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2018 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A．﹣1 B．1C．5D．﹣5
2．（3.00 分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时
长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据
如图，在下列选项中指出白昼时长低于11 小时的节气（ ）
A．惊蛰B．小满C．立秋D．大寒
3．（3.00 分）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
4．（3.00 分）下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可
知小正方体的个数为（ ）
A．6 个B．5 个C．4 个D．3 个
5．（3.00 分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现
的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3 个红球和2 个黄球，从中随机取一个，取到红
球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7 或
超过9
6．（3.00 分）若以二元一次方程x+2y
b=0
﹣
的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣
x+b
l
﹣上，则常数b=（ ）
A．
B．2C．﹣1 D．1
7．（3.00 分）随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，
已知前年和去的年收入分别是60000 元和80000 元，下面是依据①②③三种农作
物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图．依据统计图得出
的以下四个结论正确的是（ ）
A．①的收入去年和前年相同
B．③的收入所占比例前年的比去年的大
C．去年②的收入为2.8 万
D．前年年收入不止①②③三种农作物的收入
8．（3.00 分）顺次连接平面上A、B、C、D 四点得到一个四边形，从
①AB∥CD ②BC=AD ③∠A=∠C ④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出
“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5 种B．4 种C．3 种D．1 种
9．（3.00 分）下列运算及判断正确的是（ ）#ERR1
A．﹣5×
÷（﹣
）×5=1
B．方程（x2+x
1
﹣）x+3=1 有四个整数解
C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=
D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限
10．
（3.00 分）若满足
＜x≤1 的任意实数x，都能使不等式2x3
x
﹣2
mx
﹣
＞2 成立，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
二、填空题（本题共6 小题，每题3 分，共18 分）
11．（3.00 分）分解因式：a2b
9b=
﹣
．
12．（3.00 分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 ．
13．（3.00 分）文具店销售某种笔袋，每个18 元，小华去购买这种笔袋，结账时店
员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36 元”，小华说：
“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款
元．
14．（3.00 分）已知函数y=（2k
1
﹣）x+4（k 为常数），若从﹣3≤k≤3 中任取k 值，则
得到的函数是具有性质“y 随x 增加而增加”的一次函数的概率为 ．
15．（3.00 分）若不等式组
的解集中的任意x，都能使不等式x
5
﹣＞0
成立，则a 的取值范围是 ．
16．（3.00 分）如图，已知正方形ABCD，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A
重合），且AM＜AB，△CBE 由△DAM 平移得到．若过点E 作EH⊥AC，H 为垂足，则
有以下结论：①点M 位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M 运动到
何处，都有DM=
HM；③无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135°．其中正
确结论的序号为 ．
三、解答题（本题共9 题，72 分）
17．（10.00 分）计算
（1）计算：2
2
﹣+（3
﹣
）÷
3sin45°
﹣
；
（2）解方程：
+1=
．
18．（6.00 分）如图，已知A、F、C、D 四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且
AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度．
19．（8.00 分）下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料．
月收
入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
2000
人数
1
1
1
3
6
1
11
2
（1）请计算以上样本的平均数和中位数；
（2）甲乙两人分别用样本平均数和中位数来估计推断公司全体员工月收入水平，
请你写出甲乙两人的推断结论
；
（3）指出谁的推断比较科学合理，能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说
出另一个人的推断依据不能真实反映公司全体员工月收入水平的原因．
20．（8.00 分）如图，已知A（6，0），B（8，5），将线段OA 平移至CB，点D 在x 轴正
半轴上（不与点A 重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）求对角线AC 的长；
（2）设点D 的坐标为（x，0），△ODC 与△ABD 的面积分别记为S1，S2．设S=S1
S
﹣2，
写出S 关于x 的函数解析式，并探究是否存在点D 使S 与△DBC 的面积相等？如
果存在，用坐标形式写出点D 的位置；如果不存在，说明理由．
21．（7.00 分）如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600 米，且这段斜坡的坡度
i=1：3（沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B
处测得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45°．求山顶A 到地
