想：用n 的式子表示S 的公式为：S=2+4+6+8+…+2n=
n
（
n + 1 ）
；
（2）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律：
①第n 行的第一个数可用含n 的式子表示为：
n 2
n
﹣
+ 1
；
②如果某行的第一个数为157，求其所在的行数．
【分析】（1）根据和等于加数的个数乘以首尾两个加数和的一半列式计算即可得
解；
（2）①根据第n 行的第n 个数字的变换规律进行判断即可；
第18页（共30页）
②依据①中的规律，列出方程式进行求解即可．
【解答】解：（1）2+4+6+8+…+2n=n• =n（n+1）．
故答案为：n（n+1）．
（2）①∵第一行的第一个数字1=12
0
﹣，
第二行的第一个数字3=22
1
﹣，
第三行的第一个数字7=32
2
﹣，
第四行的第一个数字13=42
3
﹣，
以此类推，第n 行的第一个数字为n2﹣（n
1
﹣）=n2
n
﹣+1，
故答案为：n2
n
﹣+1；
②当n2
n
﹣+1=157 时，解得n=13 或﹣12（舍去），
∴其所在的行数为13．
【点评】本题是对数字变化规律以及解一元二次方程的考查，观察出相乘的两个
因数与偶数的关系是解题的关键．探寻数列规律时：认真观察、仔细思考，善用联
想是解决这类问题的方法．
四、解答题
17．（8 分）（2017•太和县一模）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，
△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2；
（3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，请在图中作出它们的对称
轴．
第19页（共30页）
【分析】（1）根据关于y 轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可
得出三顶点的对应点，顺次连接得到答案．
（2）先画出三角形各顶点绕着点O 逆时针旋转90°后的位置，再用线段依次连接
各顶点，得到旋转后的三角形；
（3）根据轴对称的定义可得对称轴．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作三角形；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作三角形；
（3）如图，直线l 即为△A1B1C1和△A2B2C2的对称轴．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换和旋转变换，关键是正确确定组成
图形的关键点的对称点的位置．
18．（8 分）（2017•太和县一模）如图，四边形ABCD 是某新建厂区示意图，
∠A=75°，∠B=45°，BC⊥CD，AB=500 米，AD=200 米，现在要在厂区四周建围墙，求
第20页（共30页）
围墙的长度有多少米？
【分析】过点A 作AE⊥BC 于点E，过点D 作DF⊥AE 于点F，根据∠B=45°可得出
△ABE 是等腰直角三角形，故可得出AE=BE，∠BAE=∠B=45°．再由∠A=75°可得出
∠DAF 的度数，进而可得出AF 及DF 的长，根据BC⊥CD 可得出四边形CDFE 是矩
形，故可得出CD=EF，CE=DF，据此可得出结论．
【解答】解：如图，过点A 作AE⊥BC 于点E，过点D 作DF⊥AE 于点F，
∵∠B=45°，
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE=BE，∠BAE=∠B=45°．
∵AB=500 米，
∴AE=BE=500 × =500 米．
∵∠A=75°，
∴∠DAF=75°
45°=30°
﹣
．
∵AD=200 米，
∴DF= AD=100 米，AF=200× =100 米．
∵BC⊥CD，
∴四边形CDFE 是矩形，
∴CD=EF=AE
AF=
﹣
（500
100
﹣
）米，CE=DF=100 米，
∴AB+BC+AD+CD=500 +（500+100）+200+（500
100
﹣
）=（1300+500
100
﹣
）米．
答：围墙的长度是（1300+500
100
﹣
）米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
第21页（共30页）
是解答此题的关键．
19．（10 分）（2017•太和县一模）某校组织学生参观航天展览，甲、乙、丙、丁四位
同学随机分成两组乘车．
（1）哪两位同学会被分到第一组，写出所有可能；
（2）用列表法（或树状图法）求甲、乙分在同一组的概率．
【分析】（1）根据题意写出可能出现的结果即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与甲、乙分在
同一组的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）所有可能的结果是：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁；
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12 种等可能的结果，甲、乙分在同一组的有2 种情况，
∴甲、乙分在同一组的概率为．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意概率=所求情况数与总情况数
之比．
20．
（10 分）
（2017•太和县一模）如图，A、B、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于
D 点，PD=OD，若OB⊥AC 于E 点．
（1）判断A 是否是PB 的中点，并说明理由；
（2）若⊙O 半径为8，试求BC 的长．
【分析】（1）连接AD，由CD 是⊙O 的直径，得到AD⊥AC，推出AD∥OB，根据平行
线等分线段定理得到PA=AB；
第22页（共30页）
（2）根据相似三角形的性质得到OB=8，求得AD=4，根据勾股定理得到AC=
=4
，根据垂径定理得到AE=CE=2 ，由勾股定理即可得到结论
【解答】解：（1）A 是PB 的中点，
理由：连接AD，
∵CD 是⊙O 的直径，
∴AD⊥AC，
∵OB⊥AC，
∴AD∥OB，
∵PD=OD，
∴PA=AB，
∴A 是PB 的中点；
（2）∵AD∥OB，
∴△APD∽△BPO，
∴
，
∵⊙O 半径为8，
∴OB=8，
∴AD=4，
∴AC=
=4 ，
∵OB⊥AC，
∴AE=CE=2 ，
∵OE= AD=2，
∴BE=6，
∴BC=
=4 ．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形
的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
第23页（共30页）
21．（12 分）（2017•太和县一模）如图，矩形OABC 的顶点A、C 分别在x、y 轴的正
半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E（4，m）在边AB 上，反比例函数y=（k≠0）
在第一象限内的图象经过点D、E，且cos∠BOA= ．
（1）求边AB 的长；
（2）求反比例函数的解析式和m 的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F，点G、H 分别是y 轴、x 轴上的
点，当△OGH≌△FGH 时，求线段OG 的长．
【分析】（1）由矩形的性质可求得OA，由三角函数定义可求得OB，则可求得AB
的长；
（2）由条件可求得D 点坐标，代入反比例函数解析式，可求得其解析式，把E 点坐
标代入解析式可求得m 的值；
（3）由反比例函数解析式可求得F 点坐标，则可求得CF 的长，设OG=x，利用三角
形全等的性质可表示出CG 和FG，在Rt△CGF 中利用勾股定理可得到方程，可求
得OG 的长．
【解答】解：
