文档文本内容
2018-2019 学年湖北省恩施州恩施市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有12 个小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷的相应位置上）．
1．（3 分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x 的值是（ ）
A．5
B．6
C．
D．5 或
3．（3 分）某班数学兴趣小组8 名同学的毕业升学体育测试成绩依次为：30，29，28，27，28，
29，30，28，这组数据的众数是（ ）
A．27
B．28
C．29
D．30
4．（3 分）下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线相等
C．对角相等
D．对角线互相垂直
6．（3 分）直线y＝﹣3x+2 经过的象限为（ ）
A．第一、二、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
7．（3 分）如图，广场中心菱形花坛ABCD 的周长是32 米，∠A＝60°，则A、C 两点之间的距离
为（ ）
第1页（共25页）
A．4 米
B．4
米
C．8 米
D．8
米
8．（3 分）若式子
+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3 分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A（﹣4，0 ），点B 在直线y＝x+2 上．当A，B 两
点间的距离最小时，点B 的坐标是（ ）
A．（
，
）B．（
，
）C．（﹣3，﹣1 ）
D．（﹣3，
）
10．（3 分）A、B 两地相距20 千米，甲、乙两人都从A 地去B 地，图中l1和l2分别表示甲、乙两
人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1 小时；
②乙出发3 小时后追上甲；
③甲的速度是4 千米/小时；
④乙先到达B 地．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（3 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于O 点，E，F 分别是AB，BC 边上的中点，
第2页（共25页）
连接EF．若EF＝
，BD＝4，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A．4
B．4
C．4
D．28
12．
（3 分）如图，点A，B，C 在一次函数y＝﹣2x+m 的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，
分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1
B．3
C．3（m﹣1）
D．
二、填空题（本大题共有4 个小题，每小题3 分，共12 分.不要求写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卷相应位置上）
13．（3 分）计算：
﹣9
的结果是 ．
14．（3 分）一次函数y1＝kx+b 与y2＝x+a 的图象如图，则kx+b＞x+a 的解集是 ．
15．（3 分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B 是
这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿
第3页（共25页）
着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm．
16．（3 分）如图放置的两个正方形的边长分别为4 和8，点G 为CF 中点，则AG 的长为
．
三、解答题（本大题共有8 个小题，共72 分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字
说明证明过程或演算步骤）
17．（4 分）计算
﹣
+（
+1）（
﹣1）
18．（4 分）先化简，再求值：已知a＝8，b＝2，试求a
+
﹣
+
的值．
19．（8 分）已知长方形的长a＝
，宽b＝
．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
20．（8 分）为了让同学们了解自己的体育水平，八年级1 班的体育老师对全班45 名学生进行
了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10 分，1 班的体育委员根据这次测试
成绩，制作了统计图和分析表如下：
八年级1 班体育模拟测试成绩分析表
第4页（共25页）
平均分方差中位数众数
男生
2
8
7
女生
7.92
1.99
8
根据以上信息，解答下列问题
（1）这个班共有男生 人，共有女生 ；
（2）补全八年级1 班体育模拟测试成绩分析表；
（3）你认为在这次体育测试中，1 班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条
支持你的看法的理由
21．（8 分）如图：在平行四边形ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交CD、AB 于E、F 两点，交
AC 于O 点，试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．
22．（8 分）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方
式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式
的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？
23．（10 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝3，BC＝5，连接BD，∠BAD 的平分线分
别交BD、BC 于点E、F，且AE∥CD
（1）求AD 的长；
（2）若∠C＝30°，求CD 的长．
第5页（共25页）
24．（10 分）某酒厂生产A，B 两种品牌的酒，平均每天两种酒共可售出600 瓶，每种酒每瓶的
成本和售价如表所示，设平均每天共获利y 元，平均每天售出A 种品牌的酒x 瓶．
A
B
成本（元）
50
35
售价（元）
70
50
（1）请写出y 关于x 的函数关系式；
（2）如果该厂每天至少投入成本25000 元，且售出的B 种品牌的酒不少于全天销售总量的
55%，那么共有几种销售方案？并求出每天至少获利多少元？
25．（12 分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y＝﹣x+4 与坐标轴分别相交于点A、
B 与2：y＝
x 相交于点C．
（1）求点C 的坐标；
