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武汉市黄陂区2018-2019 年4 月调研九年级数学试卷
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．在数轴上点M 表示的数为﹣2，与点M 距离等于3 个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1
B．﹣5
C．﹣5 或1
D．﹣1 或5
2．若分式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3
B．x≥﹣3
C．x≠﹣3 且 x≠2
D．x≠2
3．如图，两个面积分别为35，23 的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b 的值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
4．据统计，我市今年十一月份日平均气温的分布情况如下表，其中频数最高的气温（℃）是（ ）
平均气温（℃）
13
14
15
16
17
天数
3
7
3
9
8
A．17
B．16
C．15
D．14
5．下列计算正确的是（ ）
A．b4•b4＝2b4
B．（x3）3＝x6
C．70×8﹣2＝
D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
6．如图，边长均为1 个单位的正方形组成的方格纸内有一张笑脸图案，已知左眼的坐标是（﹣1，0），那么右眼关于鼻
子所在的水平线对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）
B．（1，﹣1）
C．（﹣1，0）
D．（﹣1，﹣2）
7．如图，由5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．某市6 月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是（ ）
A．8
B．10
C．21
D．22
9．某校初一（1）班的同学要从10 名候选人中投票选举班干部．如果每个同学必须投票且只能投票选举两候选人，若
要保证必有两个及以上的同学投相同的两名候选人的票，那么这个班的同学至少应有（ ）
A．10 人
B．11 人
C．45 人
D．46 人
10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB、CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB 与∠COD 互补，弦CD＝
8，则弦AB 的长为（ ）
A．6
B．8
C．5
D．5
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．计算：
×
＝
12．如果
≠0，那么代数式
•（2m+n）的值是 ．
13．某航班每次约有100 名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机
一旦失事，向每位乘客赔偿40 万人民币．平均来说，保险公司为了不亏本，至少应该收取保险费 元每人．
14．如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝∠BAC＝90°，AB＝2，CD＝
，则AD 的长为 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P（﹣2，1）关于y 轴的对称点P′，点T（t，0）是x 轴上的一个动点，当△P′TO
是等腰三角形时，t 的值是 ．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x+m 的图象与x 轴交于A，B 两点，若点A 坐标为（﹣1，0），则点B 的坐标为 ．
三．解答题（共8 小题，满分72 分）
17．（8 分）解方程组：
18．（8 分）如图，已知AP∥BC，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于点E，CE 的连线交AP 于点D，求证：
AD+BC＝AB．
19．（8 分）《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，岳池县某中学开
展“朗读”比赛活动，九年级（1）、
（2）班根据初赛成绩，各选出5 名选手参加复赛，两个班各选出的5 名选手的复
赛成绩（满分为100 分）如图所示．
平均数
中位数
众数
九（1）班
85
85
九（2）班
80
（1）根据图示填写表格；
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．
20．（8 分）每年的6 月5 日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10 台节省能源的新设备，现有甲、乙
两种型号的设备可供选购，经调查：购买3 台甲型设备比购买2 台乙型设备多花16 万元，购买2 台甲型设备比购
买3 台乙型设备少花6 万元．
（1）求甲、乙两种型号设备的价格；
（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110 万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240 吨/月，乙型设备的产量为180 吨/月，若每月要求总产量不低于
2040 吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．
21．（8 分）已知，△ABC 内接于⊙O，点P 是弧AB 的中点，连接PA、PB；
（1）如图1，若AC＝BC，求证：AB⊥PC；
（2）如图2，若PA 平分∠CPM，求证：AB＝AC；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BPC＝
，AC＝8，求AP 的值．
22．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞
1），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当△ABC 面积为2 时，求直线AB 的函数解析式．
23．
（10 分）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E．F．G 分别从A．B．C 三点同时出发，沿矩
形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s，点F 的运动速度为3cm/s，点G 的运动速度为1.5cm/s，
当点F 到达点C（即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是
△EB′F．设点E．F．G 运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t＝ s 时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；
（3）是否存在实数t，使得点B’与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
24．（12 分）如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m 为常数，且m＞0，E（0，n）为y 轴上一动点，
以BC 为边在x 轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC 绕点C 逆时针旋转90°得△A′D′C′，
连接ED′，抛物线y＝ax2+bx+n（a≠0）过E、A′两点．
（1）填空：∠AOB＝ °，用m 表示点A′的坐标：A′ ；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB 交于点P，且
