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2018 年上海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分。下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的）
1．（4.00 分）（2018•上海）下列计算
﹣
的结果是（ ）
A．4B．3C．2
D．
2．（4.00 分）（2018•上海）下列对一元二次方程x2+x
3=0
﹣
根的情况的判断，正确
的是（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
3．（4.00 分）（2018•上海）下列对二次函数y=x2
x
﹣的图象的描述，正确的是
（ ）
A．开口向下B．对称轴是y 轴
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
4．（4.00 分）（2018•上海）据统计，某住宅楼30 户居民五月份最后一周每天实行
垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众
数分别是（ ）
A．25 和30 B．25 和29 C．28 和30 D．28 和29
5．
（4.00 分）
（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行
四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD
D．AB⊥BC
6．（4.00 分）（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B 在射线OQ 上（点A 在点
O、B 之间），半径长为2 的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3 的⊙B 与⊙A 相交，那
么OB 的取值范围是（ ）
第1页（共28页）
A．5＜OB＜9
B．4＜OB＜9
C．3＜OB＜7
D．2＜OB＜7
二、填空题（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）
7．（4.00 分）（2018•上海）﹣8 的立方根是 ．
8．（4.00 分）（2018•上海）计算：（a+1）2
a
﹣
2= ．
9．（4.00 分）（2018•上海）方程组
的解是 ．
10．（4.00 分）（2018•上海）某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价
是 元．（用含字母a 的代数式表示）．
11．（4.00 分）（2018•上海）已知反比例函数y=
（k 是常数，k≠1）的图象有一
支在第二象限，那么k 的取值范围是 ．
12．（4.00 分）（2018•上海）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九
年级200 名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20
30
﹣
元这个
小组的组频率是 ．
13．（4.00 分）（2018•上海）从
，π，
这三个数中选一个数，选出的这个数是无
理数的概率为 ．
14．（4.00 分）（2018•上海）如果一次函数y=kx+3（k 是常数，k≠0）的图象经过点
（1，0），那么y 的值随x 的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
15．（4.00 分）（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E 是边BC 的中点，联结
DE 并延长，与AB 的延长线交于点F．设
= ，
= 那么向量
用向量、表示
为 ．
第2页（共28页）
16．（4.00 分）（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题
转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2 条
那么该多边形的内角和是 度．
17．（4.00 分）（2018•上海）如图，已知正方形DEFG 的顶点D、E 在△ABC 的边BC
上，顶点G、F 分别在边AB、AC 上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形
的边长是 ．
18．（4.00 分）（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个
水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如
图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩
形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是宽的
，那么它的宽的值是 ．
三、解答题（本大题共7 题，满分78 分）
第3页（共28页）
19．（10.00 分）（2018•上海）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出
来．
20．（10.00 分）（2018•上海）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a=
．
21．（10.00 分）（2018•上海）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC=
．
（1）求边AC 的长；
（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D，求
的值．
22．（10.00 分）（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y
（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过
程中，行驶了500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有30 千米的路程，在开
往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
23．（12.00 分）（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，
BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
第4页（共28页）
（1）求证：EF=AE
BE
﹣
；
（2）联结BF，如课
=
．求证：EF=EP．
24．
（12.00 分）
（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D 在其对称轴上且位于点C
下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD 的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如
果点M 在y 轴上，且以O、D、E、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
25．（14.00 分）（2018•上海）已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E．且
OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC 的长；
（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正
第5页（共28页）
（n+4）边形的一边，求△ACD 的面积．
第6页（共28页）
2018 年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分。下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的）
1．（4.00 分）（2018•上海）下列计算
﹣
的结果是（ ）
A．4B．3C．2
D．
【分析】先化简，再合并同类项即可求解．
【解答】解：
﹣
=3
﹣
=2
．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次
根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根
式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
2．（4.00 分）（2018•上海）下列对一元二次方程x2+x
3=0
﹣
根的情况的判断，正确
的是（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程
x2+x
3=0
﹣
有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=
3
﹣，
∴△=b2
4ac=1
﹣
2
4
﹣×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x
