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梦想 成人成才
《从分数到分式》典型例题
例1．下列各式中不是分式的是（ ）
A．
y
x
x
2
B．
2
1
C．
2
1
x
D．
1
3
x
x
例
2
．
分
式
)
3
)(
2
(
1
x
x
x
有
意
义
，
则
x 应
满足条件（）
A．
1
x
B．
2
x
C．
2
x
且
3
x
D．
2
x
或
3
x
例3．当x 取何值时，下列分式的值为零？
（1）
2
1
2
x
x
；
（2）
3
3
x
x
例4．
9
3
2
x
x
与
3
1
x
是同一个分式吗？
例5．若分式
x
x
2
1
2
3
的值为非负数，求x 的取值范围
例6. 判断下列有理式中，哪些是分式？
x
1
5
1
；
y
y
1
3
2 ；
2
b
a
；
c
b
a
c
b
a
；
3
1
2
x
；
2
2
3
1
2
1
y
x
；
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例7. 求使下列分式有意义的x 的取值范围：
（1）
5
2
1
x
x
； （2）
x
x
2
4
3
；
（3）
3
5
2
1
x
x
； （4）
5.0
3
2
2
2
x
x
x
。
例8. 当x 是什么数时，下列分式的值是零：
（1）
2
2
3
2
2
x
x
x
； （2）
3
3
x
x
。
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参考答案
例1．解答B
说明
①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母;
②是一个常
数，不是一
个字母
例2．分析因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0，即
0
)
3
)(
2
(
x
x
，所以
2
x
且
3
x
解
C
说明
当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要
特别注意的一点
例3．分析要使分式
的值为零，
不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零
解（1）由分子
0
1
2
x
，得
2
1
x
.又当
2
1
x
时，分母
0
2
x
. 所以当
2
1
x
时，分式
2
1
2
x
x
的值为零。
（2）由分式
0
3
x
，得
3
x
.当
3
x
时，分母
0
6
3
x
；当
3
x
时，分
母
0
3
x
.所以当
3
x
时，分式
3
3
x
x
的值为零.
例
4．分析
分式
9
3
2
x
x
有意义
的条件是
0
9
2
x
，即
3
x
和
3
.而
3
1
x
有意义的条件是
3
x
，而当
3
x
时，
3
1
x
是有意义的.
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解由于
9
3
2
x
x
与
3
1
x
有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分
式.
说明
在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然
后再考虑其他问题.
例5．分析
0
ab
可转化为
0
a
，
0
b
或
0
a
，
0
b
；
0
b
a
可转化为
0
a
，
0
b
或
0
a
，
0
b
解根据题意，得
x
x
2
1
2
3
0
，可转化为
（Ⅰ）
0
2
1
,0
2
3
x
x
和（Ⅱ）
.0
2
1
,0
2
3
x
x
由（Ⅰ）得
2
1
3
2
x
，由（Ⅱ）得
.
2
1
,
3
2
x
x
无解.
综上，x 取值范围是：
2
1
3
2
x
例6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。也就是说，有理式
不仅
应在形式上是
B
A ，更重点的是
B 中
要有字母，才可判定为分式。
解：根据分式定义，
y
y
1
3
2 ；
c
b
a
c
b
a
，
3
1
2
x
中分母均含有字母，故它们
是分式。
说明 分母中只要含有字母即可，至于字母的个数和次数不受限制；而
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分子中字母则可有可无。
例7. 分析 要使分式有意义，只需分母不为零。可以假定分母等于零，求出
相应的x 的值，在x 的取值范围内去掉这些值就为所求。
解：（1）令
0
5
2
x
，有
2
5
x
。
所以使分式
5
2
1
x
x
有意义的x 的取范围是不等于2
5 的一切有理数。
（2）令
0
2
x
，有
2
x
，即
2
x
或
2
x
。
所以使
x
x
2
4
3
有意义的x 的取值范围是不等于2 和－2 的一切有理数。
（3）令
0
3
5
2
x
x
，则有
0
2
x
或
0
3
5
x
，
即
2
x
或
5
3
x
。
所以使
3
5
2
1
x
x
有意义的x 的取值范围是不等于2 且不等于
5
3
的一切
有理数。
（4）由于
0
2
x
，那么
0
5.0
2
x
。
所以使
5.0
3
2
2
2
x
x
x
有意义x 的取值范围是一切有理数。
说明 1. 到目前为止，
分式的字
母取值是在有理数范围内，今后，随着扩充新的数，字母的取值范围将跟着扩大。
2. 如果分母是二次三项式的形式，则首先考虑分解成两个一次式的乘积，再
令分母为零。
3. 对于分式，弄清其字母的取值范围，对今后分式的进一步学习有着重要的
意义
。
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例8
. 分析 要使分式值为零，
则首先要使分式有意义，也就是要求的x 必须满足使分子为零的同时，使分母不
为零。
解： （1）x 应满足
0
2
x
①
同时满足
0
2
3
2
2
x
x
②
由①得
2
x
；
由②得
0
1
2
2
x
x
，
∴
0
2
x
或
0
1
2
x
，
而
2
x
或
2
1
x
均使分母不为零。
∴当
2
x
或
2
1
x
时，都能使分式
2
2
3
2
2
x
x
x
的值为零。
（
2）x 应满足
0
3
x
①并且
0
3
x
②。
由①得
3
x
；
由②得
3
x
，则
3
x
或
3
x
。
而
3
x
不是分母的取值范围，应当舍去。
∴当
3
x
时，分式
3
3
x
x
的值是零。
说明 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的。如果令分子为零，求出的
数，使分母也为零时
，必须舍去，所
以使分式
B
A 为零的条件是：
.0
0
A
B
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