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1
山东省青岛市西海岸新区2018-2019 学年八年级下学期期末考试
数学试题
考试时间：120 分钟，满分：120 分
第Ⅰ卷
一、选择题（本题满分24 分，共有8 道小题，每小题3 分）
1.下列手机软件图标是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重
合．
2.中国药学家屠呦呦获2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是
中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为0.0000015 米，该长度用科学
记数法可表示为（ ）
2
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
【答案】A
【解析】
【分析】
绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其
所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【详解】解：0.0000015=1.5×10-6，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
3.下列事件中是必然事件是（ ）
A. 明天太阳从西边升起
B. 篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C. 实心铁球投入水中会沉入水底
D. 抛出一枚硬币，落地后正面向上
【答案】C
【解析】
【分析】
必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1 的事件，依据定义即可解决．
【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意；
B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；
C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意；
D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意．
故选C．
4.等腰三角形的一个内角为
，则该三角形其余两个内角的度数分别为（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
或
，
3
【答案】D
【解析】
【分析】
已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理
去验证每种情况是不是都成立．
【详解】解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=（180°-80°）÷2=50°；
（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°-80°-80°=20°．
故另外两个内角的度数分别为：50°、50°或80°、20°．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题
时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解题的关键．
5.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 2m
m = 2m
【答案】C
【解析】
A.
，错误；B.
，错误；C.
，正确；D.
，错误.故选C.
6.如图，
，下列条件中不能使
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，再根据全等三角形的判定定理分别添加四个选项所给条件进行分
析即可．
【详解】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，
A、添加
可利用SAS 定理判定
，故此选项不合题意；
B、添加
可利用AAS 定理判定
，故此选项不合题意；
C、添加
可利用ASA 定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加
不能判定
，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
应相等时，角必须是两边的夹角．
7.把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠，若
，有下列结论：
①
②
③
④
.其中正确的有（ ）
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
【答案】B
【解析】
【分析】
5
依据折叠的性质和平行线的性质，即可得到正确结论．
【详解】解：∵AE∥BG，∠EFB=32°，
∴∠C′EF=∠EFB=32°，故①正确；
根据折叠得：∠CEF=∠C′EF=32°，
∴∠AEC=180°-32°-32°=116°，故②错误；
∵AE∥GF，
∴∠BGE+∠AEG=180°，
∴∠BGE=180°-116°=64°，故③正确；
∵
，
∴∠BGC=180°-64°=116°，
∵EC∥DF，
∴∠BFD=∠BGC=116°，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质和平行线的性质，能灵活运用性质进行推理是解题的关键．
8.如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内
的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h 与注水时间t 之间的函数关系图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】开始一段时间内，乙不进行水，当甲的水到过连接处时，乙开始进水，此时水面开始上升，速度
较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升，
故选D．
6
第Ⅱ卷
二、填空题（本题满分24 分，共有8 道小题，每小题3 分）
9.有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100 次，每个面落在地面上的次数如下
表，估计石块标记3 的面落在地面上的概率是______.
石块的面
1
2
3
4
5
频数
17
28
15
16
24
【答案】
【解析】
分析】
根据表中的信息，先求出石块标记3 的面落在地面上的频率，再用频率估计概率即可．
【详解】解：石块标记3 的面落在地面上的频率是
=
，
于是可以估计石块标记3 的面落在地面上的概率是
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查用频率来估计概率，在大量重复试验下频率的稳定值即是概率，属于基础题．
10.如图，
平分
，
，
，则
______ .
【答案】50
7
【解析】
【分析】
由
平分
，
可求出∠BDE 的度数，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDE.
【详解】解：∵
，
∴∠ADE=180°-80°=100°，
∵
平分
，
∴∠BDE=
∠ADE=50°，
∵
，
∴∠ABD=∠BDE=50°.
故答案为：50.
