文档文本内容
2018 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，
在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3 分，共36 分。）
1．（3 分）2018 的相反数是（ ）
A．﹣2018 B．
C．2018 D．﹣
2．（3 分）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2=2x4 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x6 D．（2x2）3=6x6
4．（3 分）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6 亿立方米，
现在水库实际库容量16.2 亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2 亿用科学记
数法表示为（ ）
A．16.2×108B．1.62×108C．1.62×109D．1.62×1010
5．（3 分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬
行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如
先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟
已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）
第1页（共31页）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）代数式
+
中x 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C
．
D．
8．（3 分）已知AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD 于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°
角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．（3 分）已知抛物线y=a（x
1
﹣）2
3
﹣（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对
称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，
﹣3），其中真命题的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．1
10．（3 分）2017
2018
﹣
赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间
第2页（共31页）
都进行两场比赛），比赛总场数为380 场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（
）
A．x（x
1
﹣）=380 B．x（x
1
﹣）=380 C．x（x+1）=380D．x（x+1）=380
11．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直线，C 是⊙O 上一点（A、B 除外），∠AOD=130°，则
∠C 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．25° D．30°
12．（3 分）如图，直线y=﹣
x+3 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，点P 是以C（﹣
1，0）为圆心，1 为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB 面积的最小值是（ ）
A．5B．10
C．15
D．20
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3 分，共18 分）
13．（3 分）分解因式：2a2
8b
﹣
2= ．
14．（3 分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数
是 ．
15．（3 分）半径为10cm 的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是 cm．
16．（3 分）如图，已知一次函数y=
x
﹣+b 与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于
第3页（共31页）
点P，则关于x 的方程﹣x+b=
的解是 ．
17．（3 分）如图，P 是▱ABCD 的边AD 上一点，E、F 分别是PB、PC 的中点，若
▱ABCD 的面积为16cm2，则△PEF 的面积（阴影部分）是 cm2．
18．
（3 分）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n 个“星阵”中的
★的个数是 ．
三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8 题，满分
96 分）
19．（10 分）先化简，再求值：
﹣x+1，其中x=
﹣（
）﹣1﹣|1﹣
|．
20．（10 分）如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB 的平分线，交AB 于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
第4页（共31页）
21．
（12 分）国家为了实现2020 年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异
地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某
旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四
个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1
和图2 的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1 补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C 类视为满意）是 ；
（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3 户、乙乡镇2 户共5 户贫困户中，随机抽取两户进
行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
22．（12 分）小明同学三次到某超市购买A、B 两种商品，其中仅有一次是有折扣
的，购买数量及消费金额如下表：
类别
次数
购买A 商品数量（件）购买B 商品数量（件）消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B 两种商品的原价；
（3）若购买A、B 两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B 两种商品共10 件，在（3）中折扣数的前提下，消费金
第5页（共31页）
额不超过200 元，求至少购买A 商品多少件．
23．（12 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D，点O 在
AB 上，⊙O 经过A、D 两点，交AC 于点E，交AB 于点F．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm，E 是
的中点，求阴影部分的面积（结果保留π 和根号）
24．（12 分）阅读下列材料：
如图1，在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=
absinC=
acsinB=
bcsinA
证明：过点A 作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD 中，sinB=
∴AD=c•sinB
∴S△ABC=
a•AD=
acsinB
同理：S△ABC=
absinC
S△ABC=
bcsinA
∴S△ABC=
absinC=
acsinB=
bcsinA
（1）通过上述材料证明：
=
=
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC 中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20
，求AC 的长度．
第6页（共31页）
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C 三个测量点，在B
点测得A 在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km 到达C 点，测得
A 在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C 三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，
≈1.4，结果取整数）
25．（14 分）将一副三角尺按图1 摆放，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平
分AB，与AC 相交于点G，BC=2
cm．
（1）求GC 的长；
（2）如图2，将△DEF 绕点D 顺时针旋转，使直角边DF 经过点C，另一直角边DE 与
AC 相交于点H，分别过H、C 作AB 的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD
与ND 的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF 沿DB 方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中
的点G 时，请直接写出DD′的长度．
26．（14 分）已知抛物线y=﹣
x2﹣
x 的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2 个单位，分别交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C，则平
移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P 为顶点的三角形是等腰三
角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
第7页（共31页）
第8页（共31页）
2018 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，
在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3 分，共36 分。）
1．（3 分）2018 的相反数是（ ）
A．﹣2018 B．
C．2018 D．﹣
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【解答】解：2018 的相反数是﹣2018，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3 分）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
【解答】解：轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够完全重合的图形．
中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图
形能与原来的图形重合
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称
图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2=2x4 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x6 D．（2x2）3=6x6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计