时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；
（3）若E 与原点O 重合，抛物线与射线OA 的另一个交点为M，过M 作MN 垂直y 轴，垂足为N：
①求a、b、m 满足的关系式；
②当m 为定值，抛物线与四边形ABCD 有公共点，线段MN 的最大值为5，请你探究a 的取值范围．
2019 年湖北省武汉市黄陂区中考数学调研试卷（4 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．【分析】与点M 距离等于3 个单位长度的点在M 左右两边各一个，分别用M 表示的数为﹣2 加减3 即可．
【解答】解：与点M 距离等于3 个单位长度的点在M 右边时，该点表示的数是﹣2+3＝1；
与点M 距离等于3 个单位长度的点在M 左边时，该点表示的数是﹣2﹣3＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查数轴的相关知识．运用分类讨论和数形结合思想是解答此类问题的关键．
2．【分析】直接利用分式的定义得出x+3≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵分式
有意义，
∴x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式的定义是解题关键．
3．【分析】设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个长方形面积的差．
【解答】解：设重叠部分的面积为c，
则a﹣b＝（a+c）﹣（b+c）＝35﹣23＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
4．【分析】根据频数的定义结合表格中数据进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：频数最高的气温（℃）是：16℃，出现9 次．
故选：B．
【点评】此题主要考查了频数与频率，正确从表格中获取正确信息是解题关键．
5．【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算和同底数幂的除法运算法则分别分析得出答案．
【解答】解：A、b4•b4＝b8，故此选项错误；
B、（x3）3＝x9，故此选项错误；
C、70×8﹣2＝
，正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算和同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法
则是解题关键．
6．【分析】首先根据左眼的坐标建立平面直角坐标系，再找到B 点的关于鼻子所在的水平线的对称点，然后再写出坐
标即可．
【解答】解：如图所示：右眼关于鼻子所在的水平线AB 对称的点是B′，B′的坐标是（1，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是正确理解题意，建立平面直角坐标系．
7．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2 个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
8．【分析】根据条形统计图得到数据的总个数，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：∵共有4+10+8+6+2＝30 个数据，
∴中位数为第15、16 个数据的平均数，即中位数为
＝22，
故选：D．
【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间
两个数的平均数）．
9．【分析】首先根据组合求出10 名任选2 名的票数，那么这个班的同学最少人数就是票数+1．
【解答】解：∵10 名任选2 名的组合共有
种
∵如果有45 人参与投票，不能保证必有2 人，因为可能恰好产生以上45 种投票结果．
∵为保障必有2 人投同样的票
∴至少有45+1＝46 人，
故选：D．
【点评】本题考查抽屉原理．解决本题的关键是结合组合知识，求得投票数．
10．【分析】延长AO 交⊙O 于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD 知∠BOE＝∠COD，据此可得BE＝
CD，在Rt△ABE 中利用勾股定理求解可得．
【解答】解：解：如图，延长AO 交⊙O 于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE 为⊙O 的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝
＝
＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．【分析】直接利用二次根式乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：
×
＝
×2
＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．【分析】先化简该分式，再设
＝k，则m＝3k、n＝2k，代入化简后的分式计算可得．
【解答】解：原式＝
•（2m+n）＝
，
设
＝k，
则m＝3k、n＝2k，
所以原式＝
＝
＝
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算顺序和法则．
13．【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．
【解答】解：每次约有100 名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40 万人民币，共计4000 万元，
一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005，
故赔偿的钱数为40000000×0.00005＝2000 元，
故至少应该收取保险费每人
＝20 元．
【点评】本题考查的是概率在现实生活中的运用，部分数目＝总体数目乘以相应概率．
14．【分析】由于AD∥BC，可得∠BCA＝∠CAD，而∠ADC＝∠BAC＝90°，那么可证△ADC∽△CAB，于是AB：AC＝
CD：AD，这样不好计算，可对此式左右进行平方再计算，并把AC2＝AD2+CD2代入，即可求出AD．
【解答】解：如右图所示，
∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD，
又∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴△ADC∽△CAB，
∴AB：AC＝CD：AD，
∴AB2：AC2＝CD2：AD2，
又∵AC2＝AD2+CD2，
∴4：（AD2+3）＝3：AD2，
解得AD＝3 或﹣3（负数舍去）．
故答案是3．
【点评】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ADC∽△CAB，并会
对运用平方进行计算．
15．【分析】点P′是已知点P（﹣2，1）关于y 轴的对称，则点P′的坐标是（2，1），则OP′＝
，OP′是等腰三角形
的底边或腰，应分几种情况讨论．
【解答】解：由题可知，点P′的坐标是（2，1），则OP′＝
＝
，
（1）当OP′是等腰三角形的底边时，点T 就是OP′的垂直平分线与x 轴的交点，根据三角形相似可得：OT＝
；
（2）当OP′是等腰三角形的腰时，若点O 是顶角顶点，则点T 就是以点O 为圆心，以OP′为半径的圆与x 轴的交
点，则坐标是（4，0），则t 的值是4，若点P′是顶角顶点，则点T 就是以点P′为圆心，以OP′为半径的圆与x 轴
的交点，则坐标是（
，0）或（﹣
，0），则t 的值是
或﹣
．
由（1）（2）可知t 的值是
或4 或
或
．
【点评】解决本题的关键是正确认识到需要讨论，讨论等腰三角形的边应如何分类．