【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，
内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
11.长方形的周长为
，其中一边长为
，面积为
，则
与
的关系可表示为___.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
【详解】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为：（12-x）cm，
则y 与x 的关系式为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键．
12.一大门的栏杆如图所示，BA⊥AE，若CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝_____度．
8
【答案】270
【解析】
【详解】解：过点B 作BF∥AE，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，
∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°，
即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABC+∠BCD=270°．
故答案为：270．
13.现有四根长
，
，
，
的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角
形的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先展示所有可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．
9
【详解】解：∵现有四根长30cm、40cm、70cm、90cm 的木棒，任取其中的三根，可能结果有：30cm、
40cm、70cm；30cm、40cm、90cm；30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm；其中首尾相连后，能组成
三角形的有：30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm；
共有4 种等可能的结果数，其中有2 种能组成三角形，
所以能组成三角形的概率=
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现
m 种结果，那么事件A 的概率P（A）=
．
14.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交BC 于D，若CD＝
BD，点D 到边AB 的距离为
6，则BC 的长是____．
【答案】18
【解析】
【分析】
过D 作DE⊥AB 于E，则DE=6，根据角平分线性质求出CD=DE=6，求出BD 即可．
【详解】过D 作DE⊥AB 于E．
∵点D 到边AB 的距离为6，∴DE=6．
∵∠C=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6．
∵CD
DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18．
故答案为：18．
10
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
15.如图，在
正方形网格中有3 个小方格涂成了灰色.现从剩余的13 个白色小方格中选一个也涂成灰色，
使整个涂成灰色的图形成轴对称图形，则这样的白色小方格有______个.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【详解】解：如图所示，有4 个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：4．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全
重合．
16.1955 年，印度数学家卡普耶卡（
）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数
，
用
的四个数字由大到小重新排列成一个四位数
，再减去它的反序数
（即将
的四个数字由小到大排
11
列，规定反序后若左边数字有0，则将0 去掉运算，比如0001，计算时按1 计算），得出数
，
然后继续对
重复上述变换，得数
，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论
是多大的四位数，只要
四个数字不全相同，最多进行
次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数，这个数称为
变换的核.则四位数9631 的
变换的核为______.
【答案】6174
【解析】
【分析】
用9631 的四个数字由大到小排列成一个四位数9631．则9631-1369=8262，用8262 的四个数字由大到小重
新排列成一个四位数8622．则8622-2268=6354，类似地进行上述变换，可知5 次变换之后，此时开始停在
一个数6174 上．
【详解】解：用9631 的四个数字由大到小排列成一个四位数9631．则9631-1369=8262，
用8262 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8622．则8622-2268=6354，
用6354 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6543．则6543-3456=3087，
用3087 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8730．则8730-378=8352，
用8352 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8532．则8532-2358=6174，
用6174 的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…
可知7 次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174 上．
故答案为：6174.
【点睛】本题考查简单的合情推理．此类题可以选择一个具体的数根据题意进行计算，即可得到这个确定
的数．
三、作图题（本题满分4 分）
17.用圆规和直尺作图，不写作法，保留作图痕迹.
已知
及其边
上一点
.在
内部求作点
，使点
到
两边的距离相等，且到点
，
的距离相等.
12
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
作∠ABC 的平分线BK，线段BD 的垂直平分线MN，射线BK 与直线MN 的交点P 即为所求.
【详解】解：点P 是∠ABC 的平分线与线段BD 的垂直平分线的交点，如图点P 即为所求.
【点睛】本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五
种基本作图．
四、解答题（本题满分68 分，共8 道小题）
18.计算：
（1）
；
（2）
；
（3）先化简再求值
，其中
，
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，2.
13
【解析】
【分析】
（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（3）原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
当
，
时，
原式
.
故答案为：（1）
；（2）
；（3）
，2.
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.如图，一个可以自由转动的转盘，分成了四个扇形区域，共有三种不同的颜色，其中红色区域扇形的圆
14
心角为
.小华对小明说：“我们用这个转盘来做一个游戏，指针指向蓝色区域你赢，指针指向红色区
域我赢”.你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由.
【答案】游戏公平
【解析】
分析】
直接利用概率公式求得指针指向蓝色区域和红色区域的概率，进而比较得出答案．
【详解】解：∵红色区域扇形
圆心角为
，
∴蓝色区域扇形的圆心角为60°+60°，
，
，
∴
，
所以游戏公平.
故答案为：游戏公平.
【点睛】本题考查游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则
就不公平．
20.图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.
（1）用实线把图①分割成六个全等图形；
15
（2）用实线把图②分割成四个全等图形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，
（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为
，分成六等腰个直角三角形即可；
（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为
，分成四个直角梯形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容
易考虑．
21.如图，点
，
在
上，
，
，
，试判断
与
有怎样的数量和位
置关系，并说明理由.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得到
，由
得到
，推出
，根据全等三角
16
形的性质得到
，
，由平行线的判定即可得到结论．
【详解】解：
与
平行且相等，理由：
因为
，所以
.
因为
，所以
.
又因为
，
所以
.
所以
，
.
所以
.