面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
22．（6.00 分）已知变量x、y 对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x
…
4
﹣
3
﹣
2
﹣
1
﹣
1
2
3
4
…
y
…
1
2
2
﹣
1
﹣
﹣
﹣
…
（1）依据表中给出的对应关系写出函数解析式，并在给出的坐标系中画出大致图
象；
（2）在这个函数图象上有一点P（x，y）（x＜0），过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，
并延长与直线y=x
2
﹣交于A、B 两点，若△PAB 的面积等于
，求出P 点坐标．
23．（7.00 分）已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，
请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=
．
24．（10.00 分）如图，已知BC⊥AC，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与⊙O
的交点，点D 是MB 与⊙O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且
=
．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求
的值．
25．（10.00 分）某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问
题．已知前7 年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间
x（第x 年）的关系构成一次函数，（1≤x≤7 且x 为整数），且第一和第三年竣工投
入使的公租房面积分别为
和
百万平方米；后5 年每年竣工投入使用的公租
房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x 年）的关系是y=﹣
x+
（7＜x≤12
且x 为整数）．
（1）已知第6 年竣工投入使用的公租房面积可解决20 万人的住房问题，如果人均
住房面积，最后一年要比第6 年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房
面积可解决多少万人的住房问题？
（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12 年中，每年竣工投入使用的公租房的租
金各不相同，且第一年，一年38 元/m2，第二年，一年40 元/m2，第三年，一年42
元/m2，第四年，一年44 元/m2……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能
否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；
（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12 年中每年竣
工投入使用的公租房的年租金W 关于时间x 的函数解析式，并求出W 的最大值
（单位：亿元）．如果在W 取得最大值的这一年，老张租用了58m2的房子，计算老
张这一年应交付的租金．
2018 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A．﹣1 B．1C．5D．﹣5
【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣3﹣（﹣2）=
3
﹣+2=
1
﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（3.00 分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时
长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据
如图，在下列选项中指出白昼时长低于11 小时的节气（ ）
A．惊蛰B．小满C．立秋D．大寒
【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、惊蛰白昼时长为11.5 小时，高于11 小时，不符合题意；
B、小满白昼时长为14.5 小时，高于11 小时，不符合题意；
C、秋分白昼时长为12.2 小时，高于11 小时，不符合题意；
D、大寒白昼时长为9.8 小时，低于11 小时，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够读懂函数的图象并从中整
理出进一步解题的有关信息，难度不大．
3．（3.00 分）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
【分析】n 边形的内角和是（n
2
﹣）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一
个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n 边形的内角和公式，得
（n
2
﹣）•180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出
方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方
程的问题来解决．
4．（3.00 分）下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可
知小正方体的个数为（ ）
A．6 个B．5 个C．4 个D．3 个
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
根据三视图的知识，该几何体的底层应有3 个小正方体，第二层应有1 个小正方
体．
【解答】解：综合三视图，这个立体图形的底层应该有3 个，第二层应该有1 个小
正方体，
因此构成这个立体图形的小正方体的个数是3+1=4 个．
故选：C．
【点评】本题考查了学生对三视图的理解和运用能力，同时也考查了空间想象能
力．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得
到答案．
5．（3.00 分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现
的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3 个红球和2 个黄球，从中随机取一个，取到红
球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7 或
超过9
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33 附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个
选项的概率，约为0.33 者即为正确答案．