（2）若平行于y 轴的直线x＝a 交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x 轴于点M，且ED
＝2DM，求a 的值；
（3）如图2，点P 是第四象限内一点，且∠BPO＝135°，连接AP，探究AP 与BP 之间的位置
关系，并证明你的结论．
第6页（共25页）
2018-2019 学年湖北省恩施州恩施市八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12 个小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷的相应位置上）．
1．（3 分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否
则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A 符合题意；
B、
＝6，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意；
C、
＝2
，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；
D、
＝
，被开方数含分母，故D 不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含
分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3 分）若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x 的值是（ ）
A．5
B．6
C．
D．5 或
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4 是斜边或直角边两种情况进行讨论．
【解答】解：当4 是直角三角形的斜边时，32+x2＝42，解得x＝
；
当4 是直角三角形的直角边时，32+42＝x2，解得x＝5．
故使此三角形是直角三角形的x 的值是5 或
．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2＝
c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．（3 分）某班数学兴趣小组8 名同学的毕业升学体育测试成绩依次为：30，29，28，27，28，
29，30，28，这组数据的众数是（ ）
第7页（共25页）
A．27
B．28
C．29
D．30
【分析】根据出现次数最多的数是众数解答．
【解答】解：27 出现1 次；28 出现3 次；29 出现2 次；30 出现2 次；
所以，众数是28．
故选：B．
【点评】本题考查了众数的定义，熟记出现次数最多的是众数是解题的关键．
4．（3 分）下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关
系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：A、对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值，y 是x 的函数，故A 不符合题意；
B、对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值，y 是x 的函数，故B 不符合题意；
C、对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值，y 是x 的函数，故C 不符合题意；
D、对于x 的每一个取值，y 有不唯一确定的值，y 不是x 的函数，故D 符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x
的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
5．（3 分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线相等
C．对角相等
D．对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
【解答】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
第8页（共25页）
【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问
题的关键．
6．（3 分）直线y＝﹣3x+2 经过的象限为（ ）
A．第一、二、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【分析】由k＝﹣3、b＝2 利用一次函数图象与系数的关系，即可得出直线y＝﹣3x+2 经过
第一、二、四象限，此题得解．
【解答】解：∵k＝﹣3，b＝2，
∴直线y＝﹣3x+2 经过第一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b 的图象在一、
二、四象限”是解题的关键．
7．（3 分）如图，广场中心菱形花坛ABCD 的周长是32 米，∠A＝60°，则A、C 两点之间的距离
为（ ）
A．4 米
B．4
米
C．8 米
D．8
米
【分析】由菱形花坛ABCD 的周长是40 米，∠BAD＝60°，可求得边长AD 的长，AC⊥BD，
且∠CAD＝30°，则可求得OA 的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接AC、BD，AC 与BD 交于点O，
∵菱形花坛ABCD 的周长是32 米，∠BAD＝60°，
∴AC⊥BD，AC＝2OA，∠CAD＝
∠BAD＝30°，AD＝8 米，
∴OA＝AD•cos30°＝8×
＝54
（米），
∴AC＝2OA＝8
米．
故选：D．
第9页（共25页）
【点评】此题考查了菱形的性质以及三角函数的性质．注意根据菱形的对角线互相垂直且
平分求解是解此题的关键．
8．（3 分）若式子
+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k 的取值范
围，然后判断出k﹣1、1﹣k 的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函
数y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是哪个即可．
【解答】解：∵式子
+（k﹣1）0有意义，
∴k﹣1≥0，且k﹣1≠0，
解得k＞1，
∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，
∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k 的图象如图所示：
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，零指数幂定义以及二次根式有意
义的条件；解答此题的关键是要明确：当b＞0 时，