3=0
﹣
有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
第7页（共28页）
3．（4.00 分）（2018•上海）下列对二次函数y=x2
x
﹣的图象的描述，正确的是
（ ）
A．开口向下B．对称轴是y 轴
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A 不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=
，选项B 不正确；
C、代入x=0 求出y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项C 正确；
D、由a=1＞0 及抛物线对称轴为直线x=
，利用二次函数的性质，可得出当x＞
时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确．
综上即可得出结论．
【解答】解：A、∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，选项A 不正确；
B、∵﹣
=
，
∴抛物线的对称轴为直线x=
，选项B 不正确；
C、当x=0 时，y=x2
x=0
﹣
，
∴抛物线经过原点，选项C 正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=
，
∴当x＞
时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质
逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
4．（4.00 分）（2018•上海）据统计，某住宅楼30 户居民五月份最后一周每天实行
垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众
数分别是（ ）
第8页（共28页）
A．25 和30 B．25 和29 C．28 和30 D．28 和29
【分析】根据中位数和众数的概念解答．
【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29 出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选：D．
【点评】本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从
大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据
的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．
（4.00 分）
（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行
四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD
D．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四
边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关
于各个图形的性质以及判定．
6．（4.00 分）（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B 在射线OQ 上（点A 在点
O、B 之间），半径长为2 的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3 的⊙B 与⊙A 相交，那
么OB 的取值范围是（ ）
第9页（共28页）
A．5＜OB＜9
B．4＜OB＜9
C．3＜OB＜7
D．2＜OB＜7
【分析】作半径AD，根据直角三角形30 度角的性质得：OA=4，再确认⊙B 与⊙A 相
切时，OB 的长，可得结论．
【解答】解：设⊙A 与直线OP 相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3
2=5
﹣
；
当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3 的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是：5＜OB＜9，
故选：A．
第10页（共28页）
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆
相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB 的取值
范围．
二、填空题（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）
7．（4.00 分）（2018•上海）﹣8 的立方根是 ﹣
2
．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3=
8
﹣，
∴﹣8 的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a，即x 的三次
方等于a（x3=a），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次
根号a”其中，a 叫做被开方数，3 叫做根指数．
8．（4.00 分）（2018•上海）计算：（a+1）2
a
﹣
2=
2a
+ 1
．
【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．
【解答】解：原式=a2+2a+1
a
﹣
2=2a+1，
故答案为：2a+1
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（4.00 分）（2018•上海）方程组
的解是
，
．
【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，
再代入求出y 即可．
第11页（共28页）
【解答】解：
②+①得：x2+x=2，
解得：x=
2
﹣或1，
把x=
2
﹣代入①得：y=
2
﹣，
把x=1 代入①得：y=1，
所以原方程组的解为
，
，
故答案为：
，
．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把二元二次方程组转化成一元二次方程是
解此题的关键．
10．（4.00 分）（2018•上海）某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价
是
0.8a
元．（用含字母a 的代数式表示）．
【分析】根据实际售价=原价×
即可得．
【解答】解：根据题意知售价为0.8a 元，
故答案为：0.8a．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的
关系．
11．（4.00 分）（2018•上海）已知反比例函数y=
（k 是常数，k≠1）的图象有一
支在第二象限，那么k 的取值范围是
k ＜
1
．
【分析】由于在反比例函数y=
的图象有一支在第二象限，故k
1
﹣＜0，求出k
的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=
的图象有一支在第二象限，
第12页（共28页）
∴k
1
﹣＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题
的关键．
12．（4.00 分）（2018•上海）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九
年级200 名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20
30
﹣
元这个
小组的组频率是
0.25
．
【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得．
【解答】解：20
30
﹣
元这个小组的组频率是50÷200=0.25，
故答案为：0.25．
【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．
13．（4.00 分）（2018•上海）从
，π，
这三个数中选一个数，选出的这个数是无
理数的概率为
．
【分析】由题意可得共有3 种等可能的结果，其中无理数有π、
共2 种情况，则
可利用概率公式求解．
【解答】解：∵在
，π，
这三个数中，无理数有π，
这2 个，
∴选出的这个数是无理数的概率为
，
故答案为：
．
第13页（共28页）
【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（4.00 分）（2018•上海）如果一次函数y=kx+3（k 是常数，k≠0）的图象经过点
（1，0），那么y 的值随x 的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k 值，再利用一次
函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=kx+3（k 是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=k+3，
∴k=
3
﹣，