【解答】解：A、袋中装有大小和质地都相同的3 个红球和2 个黄球，从中随机取一
个，取到红球的概率为
，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为
，不符合
题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为
，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7 或
超过9 的概率为
，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到
的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
6．（3.00 分）若以二元一次方程x+2y
b=0
﹣
的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣
x+b
l
﹣上，则常数b=（ ）
A．
B．2C．﹣1 D．1
【分析】直线解析式乘以2 后和方程联立解答即可．
【解答】解：因为以二元一次方程x+2y
b=0
﹣
的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣
x+b
l
﹣上，
直线解析式乘以2 得2y=
x
﹣+2b
2
﹣，变形为：x+2y
2b
﹣
+2=0
所以﹣b=
2b
﹣
+2，
解得：b=2，
故选：B．
【点评】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2 后和
方程联立解答．
7．（3.00 分）随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，
已知前年和去的年收入分别是60000 元和80000 元，下面是依据①②③三种农作
物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图．依据统计图得出
的以下四个结论正确的是（ ）
A．①的收入去年和前年相同
B．③的收入所占比例前年的比去年的大
C．去年②的收入为2.8 万
D．前年年收入不止①②③三种农作物的收入
【分析】根据扇形统计图中各项目的圆心角即可得出每部分占总体的百分比，据
此对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：A、前年①的收入为60000×
=19500，去年①的收入为80000×
=26000，此选项错误；
B、前年③的收入所占比例为
×100%=30%，去年③的收入所占比例
为
×1005=32.5%，此选项错误；
C、去年②的收入为80000×
=28000=2.8（万元），此选项正确；
D、前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表
示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，并且通过扇形统
计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
8．（3.00 分）顺次连接平面上A、B、C、D 四点得到一个四边形，从
①AB∥CD ②BC=AD ③∠A=∠C ④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出
“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5 种B．4 种C．3 种D．1 种
【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．
【解答】解；当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD 为平行四边形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的
四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四
边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．（3.00 分）下列运算及判断正确的是（ ）#ERR1
A．﹣5×
÷（﹣
）×5=1
B．方程（x2+x
1
﹣）x+3=1 有四个整数解
C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=
D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限
【分析】依据有理数的乘除混合运算法则、零指数幂、同底数幂的乘法法则以及点
的坐标，进行判断即可得出结论．
【解答】解：A．﹣5×
÷（﹣
）×5=
1
﹣×（﹣5）×5=25，故错误；
B．方程（x2+x
1
﹣）x+3=1 有四个整数解：x=1，x=
2
﹣，x=
3
﹣，x=
1
﹣，故正确；
C．若a×5673=103，a÷103=b，则a×b=
×
=
，故错误；
D．有序数对（m2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限或第四象
限或x 轴正半轴上，故错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标，有理数的混合运算以及零指数幂的综合运用，
解题时注意：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
10．
（3.00 分）若满足
＜x≤1 的任意实数x，都能使不等式2x3
x
﹣2
mx
﹣
＞2 成立，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
【分析】根据题意可以得到关于m 的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性
质可以去的m 的取值范围．
【解答】解：∵满足
＜x≤1 的任意实数x，都能使不等式2x3
x
﹣2
mx
﹣
＞2 成立，
∴m＜
，
∴m≤﹣4
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题
的关键是明确题意，求出相应的m 的取值范围．
二、填空题（本题共6 小题，每题3 分，共18 分）
11．（3.00 分）分解因式：a2b
9b=
﹣
b （
a + 3 ）（
a
3
﹣
）
．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b
9b
﹣
=b（a2
9
﹣）
=b（a+3）（a
3
﹣）．
故答案为：b（a+3）（a
3
﹣）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分
解因式是解题关键．
12．（3.00 分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为
：
1
．
【分析】先化成同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O 的半径为R，求出