（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交
于正半轴；当b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
9．（3 分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A（﹣4，0 ），点B 在直线y＝x+2 上．当A，B 两
第10页（共25页）
点间的距离最小时，点B 的坐标是（ ）
A．（
，
）B．（
，
）C．（﹣3，﹣1 ）
D．（﹣3，
）
【分析】根据题意画出图形，过点A 做AB⊥直线y＝x+2 于2 点B，则点B 即为所求点，根
据锐角三角函数的定义得出∠OCD＝45°，故可判断出△ABC 是等腰直角三角形，进而可
得出B 点坐标．
【解答】解：如图，过点A 作AB⊥直线y＝x+2 于点B，则点B 即为所求．
∵C（﹣2，0），D（0，2），
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴B（﹣3，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意画出图形，利用数形结合
求解是解答此题的关键．
10．（3 分）A、B 两地相距20 千米，甲、乙两人都从A 地去B 地，图中l1和l2分别表示甲、乙两
人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1 小时；
②乙出发3 小时后追上甲；
③甲的速度是4 千米/小时；
④乙先到达B 地．
其中正确的个数是（ ）
第11页（共25页）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结
果．
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1 小时，故①正确；
乙出发3﹣1＝2 小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），
则甲到达B 地用的时间为：20÷4＝5（小时），
乙到达B 地用的时间为：20÷6＝
（小时），
1+3
，
∴乙先到达B 地，故④正确；
正确的有3 个．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．
11．（3 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于O 点，E，F 分别是AB，BC 边上的中点，
连接EF．若EF＝
，BD＝4，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A．4
B．4
C．4
D．28
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边
长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F 分别是AB，BC 边上的中点，EF＝
，
∴AC＝2EF＝2
，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝
AC＝
，OB＝
BD＝2，
第12页（共25页）
∴AB＝
＝
，
∴菱形ABCD 的周长为4
．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问
题的关键．
12．
（3 分）如图，点A，B，C 在一次函数y＝﹣2x+m 的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，
分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1
B．3
C．3（m﹣1）
D．
【分析】设AD⊥y 轴于点D；BF⊥y 轴于点F；BG⊥CG 于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、
G 各点的坐标，计算出长度，利用面积公式即可计算出．
【解答】解：由题意可得：A 点坐标为（﹣1，2+m），B 点坐标为（1，﹣2+m），C 点坐标为（2，
m﹣4），D 点坐标为（0，2+m），E 点坐标为（0，m），F 点坐标为（0，﹣2+m），G 点坐标为
（1，m﹣4）．
所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，又因为AD＝BF＝
GC＝1，所以图中阴影部分的面积和等于
×2×1×3＝3．
故选：B．
第13页（共25页）
【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法．
二、填空题（本大题共有4 个小题，每小题3 分，共12 分.不要求写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卷相应位置上）
13．（3 分）计算：
﹣9
的结果是 ﹣
．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2
﹣9×
＝﹣
，
故答案为：﹣
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础
题型．
14．（3 分）一次函数y1＝kx+b 与y2＝x+a 的图象如图，则kx+b＞x+a 的解集是
x ＜﹣
2
．
【分析】把x＝﹣2 代入y1＝kx+b 与y2＝x+a，由y1＝y2得出
＝2，再求不等式的解集．
【解答】解：把x＝﹣2 代入y1＝kx+b 得，
y1＝﹣2k+b，
把x＝﹣2 代入y2＝x+a 得，
y2＝﹣2+a，
第14页（共25页）
由y1＝y2，得：﹣2k+b＝﹣2+a，
解得
＝2，
解kx+b＞x+a 得，
（k﹣1）x＞a﹣b，
∵k＜0，
∴k﹣1＜0，
解集为：x＜
，
∴x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出
＝2，把
看
作整体求解集．
15．（3 分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B 是
这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿
着台阶面爬行到点B 的最短路程为
25
dm．
【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25（dm）．
故答案为：25．
第15页（共25页）
【点评】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展
开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面
图形上构造直角三角形解决问题．
16．（3 分）如图放置的两个正方形的边长分别为4 和8，点G 为CF 中点，则AG 的长为
2
．
【分析】连接AC、AF，延长CB 交FH 于M，求出CM 和FM，根据勾股定理求出CF，求出