∴y 的值随x 的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k
＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．
15．（4.00 分）（2018•上海）如图，已知平行四边形ABCD，E 是边BC 的中点，联结
DE 并延长，与AB 的延长线交于点F．设
= ，
= 那么向量
用向量、表示
为 + 2 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC 是平行四边形，则
DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【解答】解：如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
第14页（共28页）
又E 是边BC 的中点，
∴
=
=
，
∴EC=BE，即点E 是DF 的中点，
∴四边形DBFC 是平行四边形，
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，
∴
=
+
=
+2
= +2 ．
故答案是：+2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形
的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．
16．（4.00 分）（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题
转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2 条
那么该多边形的内角和是
540
度．
【分析】利根据题意得到2 条对角线将多边形分割为3 个三角形，然后根据三角形
内角和可计算出该多边形的内角和．
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2 条，则将多边形分割为
3 个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
故答案为540．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n
2
﹣）•180 （n≥3）
且n 为整数）．此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n
3
﹣）条
对角线，将n 边形分割为（n
2
﹣）个三角形．
第15页（共28页）
17．（4.00 分）（2018•上海）如图，已知正方形DEFG 的顶点D、E 在△ABC 的边BC
上，顶点G、F 分别在边AB、AC 上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形
的边长是
．
【分析】作AH⊥BC 于H，交GF 于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，
设正方形DEFG 的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3
x
﹣，再证明△AGF∽△ABC，则
根据相似三角形的性质得
=
，然后解关于x 的方程即可．
【解答】解：作AH⊥BC 于H，交GF 于M，如图，
∵△ABC 的面积是6，
∴
BC•AH=6，
∴AH=
=3，
设正方形DEFG 的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3
x
﹣，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
=
，即
=
，解得x=
，
即正方形DEFG 的边长为
．
故答案为
．
第16页（共28页）
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻
找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的
性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正下方的性质．
18．（4.00 分）（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个
水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如
图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩
形的高．如图2，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是宽的
，那么它的宽的值是
．
【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=
x，根据勾股定理列方程可得
结论．
【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=x，则CF=
x，
在Rt△CBF 中，CB=1，BF=x
1
﹣，
由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，
，
解得：x=
或0（舍），
即它的宽的值是
，
故答案为：
．
第17页（共28页）
【点评】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的
宽和高是关键．
三、解答题（本大题共7 题，满分78 分）
19．（10.00 分）（2018•上海）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出
来．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不
等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上
面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有
几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”
要用空心圆点表示．
第18页（共28页）
20．（10.00 分）（2018•上海）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a=
．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可
得．
【解答】解：原式=[
﹣
]÷
=
•
=
，
当a=
时，
原式=
=
=5
2
﹣
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和
运算法则．
21．（10.00 分）（2018•上海）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC=
．
（1）求边AC 的长；
（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D，求
的值．
【分析】（1）过A 作AE⊥BC，在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出
AC 的长即可；
（2）由DF 垂直平分BC，求出BF 的长，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，利用
勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作A 作AE⊥BC，
第19页（共28页）
在Rt△ABE 中，tan∠ABC=
=
，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC
BE=5
4=1
﹣
﹣
，
在Rt△AEC 中，根据勾股定理得：AC=
=
；
（2）∵DF 垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=
，
∵tan∠DBF=
=
，
∴DF=
，
在Rt△BFD 中，根据勾股定理得：BD=
=
，
∴AD=5﹣
=
，
则
=
．
【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性
质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
22．（10.00 分）（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y
（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过
程中，行驶了500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有30 千米的路程，在开
往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
第20页（共28页）
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据