正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【解答】解：设⊙O 的半径为r，⊙O 的内接正方形ABCD，如图，
过O 作OQ⊥BC 于Q，连接OB、OC，即OQ 为正方形ABCD 的边心距，
∵四边形BACD 是正方形，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，
∴O 为正方形ABCD 的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=
R；
设⊙O 的内接正△EFG，如图，
过O 作OH⊥FG 于H，连接OG，即OH 为正△EFG 的边心距，
∵正△EFG 是⊙O 的外接圆，
∴∠OGF=
∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=
R，
∴OQ：OH=（
R）：（
R）=
：1，
故答案为：
：1．
【点评】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的
性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键
13．（3.00 分）文具店销售某种笔袋，每个18 元，小华去购买这种笔袋，结账时店
员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36 元”，小华说：
“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款
486
元．
【分析】设小华购买了x 个笔袋，根据原单价×购买数量（x
1
﹣）﹣打九折后的单
价×购买数量（x）=节省的钱数，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出
小华购买的数量，再根据总价=单价×0.9×购买数量，即可求出结论．
【解答】解：设小华购买了x 个笔袋，
根据题意得：18（x
1
﹣）﹣18×0.9x=36，
解得：x=30，
∴18×0.9x=18×0.9×30=486．
答：小华结账时实际付款486 元．
故答案为：486．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程
是解题的关键．
14．（3.00 分）已知函数y=（2k
1
﹣）x+4（k 为常数），若从﹣3≤k≤3 中任取k 值，则
得到的函数是具有性质“y 随x 增加而增加”的一次函数的概率为
．
【分析】直接利用一次函数增减性结合k 的取值范围进而得出答案．
【解答】解：当2k
1
﹣＞0 时，
解得：k＞
，则
＜k≤3 时，y 随x 增加而增加，
故﹣3≤k＜
时，y 随x 增加而减小，
则得到的函数是具有性质“y 随x 增加而增加”的一次函数的概率为：
=
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了概率公式以及一次函数的性质，关键是掌握概率的计算
方法．
15．（3.00 分）若不等式组
的解集中的任意x，都能使不等式x
5
﹣＞0
成立，则a 的取值范围是
a ≤
﹣
6
．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a 的不等式，求出不等式
的解集，再判断即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2a，
解不等式②得：x＞﹣
a+2，
又∵不等式x
5
﹣＞0 的解集是x＞5，
∴﹣2a≥5 或﹣
a+2≥5，
解得：a≤﹣2.5 或a≤﹣6，
经检验a≤﹣2.5 不符合，
故答案为：a≤﹣6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一样 一次不等式组，能得出关于a 的
不等式是解此题的关键．
16．（3.00 分）如图，已知正方形ABCD，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A
重合），且AM＜AB，△CBE 由△DAM 平移得到．若过点E 作EH⊥AC，H 为垂足，则
有以下结论：①点M 位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M 运动到
何处，都有DM=
HM；③无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135°．其中正
确结论的序号为
①②③
．
【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM 是等腰直角三角形，进而
得出DM=
HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°
45°=15°
﹣
，即可得到Rt△ADM
中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A
重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．
【解答】解：由题可得，AM=BE，
∴AB=EM=AD，
∵四边形ABCD 是正方形，EH⊥AC，
∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，
∴EH=AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，
∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM 是等腰直角三角形，
∴DM=
HM，故②正确；
当∠DHC=60°时，∠ADH=60°
45°=15°
﹣
，
∴∠ADM=45°
15°=30°
﹣
，
∴Rt△ADM 中，DM=2AM，
即DM=2BE，故①正确；
∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC=45°，
∴∠CHM＞135°，故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形
的判定与性质的综合运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
三、解答题（本题共9 题，72 分）
17．（10.00 分）计算
（1）计算：2
2
﹣+（3
﹣
）÷
3sin45°
﹣
；
（2）解方程：
+1=
．
【分析】（1）根据实数混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：（1）原式=﹣
+（9
﹣
）÷
3
﹣×
=﹣
+
+
﹣
=3
；
（2）两边都乘以x
2
﹣，得：x
3
﹣+x
2=
3
﹣
﹣，
解得：x=1，
检验：x=1 时，x
2=
1
﹣
﹣≠0，
所以分式方程的解为x=1．
【点评】本题主要考查实数的混合运算与解分式方程的能力，解题的关键是掌握
解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
18．（6.00 分）如图，已知A、F、C、D 四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且
AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度．
【分析】（1）根据SAS 即可证明．
（2）解直角三角形求出DF、OE、OF 即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF．
（2）如图，连接AB 交AD 于O．
在Rt△EFD 中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF=
=5，
∵四边形EFBC 是菱形，
∴BE⊥CF，'∴EO=
=
，
∴OF=OC=
=
，
∴CF=
，
∴AF=CD=DF
FC=5
﹣
﹣
=
．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．（8.00 分）下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料．
月收
入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
2000
人数
1
1
1
3
6
1
11
2
（1）请计算以上样本的平均数和中位数；
（2）甲乙两人分别用样本平均数和中位数来估计推断公司全体员工月收入水平，
请你写出甲乙两人的推断结论
；
（3）指出谁的推断比较科学合理，能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说
出另一个人的推断依据不能真实反映公司全体员工月收入水平的原因．
【分析】（1）要求平均数只要求出各个数据之和再除以数据个数即可；对于中位
数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中
间的两个数）即可；
（2）甲从员工平均工资水平的角度推断公司员工月收入，乙从员工中间工资水平
的角度推断公司员工的收入；
（3）推断的合理性取决于数据的极差、某些数据的集中程度等因素．
【
解
答
】
解
：
（
1
）
样
本
的
平
均
数
为
：
=6150；
这组数据共有26 个，第13、14 个数据分别是3400、3000，
所以样本的中位数为：
=3200．
（2）甲：由样本平均数6150 元，估计公司全体员工月平均收入大约为6150 元；
乙：由样本中位数为3200 元，估计公司全体员工约有一半的月收入超过3200 元，
约有一半的月收入不足3200 元．
（3）乙的推断比较科学合理．
由题意知样本中的26 名员工，只有3 名员工的收入在6150 元以上，原因是该样
本数据极差较大，
所以平均数不能真实的反映实际情况．
【点评】本题考查了计算平均数和中位数，并用中位数和平均数说明具体问题．题
目难度不大，有的问题的答案不唯一．
20．（8.00 分）如图，已知A（6，0），B（8，5），将线段OA 平移至CB，点D 在x 轴正
半轴上（不与点A 重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）求对角线AC 的长；
（2）设点D 的坐标为（x，0），△ODC 与△ABD 的面积分别记为S1，S2．设S=S1
S
﹣2，
写出S 关于x 的函数解析式，并探究是否存在点D 使S 与△DBC 的面积相等？如
果存在，用坐标形式写出点D 的位置；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）根据平移的性质可以求得点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式
即可求得AC 的长；
（2）根据题意，可以分别表示出S1，S2，从而可以得到S 关于x 的函数解析式，由图
和题目中的条件可以求得△CDB 的面积，从而可以求得满足条件的点D 的坐标，
本题得以解决．
【解答】解：（1）∵A（6，0），B（8，5），线段OA 平移至CB，
∴点C 的坐标为（2，5），
∴AC=
=
；
（2）当点D 在线段OA 上时，
S1=
=
，S2=
=
，
∴S=S1
S
﹣2=
=5x
15
﹣
，
当点D 在OA 的延长线上时，
S1=
=
，S2=
=
，
∴S=S1
S
﹣2=
=15，
由上可得，S=
，
∵S△DBC=
=15，
∴点D 在OA 的延长线上的任意一点都满足条件，
∴点D 的坐标为（x，0）（x＞6）．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、平移的性质、两点间的距离公式，解答本
题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨
论的数学思想解答．
21．（7.00 分）如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600 米，且这段斜坡的坡度
i=1：3（沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B
处测得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45°．求山顶A 到地
面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【分析】作DH⊥BC 于H．设AE=x．在Rt△ABC 中，根据tan∠ABC=
，构建方程即
可解决问题；
【解答】解：作DH⊥BC 于H．设AE=x．
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH 中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60
，BH=180
，
在Rt△ADE 中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60
，
在Rt△ABC 中，tan33°=
，
∴x=
，
∴AC=AE+EC=
+60
=
．
答：山顶A 到地面BC 的高度AC 是
米
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22．（6.00 分）已知变量x、y 对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x
…
4
﹣
3
﹣
2
﹣
1
﹣
1
2
3
4
…
y
…
1
2
2
﹣
1
﹣
﹣
﹣
…
（1）依据表中给出的对应关系写出函数解析式，并在给出的坐标系中画出大致图
象；
（2）在这个函数图象上有一点P（x，y）（x＜0），过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，
并延长与直线y=x
2
﹣交于A、B 两点，若△PAB 的面积等于
，求出P 点坐标．
【分析】（1）根据图可知xy=
2
﹣，再根据表格秒点即可画出图象；
（2）设点P（x，
），则点A（x，x
2
﹣），由题意可知△PAB 是等腰三角形，可列出
﹣x+2=5，从而可求出x 的值．
【解答】解：（1）由图可知：y=
（2）设点P（x，
），则点A（x，x
2
﹣）
由题意可知△PAB 是等腰三角形，
∵S△PAB=
，
∴PA=PB=5，
∵x＜0，
∴PA=yP
y
﹣A=
x
﹣+2
即
﹣x+2=5
解得：x1=
2
﹣，x2=