∠CAF＝90°，根据直角三角形的性质求出AG 即可．
【解答】解：
连接AC、AF，延长CB 交FH 于M，
则∠FMC＝90°，CM＝4+8＝12，FM＝8﹣4＝4，
在Rt△CMF 中，由勾股定理得：CF＝
＝
＝4
，
∵四边形CDAB 和四边形EFHA 是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠FAE＝45°，
∴∠CAF＝45°+45°＝90°，
∵G 为CF 的中点，
∴AG＝
CF＝2
，
第16页（共25页）
故答案为：2
．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、正方形的性质等知识点，能
求出∠CAF＝90°和求出CF 的长度是解此题的关键．
三、解答题（本大题共有8 个小题，共72 分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字
说明证明过程或演算步骤）
17．（4 分）计算
﹣
+（
+1）（
﹣1）
【分析】直接化简二次根式以及结合平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝3
﹣2
+3﹣1
＝
+2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（4 分）先化简，再求值：已知a＝8，b＝2，试求a
+
﹣
+
的值．
【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再代入求值．
【解答】解：a
+
﹣
+
＝
+2
﹣
+
＝
+3
当a＝8，b＝2 时，
原式＝
+3
＝
+3
＝4
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．注意若被开方数中含有分母，开出来后仍
然充当分母．
19．（8 分）已知长方形的长a＝
，宽b＝
．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【分析】首先化简a＝
＝2
，b＝
＝
．
（1）代入周长计算公式解决问题；
第17页（共25页）
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解答】解：a＝
＝2
，b＝
＝
．
（1）长方形的周长＝（2
+
）×2＝6
；
（2）正方形的周长＝4
＝8，
∵6
＝
.8＝
，
∵
＞
∴6
＞8．
【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的
周长与面积计算方法是解决问题的关键．
20．（8 分）为了让同学们了解自己的体育水平，八年级1 班的体育老师对全班45 名学生进行
了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10 分，1 班的体育委员根据这次测试
成绩，制作了统计图和分析表如下：
八年级1 班体育模拟测试成绩分析表
平均分方差中位数众数
男生
7.9
2
8
7
女生
7.92
1.99
8
8
根据以上信息，解答下列问题
（1）这个班共有男生
20
人，共有女生
25
；
（2）补全八年级1 班体育模拟测试成绩分析表；
（3）你认为在这次体育测试中，1 班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条
支持你的看法的理由
【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以求得男生的人数，从而可以求得女生的人数；
（2）根据统计图中的数据可以计算出男生的平均数和女生的众数，本题得以解决；
（3）根据表格中的数据，进行说明理由即可，本题答案不唯一，说的只要合理即可．
第18页（共25页）
【解答】解：（1）男生有：1+2+6+3+5+3＝20（人），
女生有：45﹣20＝25（人），
故答案为：20，25；
（2）解：男生的平均分为
×（5×1+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）＝7.9，女生的众数为8，
补全表格如下：
平均分
方差
中位数
众数
男生
7.9
2
8
7
女生
7.92
1.99
8
8
故答案为：7.9，8；
（3）女生队表现更突出，
理由：从众数看，女生队的众数高于男生队的众数，所以女生队表现更突出．
【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
21．（8 分）如图：在平行四边形ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交CD、AB 于E、F 两点，交
AC 于O 点，试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．
【分析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO＝∠ACF，∠AEO＝∠CFO，根据
AAS 证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF 即可．
【解答】证明：四边形AECF 的形状是菱形，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO＝∠ACF，∠AEO＝∠CFO，
∵EF 过AC 的中点O，
∴OA＝OC，
在△AEO 和△CFO 中，
，
第19页（共25页）
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵OA＝CO，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF 是菱形．
【点评】本题考查了平行线性质，平行四边形的性质，矩形、菱形的判定等知识点的应用，
能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，具有一定的代表性，但难度不大．
22．（8 分）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方
式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式
的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；
（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？
【分析】（1）设出两种收费的函数表达式，代入图象上的点，利用待定系数法即可求解；
（2）把两个解析式中，令y 相等，则得到一个关于x 的方程，求得当y 相等时x 的值即可．
【解答】解：（1）设甲的函数解析式是y＝kx+b，
根据题意得：
，
解得：
，
则甲的函数解析式是：y＝0.1x+6；
设乙的函数解析式是y＝mx，
根据题意得：100m＝12，
解得：m＝0.12，
第20页（共25页）