（1）∵点E（4，m）在边AB 上，
∴OA=4，
在Rt△AOB 中，
∵cos∠BOA= ，
∴OB=5，
∴AB=
=3；
（2）由（1），可得点B 的坐标为（4，3），
第24页（共30页）
∵点D 为OB 的中点，
∴点D（2，1.5）．
∵点D 在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴；
（3）设点F（a，3），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F，
∴a=1，
∴CF=1，
设OG=x，
∵△OGH≌△FGH，
∴OG=FG=x，CG=3
x
﹣，
在Rt△CGF 中，
由勾股定理可得GF2=CF2+CG2，
即x2=（3
x
﹣）2+12，
解得x= ，
∴OG= ．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、三角函数的
定义、矩形的性质、全等三角形的性质及方程思想．在（1）中利用三角函数的定义
求得OB 的长是解题的关键，在（2）中利用矩形的性质求得D 点坐标是解题的关
键，在（3）中用OG 的长分别表示出CG 和FG 是解题的关键．本题考查知识点较多
综合性较强，难度适中．
22．（12 分）（2015•茂名）某公司生产的某种产品每件成本为40 元，经市场调查
整理出如下信息：
①该产品90 天内日销售量（m 件）与时间（第x 天）满足一次函数关系，部分数据
如下表：
时间（第x 天）
1
3
6
10
…
第25页（共30页）
日销售量（m
件）
198
194
188
180
…
②该产品90 天内每天的销售价格与时间（第x 天）的关系如下表：
时间（第x 天）
1≤x＜50
50≤x≤90
销售价格（元/件）
x+60
100
（1）求m 关于x 的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y 元，请写出y 关于x 的函数表达式，并求出在90
天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日
销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400 元，请直接写出结
果．
【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
（2）设利润为y 元，则当1≤x＜50 时，y=
2x
﹣
2+160x+4000；当50≤x≤90 时，y=﹣
120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46 天销售利润不低于5400 元．
【解答】解：（1）∵m 与x 成一次函数，
∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194 代入，得：
，
解得：
．
所以m 关于x 的一次函数表达式为m=
2x
﹣
+200；
（2）设销售该产品每天利润为y 元，y 关于x 的函数表达式为：
，
当1≤x＜50 时，y=
2x
﹣
2+160x+4000=
2
﹣（x
40
﹣
）2+7200，
∵﹣2＜0，
∴当x=40 时，y 有最大值，最大值是7200；
当50≤x≤90 时，y=
120x
﹣
+12000，
∵﹣120＜0，
∴y 随x 增大而减小，即当x=50 时，y 的值最大，最大值是6000；
综上所述，当x=40 时，y 的值最大，最大值是7200，即在90 天内该产品第40 天的
销售利润最大，最大利润是7200 元；
（3）在该产品销售的过程中，共有46 天销售利润不低于5400 元．
第26页（共30页）
【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的
解析式，属于中档题．
23．（14 分）（2017•太和县一模）已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF∥AC 交
BC 于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．
（1）如图1，当α=60°时，求证：△DCE 是等边三角形；
（2）如图2，当α=45°时，求证：①= ；②CE⊥DE．
（3）如图3，当α 为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系是：=
1
．
【分析】（1）想办法证明△CFD≌△DAE 即可解决问题．
（2）①如图2 中，作FG⊥AC 于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出= ，再证明CF=
AD 即可．
②作CE′⊥DE 于E′，只要证明点E 与点E′重合，即可推出CE⊥DE．
（3）想办法证明EC=ED 即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1 中，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BC=BA，
∵DF∥AC，
第27页（共30页）
∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，
∴△BDF 是等边三角形，
∴BF=BD，
∴CF=AD，∠CFD=120°，
∵AE∥BC，
∴∠B+∠DAE=180°，
∴∠DAE=∠CFD=120°，
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，
∵∠CDE=∠B=60°，
∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD≌△DAE，
∴DC=DE，∵∠CDE=60°，
∴△CDE 是等边三角形．
（2）证明：①如图2 中，作FG⊥AC 于G．
∵∠B=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC=90°，
∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，
∵AE∥BC，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴∠DFC=∠DAE=135°，
第28页（共30页）
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，
∵∠CDE=∠B=45°，
∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD∽△DAE，
∴= ，
∵四边形ADFG 是矩形，FC= FG，
∴FG=AD，CF= AD，
∴= ，
②作CE′⊥DE 于E′
∵∠CDE=45°，
∴DE′=CD•cos45°= CD，
∵DE= CD，
∴点E 与点E′重合，
∴CE⊥DE．
（3）解：如图3 中，设AC 与DE 交于点O．
∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠ACB，
∵∠CDE=∠ACB，
∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴= ，
∴= ，∵∠COE=∠DOA，
∴△COE∽△DOA，
第29页（共30页）
∴∠CEO=∠DAO．
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∵∠CDE=∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∴=1．
故答案为1．
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、
等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用
所学知识解决问题，属于中考压轴题．
第30页（共30页）