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题
的关键．注意数形结合思想的应用．
22.如图，在边长为
的正方形四个角上，分别剪去大小相等的等腰直角三角形，当三角形的直角边由
小变大时，阴影部分的面积也随之发生变化，它们的变化情况如下：
三角形
直角边长/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
阴影部分的面积/
398
392
382
368
350
302
272
200
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）请将上述表格补充完整；
（3）当等腰直角三角形的直角边长由
增加到
时，阴影部分的面积是怎样变化的？
（4）设等腰直角三角形的直角边长为
，图中阴影部分的面积为
，写出
与
的关系式.
17
【答案】(1) 自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积;(2)见解析;(3)
.
【解析】
【分析】
（1）根据定义确定自变量、因变量即可；
（2）根据题意计算即可；
（3）观察数据表格确定阴影面积变化趋势；
（4）阴影面积为正方形面积减去四个等腰直角三角形面积．
【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积；
（2）等腰直角三角形直角边长为6 时，阴影面积为202-4×
×62=328，
等腰直角三角形直角边长为9 时，阴影面积为202-4×
×92=238；
三角形的直角边长/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
阴影部分的面积/
328
238
（3）当等腰直角三角形的直角边长由
增加到
时，阴影部分的面积由
减小到
；
（4）
.
故答案为：(1) 自变量：三角形的直角边长，因变量：阴影部分的面积; (2)见解析; (3)
.
【点睛】本题考查函数关系式，函数求值，涉及到了函数的定义、通过数值变化观察函数值变化趋势．熟
练掌握正方形和等腰直角三角形的面积公式是解题的关键．
23.问题：将边长为
的正三角形的三条边分别
等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边
长为1 的正三角形和边长为2 的正三角形分别有多少个？
18
探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.
探究一：将边长为2 的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1 的正三角形
和边长为2 的正三角形分别有多少个？
如图①，连接边长为2 的正三角形三条边的中点，从上往下看：
边长为1 的正三角形，第一层有1 个，第二层有3 个，共有
个；
边长为2 的正三角形一共有1 个.
探究二：将边长为3 的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1 的
正三角形和边长为2 的正三角形分别有多少个？
如图②，连接边长为3 的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1 的正三角形，第一层有
1 个，第二层有3 个，第三层有5 个，共有
个；边长为2 的正三角形共有
个.
探究三：将边长为4 的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边
长为1 的正三角形和边长为2 的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
19
结论：将边长为
的正三角形的三条边分别
等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为
1 的正三角形和边长为2 的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
应用：将一个边长为25 的正三角形的三条边分别25 等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为
1 的正三角形有______个和边长为2 的正三角形有______个.
【答案】探究三：16,6；结论：n²,
;应用：625，300.
【解析】
【分析】
探究三：模仿探究一、二即可解决问题；
结论：由探究一、二、三可得：将边长为
的正三角形的三条边分别
等分，连接各边对应的等分
点，边长为1 的正三角形共有
个；边长为2 的正三角形共有
个；
应用：根据结论即可解决问题.
【详解】解：探究三：
如图3，连接边长为4 的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1 的正三角形，第一层有1
个，第二层有3 个，第三层有5 个，第四层有7 个，共有
个；
20
边长为2 的正三角形有
个.
结论：
连接边长为
的正三角形三条边的对应
等分点，从上往下看：边长为1 的正三角形，第一层有1 个，第
二层有3 个，第三层有5 个，第四层有7 个，……，第
层有
个，共有
个；
边长为2 的正三角形，共有
个.
应用：
边长为1 的正三角形有
=625（个），
边长为2 的正三角形有
（个）.
故答案为：探究三：16,6；结论：n²,
;应用：625，300.
【点睛】本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
24.如图，在
中，
为
的中点，
，
.动点
从点
出发，沿
方
向以
的速度向点
运动；同时动点
从点
出发，沿
方向以
的速度向点
运动，运动
时间是秒.
21
（1）用含的代数式表示
的长度.
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点
位于线段
垂直平分线上？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由.
（3）是否存在某一时刻，使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（4）是否存在某一时刻，使
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)CP=8-3t;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用
即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得
，列方程求解即可；
（3）根据全等三角形的性质可得若
，因为
，
，所以只需
，列方程求出的值即可；
（4）若
，因为
，所以需满足
且
，即
且
，
没有符合条件的t 的值，故不存在.
【详解】解：（1）
；
（2）若点
位于线段
的垂直平分线上，
则
，
即
，
解得
.
所以存在，
秒时点
位于线段
的垂直平分线上.
（3）若
，
22
因为
，
，
所以只需
，
即
，解得
，
所以存在
.
（4）若
，
因为
，
所以需满足
且
，
即
且
，
所以不存在.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质及动点运动问题，对于运动型的问题，关键是用时间t 表示出
相应的线段的长度，能根据题意列方程求解．