1
﹣
∴点P（﹣2，1）或（﹣1，2）
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例
函数的解析式，本题数中等题型．
23．（7.00 分）已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，
请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=
．
【分析】由a 不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项
移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方即（
）2，左边变为完全平
方式，右边大于等于0 时，开方即可得到求根公式；由求根公式求出的两个根相
乘，化简后即可得证．
【解答】解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），
∴x2+
x=﹣
，
∴x2+
x+（
）2=﹣
+（
）2，
即（x+
）2=
，
∵4a2＞0，
∴当b2
4ac
﹣
≥0 时，方程有实数根，
∴x+
=±
，
∴当b2
4ac
﹣
＞0 时，x1=
，x2=
；
当b2
4ac=0
﹣
时，x1=x2=﹣
；
∴x1•x2=
=
=
=
，
或x1•x2=（﹣
）2=
=
=
，
∴x1•x2=
．
【点评】此题考查了利用配方法推导求根公式，由求根公式推导根与系数的关系，
以及根与系数关系的运用，其中利用配方法推导求根公式是一个难点，要求学生
必须掌握推导过程每一步的依据，即要搞清为什么，根与系数关系应用的前提必
须是一元二次方程有解，即b2
4ac
﹣
≥0，在运用根与系数关系时，往往利用配方，
提取公因式，通分等方法把所求的式子化为与两根之和及两根之积有关的式子，
然后把求出的两根之和与两根之积整体代入即可求出值．
24．（10.00 分）如图，已知BC⊥AC，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与⊙O
的交点，点D 是MB 与⊙O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且
=
．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求
的值．
【分析】（1）欲证明PD 是⊙O 的切线，只要证明OD⊥PA 即可解决问题；
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD 中，
OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3
，推出OD=3
，MC=6
，由
=
=
，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD 即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD．
∵
=
，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD 是⊙O 的切线．
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD 中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3
，
∴OD=3
，MC=6
，
∵
=
=
，
∴DP=6，
∵O 是MC 的中点，
∴
=
=
，
∴点P 是BC 的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM 中，∵BC=2DP=12，MC=6
，
∴BM=6
，
∵△BCM∽△CDM，
∴
=
，即
=
，
∴MD=2
，
∴
=
=
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常
考题型．
25．（10.00 分）某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问
题．已知前7 年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间
x（第x 年）的关系构成一次函数，（1≤x≤7 且x 为整数），且第一和第三年竣工投
入使的公租房面积分别为
和
百万平方米；后5 年每年竣工投入使用的公租
房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x 年）的关系是y=﹣
x+
（7＜x≤12
且x 为整数）．
（1）已知第6 年竣工投入使用的公租房面积可解决20 万人的住房问题，如果人均
住房面积，最后一年要比第6 年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房
面积可解决多少万人的住房问题？
（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12 年中，每年竣工投入使用的公租房的租
金各不相同，且第一年，一年38 元/m2，第二年，一年40 元/m2，第三年，一年42
元/m2，第四年，一年44 元/m2……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能
否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；
（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12 年中每年竣
工投入使用的公租房的年租金W 关于时间x 的函数解析式，并求出W 的最大值
（单位：亿元）．如果在W 取得最大值的这一年，老张租用了58m2的房子，计算老
张这一年应交付的租金．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，代入计算即可；
（2）根据函数的概念判断即可；
（3）分1≤x≤7、7＜x≤12 两种情况列出函数解析式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：（1）设y=kx+b（1≤x≤7），
由题意得，
，
解得k=﹣
，b=4
∴y=﹣
x+4（1≤x≤7）
∴x=6 时，y=﹣
×6+4=3∴300÷20=15，15（1+20%）=18，
又x=12 时，y=﹣
×12+
=
∴
×100÷18=12.5 万人，
所以最后一年可解决12.5 万人的住房问题；
（2）由于每平方米的年租金和时间都是变量，且对于每一个确定的时间x 的值，
每平方米的年租金m 都有唯一的值与它对应，所以它们能构成函数．
由题意知m=2x+36（1≤x≤12）
（3）解：W=
∵当x=3 时
Wmax=147，x=8 时Wmax=143，147＞143
∴当x=3 时，年租金最大，Wmax=1.47 亿元
当x=3 时，m=2×3+36=42 元
58×42=2436 元
答：老张这一年应交租金为2436 元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数解析式、掌握二次函数
的性质是解题的关键．