16．【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+m 的图象与x 轴交于A，B 两点，点A 坐标为（﹣1，0），可以求得m 的值，从而可
以得到该函数的解析式，进而求得点B 的坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m 的图象与x 轴交于A，B 两点，点A 坐标为（﹣1，0），
∴0＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m，
解得，m＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0 时，0＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B 的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三．解答题（共8 小题，满分72 分）
17．【分析】根据代入消元法解方程组即可．
【解答】解：
，
由①可得：y＝2x﹣3③，
把③代入②可得：
，
解得：x＝2，
把x＝2 代入③得：y＝1，
所以方程组的解为：
．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，根据代入消元法解方程组是解题关键．
18．【分析】先在AB 上截取AF＝AD，连接EF，由AE 平分∠PAB，利用SAS 即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得
∠EFB＝∠C，然后利用AAS 证得△BEF≌△BEC，即可得BC＝BF，继而证得AD+BC＝AB．
【解答】证明：如图，在AB 上截取AF＝AD，连接EF，
∵AE 平分∠PAB，
∴∠DAE＝∠FAE，
在△DAE 和△FAE 中，
∵
，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠C，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠EBC，
在△BEF 和△BEC 中，
∵
，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC＝BF，
∴AD+BC＝AF+BF＝AB．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应
用．
19．【分析】（1）由条形图得出两班的成绩，根据中位数、平均数及众数分别求解可得；
（2）由平均数相等得前提下，中位数高的成绩好解答可得；
（3）分别计算两班成绩的方差，由方差小的成绩稳定解答．
【解答】解：（1）九（1）班5 位同学的成绩为：75、80、85、85、100，
∴其中位数为85 分；
九（2）班5 位同学的成绩为：70、100、100、75、80，
∴九（2）班的平均数为
＝85（分），其众数为100 分，
补全表格如下：
平均数
中位数
众数
九（1）班
85
85
85
九（2）班
85
80
100
（2）九（1）班成绩好些，
∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高，
∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些．
（3）九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
∵S 九（1）
2＝
×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70（分2），
S 九（2）
2＝
×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160（分2），
∴S 九（1）
2＜S 九（2）
2，
∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据
偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
20．【分析】（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，根据购买3 台甲型设备比购买2 台乙型设
备多花16 万元，购买2 台甲型设备比购买3 台乙型设备少花6 万元，列出方程组，然后求解即可；
（2）设购买甲型设备m 台，乙型设备（10﹣m）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110
万元，列出不等式，然后求解即可得出购买方案；
（3）根据甲型设备的产量为240 吨/月，乙型设备的产量为180 吨/月和总产量不低于2040 吨，列出不等式，求出m
的取值范围，再根据每台的钱数，即可得出最省钱的购买方案．
【解答】解：（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，
由题意得：
，
解得：
，
则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12 万元和10 万元．
（2）设购买甲型设备m 台，乙型设备（10﹣m）台，
则：12m+10（10﹣m）≤110，
∴m≤5，
∵m 取非负整数
∴m＝0，1，2，3，4，5，
∴有6 种购买方案．
（3）由题意：240m+180（10﹣m）≥2040，
∴m≥4
∴m 为4 或5．
当m＝4 时，购买资金为：12×4+10×6＝108（万元），
当m＝5 时，购买资金为：12×5+10×5＝110（万元），
则最省钱的购买方案为，选购甲型设备4 台，乙型设备6 台．
【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找
到所求的量的等量关系，列出方程组和不等式．
21．【分析】（1）根据弧、弦以及圆周角的关系得出AP＝BP，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据圆周角定理、弧、弦以及圆周角的关系得出∠ABC＝∠ACB，利用等腰三角形性质解答即可；
（3）过A 点作AD⊥BC 交BC 于D，连结OP 交AB 于E，根据垂径定理的推论得到点O 在AD 上，连结OB，根据圆
周角定理和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）∵点P 是弧AB 的中点，如图1，
∴AP＝BP，
在△APC 和△BPC 中
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP＝∠BPC，
在△ACE 和△BCE 中
，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠AEC＝∠BEC，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AB⊥PC；
（2）∵PA 平分∠CPM，
∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，
∵∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（3）过A 点作AD⊥BC 交BC 于D，连结OP 交AB 于E，如图2，
由（2）得出AB＝AC，
∴AD 平分BC，
∴点O 在AD 上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝
，
设OB＝25x，则BD＝24x，
∴OD＝
＝7x，
在Rt△ABD 中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，
∴AB＝
＝40x，
∵AC＝8，
∴AB＝40x＝8，
解得：x＝0.2，
∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，
∵点P 是
的中点，
∴OP 垂直平分AB，
∴AE＝
AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在Rt△AEO 中，OE＝
，
∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在Rt△APE 中，AP＝
．
【点评】本题考查了圆的综合题，关键是根据弧、弦以及圆周角的关系，勾股定理、圆周角定理和解直角三角形进行
解答．
22．【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）根据三角形的面积求出B 的坐标，设直线AB 的解析式是y＝kx+b，把A、B 的坐标代入得到方程组，求出方程
组的解即可．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝
得：k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为：
．
答：反比例函数解析式为
．
（2）∵B（m，n）在反比例函数上，
∴y＝
＝n，
∵S△ABC＝
，
∴m＝3，
∴B 的坐标为（3，
，
设直线AB 的解析式是y＝kx+b，
把A、B 的坐标代入得：
，
解得：
，
∴
，
答：直线AB 的函数解析式是y＝﹣
x+
．
【点评】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角
形的面积，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质求函数的解析式是解此题的关键．
23．【分析】（1）利用正方形的性质，得到BE＝BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF 与△FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t 值，它们互相矛盾，所以不存在
【解答】解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，
即：5﹣t＝3t，
解得t＝1.25；
故答案为：1.25；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有
，即
，
解得：t＝1.4；
②若△EBF∽△GCF，
则有
，即
，
解得：t＝﹣7﹣
（不合题意，舍去）或t＝﹣7+
．
∴当t＝1.4s 或t＝（﹣7+
）s 时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O 重合．
如图，过点O 作OM⊥BC 于点M，则在Rt△OFM 中，OF＝BF＝3t，FM＝
BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，
由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2，
即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2
解得：t＝
；
过点O 作ON⊥AB 于点N，则在Rt△OEN 中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，
由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2，
即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2
解得：t＝
．
∵
≠
，
∴不存在实数t，使得点B′与点O 重合．
【点评】本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题
目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以
先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
24．
【分析】
（1）由B 与C 的坐标求出OB 与OC 的长，根据OC﹣OB 表示出BC 的长，由题意AB＝2BC，表示出AB，得
到AB＝OB，即三角形AOB 为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即
可确定出A′坐标；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A 与B 的坐标，由
＝
，表示出P 坐标，由抛物线的顶点为
A′，表示出抛物线解析式，把点E 坐标代入整理得到m 与n 的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形
相似即可得证；
（3）①当E 与原点重合时，把A 与E 坐标代入y＝ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m 的关系式；
②抛物线与四边形ABCD 有公共点，可得出抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，分两种情况考虑：
若抛物线过点C（3m，0），此时MN 的最大值为5，求出此时a 的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a 的值，
即可确定出抛物线与四边形ABCD 有公共点时a 的范围．
【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即BC＝m，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2m＝0B，
∵∠ABO＝90°，
∴△ABO 为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即A′（m，﹣m）；
故答案为：45；m，﹣m；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：
由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），
∵
＝
，
∴P（2m，m），
∵A′为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2﹣m，
∵抛物线过点E（0，n），
∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即m＝2n，
∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，
∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，
∴△D′OE∽△ABC；
（3）①当点E 与点O 重合时，E（0，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+n 过点E，A′，
∴
，
整理得：am+b＝﹣1，即b＝﹣1﹣am；
②∵抛物线与四边形ABCD 有公共点，
∴抛物线过点C 时的开口最大，过点A 时的开口最小，
若抛物线过点C（3m，0），此时MN 的最大值为5，
∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，
整理得：am＝
，即抛物线解析式为y＝
x2﹣
x，
由A（2m，2m），可得直线OA 解析式为y＝x，
联立抛物线与直线OA 解析式得：
，
解得：x＝5m，y＝5m，即M（5m，5m），
令5m＝5，即m＝1，
当m＝1 时，a＝
；
若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，
解得：am＝2，
∵m＝1，
∴a＝2，
则抛物线与四边形ABCD 有公共点时a 的范围为
≤a≤2．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线
的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
