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14.3.1 提公因式法 一、单选题 1．在 中，若有一个因式为 ，则k 的值为（ ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的意义可设 ，再利用整式乘法计算 后得 ，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解． 【详解】设 ， ∵ ， ∴ ， ， ， 解得 ， ， ． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 2．下列各式由左边到右边是因式分解且分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的意义求解即可． 【详解】A、 是整式的乘法，故A 不符合题意； B、 ，原式分解不正确，故B 不符合题意； C、 ，分解正确，故C 符合题意； D、 ，原式分解不正确，故D 不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列从左到右是因式分解的是（ ）． A．（a＋b）（a－b）＝a2－b2 B．（a＋b） 2 ＝a2＋2ab＋b2 C．（x＋2）（x－5）＝x2－3x＋10 D．x2＋2x－15＝（x－3）（x＋5） 【答案】D 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A、是整式的乘法，故A 错误； B、是整式的乘法，故B 错误； C、是整式的乘法，故C 错误； D、符合因式分解，故D 正确； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解 与整式乘法的区别． 4．下列等式中，从左到右的变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别对各选项进行变形，然后对照进行判断即可得到答案． 【详解】A、 ，原选项变形错误，故不符合题意； B、 ，原选项变形错误，故不符合题意； C、 ，原选项变形正确，故符合题意； D、 ，原选项变形错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的乘法和因式分解，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 5．对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即 可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算． 【详解】① ，从左到右的变形是整式的乘法；② ，从左到右 的变形是因式分解； 所以①是乘法运算，②因式分解． 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义． 6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答． 【详解】A、 ，不是分解因式； B、 ，不是分解因式； C、 ，是分解因式； D、 ，不是分解因式； 故选：C． 【点评】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 7．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ） A．a（m+n）＝am+an B．10x2 5x ﹣ ＝5x（2x 1 ﹣） C．x2 16+6x ﹣ ＝（x+4）（x 4 ﹣）+6x D．a2 b ﹣ 2 c ﹣2＝（a b ﹣）（a+b）﹣c2 【答案】B 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】A．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意； B．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了因式分解的定义.掌握其定义是解答此题的关键. 8．（﹣2） 2019+（﹣2） 2020等于（ ） A．﹣22019 B．﹣22020 C．22019 D．﹣2 【答案】C 【分析】直接提取公因式（−2） 2019，进而计算得出答案． 【详解】（−2） 2019＋（−2） 2020＝（−2） 2019×（1−2）＝22019． 故选：C． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 二、填空题 9．多项式 ， 与 的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】因为3x 9 ﹣＝3（x 3 ﹣），x2 9 ﹣＝（x+3）（x 3 ﹣），x2 6 ﹣x+9＝（x 3 ﹣） 2， 所以多项式3x 9 ﹣，x2 9 ﹣与x2 6 ﹣x+9 的公因式为（x 3 ﹣）． 故答案： ． 【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别 忘了“﹣1”． 10．已知 ，则 的值为______． 【答案】 【分析】由 可得 可得： 即 再把 分解因式，再整体代入求值即可． 【详解】 ， 故答案为： 【点评】本题考查的是整式的乘法，多项式的恒等，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键． 11．多项式 因式分解后有一个因式是 ，则 _______． 【答案】 【分析】由于x 的多项式y2+2y+m 分解因式后有一个因式是(y-1)，所以当y=1 时多项式的值为0，由此得到 关于m 的方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】∵多项式y2+2y+m 因式分解后有一个因式为（y-1）， ∵当y=1 时多项式的值为0， 即1+2+m=0， 解得m=-3． 故答案为：-3． 【点评】本题考查了因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解． 12．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________． 【答案】4 【分析】根据x2－3x－1＝0 可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值． 【详解】∵x2－3x－1＝0， ∴x2－3x＝1， ∴ = = 将x2－3x＝1 代入 原式= = 将x2－3x＝1 代入 原式= ， 故答案为：4． 【点评】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想． 三、解答题 13．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式 有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式px＋n，得 ＝（x＋2）（px＋n）， 对比等式左右两边x 的二次项系数，可知p＝1，于是 ＝（x＋2）（x＋n）． 则 ＝ ＋（n＋2）x＋2n， ∴n＋2＝5，m＝2n， 解得n＝3，m＝6， ∴另一个因式为x＋3，m 的值为6 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式 ﹣7x＋12 可分解为（x 3 ﹣）（x＋a），则a＝ ； （2）若二次三项式2 ＋bx 6 ﹣可分解为（2x＋3）（x 2 ﹣），则b＝ ； （3）已知代数式2 ＋ ＋kx 3 ﹣有一个因式是2x 1 ﹣，求另一个因式以及k 的值． 【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为 ＋x＋3，k 的值为5． 【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可； （2）仿照题干中给出的方法计算即可； （3）设出另一个因式为（ ），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即 可． 【详解】（1）∵ ＝ ＝ ． ∴a 3 ﹣＝﹣7，﹣3a＝12， 解得：a＝﹣4. （2）∵ ＝ ． ＝ ． ∴b＝﹣1． （3）设另一个因式为（ ），得 ． 