一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5 升时行驶的路程，此题得解
【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b 中，
，解得：
，
∴该一次函数解析式为y=﹣
x+60．
（2）当y=﹣
x+60=8 时，
解得x=520．
即行驶520 千米时，油箱中的剩余油量为8 升．
530
520=10
﹣
千米，
油箱中的剩余油量为8 升时，距离加油站10 千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10 千米．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数
图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题
的关键．
23．（12.00 分）（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，
BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE
BE
﹣
；
（2）联结BF，如课
=
．求证：EF=EP．
第21页（共28页）
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到
∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；
（2）利用
=
和AF=BE 得到
=
，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以
∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE 和△DAF 中
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，
∴EF=AE
AF=AE
BE
﹣
﹣
；
（2）如图，∵
=
，
而AF=BE，
∴
=
，
∴
=
，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠4=∠3，
第22页（共28页）
而∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5，
即BE 平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF=EP．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也
考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
24．
（12.00 分）
（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D 在其对称轴上且位于点C
下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD 的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如
果点M 在y 轴上，且以O、D、E、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
第23页（共28页）
（2）利用配方法得到y=﹣（x
2
﹣）2+
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和
抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得
∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣
x2+2x+
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；
（3）P 点坐标为（4，），D 点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标
为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0 时，利用梯形面积公式得到
•（m+
+2）•2=8
当m＜0 时，利用梯形面积公式得到
•（﹣m+
+2）•2=8，然后分别解方程求出m
即可得到对应的M 点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣
x2+bx+c 得
，解
得
，
∴抛物线解析式为y=﹣
x2+2x+
；
（2）∵y=﹣
（x
2
﹣）2+
，
∴C（2，
），抛物线的对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2，
﹣t），
∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，
﹣t），
第24页（共28页）
把P（2+t，
﹣t）代入y=﹣
x2+2x+
得﹣
（2+t）2+2（2+t）+
=
t
﹣，
整理得t2
2t=0
﹣
，解得t1=0（舍去），t2=2，
∴线段CD 的长为2；
（3）P 点坐标为（4，
），D 点坐标为（2，
），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，
）移到原点O 的位置，
∴抛物线向左平移2 个单位，向下平移
个单位，
而P 点（4，
）向左平移2 个单位，向下平移
个单位得到点E，
∴E 点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0 时，
•（m+
+2）•2=8，解得m=
，此时M 点坐标为（0，
）；
当m＜0 时，•（﹣m+
+2）•2=8，解得m=﹣
，此时M 点坐标为（0，﹣
）；
综上所述，M 点的坐标为（0，
）或（0，﹣
）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图
形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
25．（14.00 分）（2018•上海）已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E．且
OD⊥AC，垂足为点F．
第25页（共28页）
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC 的长；
（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正
（n+4）边形的一边，求△ACD 的面积．
【分析】（1）由AC=BD 知
+
=
+
，得
=
，根据OD⊥AC 知
=
，从而得
=
=
，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF 可得答案；
（2）连接BC，设OF=t，证OF 为△ABC 中位线及△DEF≌△BEC 得BC=DF=2t，由
DF=1
t
﹣可得t=
，即可知BC=DF=
，继而求得EF=
AC=
，由余切函数定义可
得答案；
（3）先求出BC、CD、AD 所对圆心角度数，从而求得BC=AD=
、OF=
，从而根据
三角形面积公式计算可得．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴
=
，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴
=
，即
+
=
+
，
∴
=
，
∴
=
=
，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
第26页（共28页）
∴AF=AOsin∠AOF=1×
=
，
则AC=2AF=
；
（2）如图1，连接BC，
∵AB 为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF 是△ABC 的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO
OF=1
t
﹣
﹣，
∴1
t=2t
﹣
，
解得：t=
，
则DF=BC=
、AC=
=
=
，
∴EF=
FC=
AC=
，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
第27页（共28页）
则cot∠ABD=cot∠D=
=
=
；
（3）如图2，
∵BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=
、∠AOD=∠COD=
，
则
+2×
=180，
解得：n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC=
，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcos∠AOF=
，
则DF=OD
OF=1
﹣
﹣
，
∴S△ACD=
AC•DF=
×
×（1﹣
）=
．
【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位
线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．
第28页（共28页）