则乙的函数解析式是：y＝0.12x；
（2）根据题意得：0.1x+6＝0.12x，
解得：x＝300，
故当印刷300 份学案时，两种印刷方式收费一样．
【点评】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，以及一次函数与一元
一次方程的关系．理解题意，从图象中获取有用信息是解题的关键．
23．（10 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝3，BC＝5，连接BD，∠BAD 的平分线分
别交BD、BC 于点E、F，且AE∥CD
（1）求AD 的长；
（2）若∠C＝30°，求CD 的长．
【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质：∠BAF＝∠AFB，所以AB＝BF＝3，再证明四
边形AFCD 是平行四边形，可得结论；
（2）作高线BG，根据特殊的三角函数或勾股定理可得FG 的长，所以得AF 的长，由（1）知：
四边形AFCD 是平行四边形，得结论．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF 平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF＝3，
∵BC＝5，
∴CF＝5﹣3＝2，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AFCD 是平行四边形，
∴AD＝CF＝2；
（2）过B 作AF 的垂线BG，垂足为G．
第21页（共25页）
∵AF∥DC，
∴∠AFB＝∠C＝30°，
在Rt△BGF 中，GF＝BF•cos30°＝3×
＝
，
∵AB＝BF，BG⊥AF，
∴AF＝2FG＝3
，
由（1）知：四边形AFCD 是平行四边形，
∴DC＝AF＝3
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，三角函数的应用（或勾股定理）、等腰三角形的判
定、平行线的性质，正确作出辅助线是关键．
24．（10 分）某酒厂生产A，B 两种品牌的酒，平均每天两种酒共可售出600 瓶，每种酒每瓶的
成本和售价如表所示，设平均每天共获利y 元，平均每天售出A 种品牌的酒x 瓶．
A
B
成本（元）
50
35
售价（元）
70
50
（1）请写出y 关于x 的函数关系式；
（2）如果该厂每天至少投入成本25000 元，且售出的B 种品牌的酒不少于全天销售总量的
55%，那么共有几种销售方案？并求出每天至少获利多少元？
【分析】（1）根据获利y＝A 种品牌的酒的获利+B 种品牌的酒的获利，即可解答．
（2）根据生产B 种品牌的酒不少于全天产量的55%，A 种品牌的酒的成本+B 种品牌的酒
的成本≥25000，列出方程组，求出x 的取值范围，根据x 为正整数，即可得到生产方案；再
根据一次函数的性质，即可求出每天至少获利多少元．
【解答】解：（1）由题意，每天生产A 种品牌的酒x 瓶，则每天生产B 种品牌的酒（600﹣x）
瓶，
∴y＝20x+15（600﹣x）＝9000+5x．
（2）根据题意得：
，
第22页（共25页）
解得：266
≤x≤270，
∵x 为整数，
∴x＝267、268、269、270，
该酒厂共有4 种生产方案：
①生产A 种品牌的酒267 瓶，B 种品牌的酒333 瓶；
②生产A 种品牌的酒268 瓶，B 种品牌的酒332 瓶；
③生产A 种品牌的酒269 瓶，B 种品牌的酒331 瓶；
④生产A 种品牌的酒270 瓶，B 种品牌的酒330 瓶；
∵每天获利y＝9000+5x，y 是关于x 的一次函数，且随x 的增大而增大，
∴当x＝267 时，y 有最小值，y 最小＝9000+5×267＝10335 元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这
个等量关系列解析式，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出
解，然后根据一次函数的性质求出哪种方案获利最小．
25．（12 分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y＝﹣x+4 与坐标轴分别相交于点A、
B 与2：y＝
x 相交于点C．
（1）求点C 的坐标；
（2）若平行于y 轴的直线x＝a 交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x 轴于点M，且ED
＝2DM，求a 的值；
（3）如图2，点P 是第四象限内一点，且∠BPO＝135°，连接AP，探究AP 与BP 之间的位置
关系，并证明你的结论．
【分析】（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出C 的坐标；
（2）将x＝1 代入两直线方程求出对应y 的值，确定出D 与E 的纵坐标，即OD 与OE 的长，
由OE﹣OD 求出DE 的长，根据ED＝2DM，求出MN 的长，将x＝a 代入两直线方程，求出
第23页（共25页）
M 与N 对应的横坐标，相减的绝对值等于MN 的长列出关于a 的方程，求出方程的解即可
求出a 的值；
（3）AP⊥BP，理由为：过O 作OQ⊥OP，交BP 的延长线于点Q，由∠BPO 为135°，得到
∠OPQ 为45°，又∠POQ 为直角，可得出三角形OPQ 为等腰直角三角形，再利用两对对
应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP 与三角形BOQ 相似，由相似三
角形的对应角相等得到∠APO＝∠BQO＝45°，由∠BPO﹣∠APO 得到∠APB 为直角，即
AP⊥BP．
【解答】解：（1）联立两直线解析式得：
，
解得：
，
则C 坐标为（3，1）；
（2）由题意：M（a，0）D（a，
a） E（a，﹣a+4）
∵DE＝2DM
∴|
a﹣（﹣a+4）|＝2|
a|
解得a＝2 或6．
（3）如图2 中，过O 作OQ⊥OP，交BP 的延长线于点Q，可得∠POQ＝90°，
∵∠BPO＝135°，
∴∠OPQ＝45°，
第24页（共25页）
∴∠Q＝∠OPQ＝45°，
∴△POQ 为等腰直角三角形，
∴OP＝OQ，
∵∠AOB＝∠POQ＝90°，
∴∠AOB+∠BOP＝∠POQ+∠POB，即∠AOP＝∠BOQ，
∵OA＝OB＝4，
∴
＝
，
∴△AOP∽△BOQ，
∴∠APO＝∠BQO＝45°，
∴∠APB＝∠BPO﹣∠APO＝90°，
则AP⊥BP．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三
角形的判定与性质，两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，以及坐标与图形性质，属
于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/10/9 8:57:03；用户：15527082918；邮箱：15527082918；学号：27022530
第25页（共25页）