对比左右两边三次项系数可得：a＝1． 于是 ． 则 ． ∴﹣c＝﹣3，2b 1 ﹣＝1，2c﹣b＝k． 解得：c＝3，b＝1，k＝5． 故另一个因式为 ，k 的值为5． 【点评】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以 上知识是解题关键． 14．解答下列各题： （1）计算： （2）分解因式： ． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分别计算前后两部分，然后进行加减运算即可； （2）先提取公因式5m，再利用平方差公式计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点评】本题考查整式的混合运算和因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式的法则． 15．将下列各式因式分解： （1） ； （2）（x﹣y） +6xy（y﹣x）+9（x﹣y） ． 【答案】（1）x（x+2y）（x-2y）；（2）（x﹣y） ． 【分析】（1）先提取公因式x，后变形成为 ，用平方差公式分解即可； （2）先将6xy（y﹣x）变形为－6xy（ｘ﹣ｙ），后提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】（1） = = =x（x+2y）（x-2y）； （2）（x﹣y） +6xy（y﹣x）+9（x﹣y） =（x﹣y） －6xy（x y ﹣）+9（x﹣y） =（x﹣y）（ －6xy+9 ） =（x﹣y） ． 【点评】本题考查了提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法分解因式，熟练掌握先提后套用公式 分解因式是解题的关键． 16．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为 的大 正方体进行以下探索： （1）在大正方体一角截去一个棱长为 的小正方体，如图1 所示，则得到的几何体的体积为 ________； （2）将图1 中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2 所示，∵ ， ， ， ∴长方体①的体积为 ． 类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） （3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________； （4）用不同的方法表示图1 中几何体的体积，可以得到的等式为________． （5）已知 ， ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） 【分析】（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为 从而可得答案； （2）由 利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）提取公因式 ，即可得到答案； （4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案； （5）利用 先求解 再利用 ，再整体代入 求值即可得到答案． 【详解】（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为： （2） 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为 ， 所以长方体③的体积为 故答案为： ， （3）由题意得： 故答案为： （4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为： 故答案为： （5） ， ， ， 【点评】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同 的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． 17．已知 （1）求 的值 （2）求 的值 【答案】（1）84；（2）25． 【分析】（1）先提取公因式 将所求式子因式分解为 ，再将已知式子的值代入即可得； （2）利用完全平方公式进行变形求值即可得． 【详解】（1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公 式是解题关键． 18．设 ， ，且 ．求 的值． 【答案】1． 【分析】由 ，可得 ，令 ，由 变形得 可得 因式 分解 ，由 ， ，可得 ． 【详解】∵ ， ∴ ，或 一正，两负， 说明x，y，z 同号， ∴ ， 令 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 【点评】本题考查立方根条件求值问题，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两 边平方，因式分解求出代数式的值是解题关键． 19．已知 ， ，求下列各式的值． （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2）68 【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式（x y ﹣） 2=(x+y)2 4xy ﹣ 进行求解即可； （2）利用完全平方公式求解x2+y2，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解． 【详解】（1）∵ ， ， ∴（x y ﹣） 2=(x+y)2 4xy=5 ﹣ 2 4×4=9 ﹣ ， ∴x y=±3 ﹣ ； （2）∵（x+y） 2= x2+y2+2xy， ∴x2+y2=52 2×4=17 ﹣ ， ∴ =xy(x2+y2)=4×17=68． 【点评】本题考查代数式求值、完全平方公式、平方根、因式分解、有理数的混合运算，熟记完全平方公 式，灵活运用公式是解答的关键． 20．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m 的值． 解：设另一个因式为 ，得 ， 则 ， ， ， 解得 ， ， ∴另一个因式为 ，m 的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式 可分解为 ，则 ________； （2）若二次三项式 可分解为 ，则 ________； （3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k 的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）另一个因式为 ，k 的值为5． 【分析】（1）将 展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值； （2）（2x+3）（x 2 ﹣）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值； （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x 1 ﹣）（x+n），可知2n 1 ﹣＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n 和k 的值及另一个因式． 【详解】（1）∵ ＝x2+（a 1 ﹣）x﹣a＝ ， ∴a 1 ﹣＝﹣5， 解得：a＝﹣4； 故答案是：﹣4 （2）∵（2x+3）（x 2 ﹣）＝2x2﹣x 6 ﹣＝2x2+bx 6 ﹣， ∴b＝﹣1． 故答案是：﹣1． （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x 1 ﹣）（x+n）， 则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n 1 ﹣）x﹣n， ∴2n 1 ﹣＝9，﹣k＝﹣n， 解得n＝5，k＝5， ∴另一个因式为x+5，k 的值为5． 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式 乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