第9页（共31页）
算，判断即可．
【解答】解：A、x2+x2=2x2，故本选项不符合题意；
B、x2•x3=x5，故本选项不符合题意；
C、（x2）3=x6，故本选项符合题意；
D、（2x2）3=8x6，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，掌握
它们的运算法则是解题的关键．
4．（3 分）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6 亿立方米，
现在水库实际库容量16.2 亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2 亿用科学记
数法表示为（ ）
A．16.2×108B．1.62×108C．1.62×109D．1.62×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负
数．
【解答】解：16.2 亿=162000 0000=1.62×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
5．（3 分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
第10页（共31页）
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6．（3 分）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬
行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如
先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟
已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意得出兔子和乌龟的图象进行解答即可．
【解答】解：乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，
再增大，并且乌龟所用时间最短，
故选：D．
【点评】此题考查函数图象问题，本题需先读懂题意，根据实际情况找出正确函数
图象即可．
7．（3 分）代数式
+
中x 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C
．
D．
第11页（共31页）
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3
x
﹣≥0 且x
1
﹣≠0，
解得x≤3 且x≠1，
在数轴上表示如图
，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能
为零得出不等式是解题关键．
8．（3 分）已知AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD 于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°
角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到
∠PHG=60°
25°=35°
﹣
．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD=∠EGB=25°，
又∵∠PHD=60°，
∴∠PHG=60°
25°=35°
﹣
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
9．（3 分）已知抛物线y=a（x
1
﹣）2
3
﹣（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对
称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，
第12页（共31页）
﹣3），其中真命题的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据
概率公式计算即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x=1，②是真命题；
当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率=
，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假
命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3 分）2017
2018
﹣
赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间
都进行两场比赛），比赛总场数为380 场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（
）
A．x（x
1
﹣）=380 B．x（x
1
﹣）=380 C．x（x+1）=380D．x（x+1）=380
【分析】设参赛队伍有x 支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比
赛，共要比赛380 场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x 支，则
第13页（共31页）
x（x
1
﹣）=380．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为
等量关系列方程求解．
11．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直线，C 是⊙O 上一点（A、B 除外），∠AOD=130°，则
∠C 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．25° D．30°
【分析】根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠AOD=130°，
∴∠C=90°﹣
，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
12．（3 分）如图，直线y=﹣
x+3 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，点P 是以C（﹣
1，0）为圆心，1 为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB 面积的最小值是（ ）
A．5B．10
C．15
D．20
第14页（共31页）
【分析】作CH⊥AB 于H 交⊙O 于E、F．当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，求
出EH、AB 的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB 于H 交⊙O 于E、F．
∵C（﹣1，0），直线AB 的解析式为y=﹣
x+3，
∴直线CH 的解析式为y=
x+
，
由
解得
，
∴H（
，
），
∴CH=
=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
∴EH=3
1=2
﹣
，
当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，最小值=
×5×2=5，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的
位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系
解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3 分，共18 分）
13．（3 分）分解因式：2a2
8b
﹣
2=
2 （
a
2b
﹣
）（
a + 2b
）
．
第15页（共31页）
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2
8b
﹣
2，
=2（a2
4b
﹣
2），
=2（a+2b）（a
2b
﹣
）．
故答案为：2（a+2b）（a
2b
﹣
）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公
式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
14．（3 分）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数
是
3
．
【分析】先根据数据的众数确定出x 的值，即可得出结论．
【解答】解：∵一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，
∴x=3，∴此组数据为﹣1，2，3，3，5，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为3．
【点评】此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方
法是解本题的关键．
15．（3 分）半径为10cm 的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是
5
cm．
【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可
求出圆锥的高．
【解答】解：∵半径为10cm 的半圆围成一个圆锥，
∴圆锥的母线l=10cm，圆锥底面半径r=5cm，
∴圆锥的高h=
=5
cm．
故答案为：5
．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．
第16页（共31页）
16．（3 分）如图，已知一次函数y=
x
﹣+b 与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于
点P，则关于x 的方程﹣x+b=
的解是
x 1=1
，
x 2=2
．
【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由图象，得
y=
x
﹣+b 与反比例函数y=
（k≠0）的图象相交于点P（1，2），
把P 点坐标带入函数解析式，得
1
﹣+b=2，k=1×2=2，
解得b=3，k=2
关于x 的方程﹣x+b=
，即﹣x+3=
，
解得x1=1，x2=2，
故答案为：x1=1，x2=2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出k，b
的值是解题关键．
17．（3 分）如图，P 是▱ABCD 的边AD 上一点，E、F 分别是PB、PC 的中点，若
▱ABCD 的面积为16cm2，则△PEF 的面积（阴影部分）是
2
cm2．
【分析】先根据S ABCD
▱
=16cm2知S△PBC=
S ABCD
▱
=8，再证△PEF∽△PBC 得
=（
第17页（共31页）
）2，即
=
，据此可得答案．
【解答】解：∵▱ABCD 的面积为16cm2，
∴S△PBC=
S ABCD
▱
=8，
∵E、F 分别是PB、PC 的中点，
∴EF∥BC，且EF=
BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴
=（
）2，即
=
，
∴S△PEF=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质
与相似三角形的判定与性质．
18．
（3 分）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n 个“星阵”中的
★的个数是
n 2 + n + 2
．
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4 个★，第二个图
形中有2+2×3=8 个★，第三个图形中有2+3×4=14 个★，…，继而可求出第n 个
图形中★的个数．
【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4 个，
第二个图形有2+2×3=8 个，
第三个图形有2+3×4=14 个，
第四个图形有2+4×5=22 个，
…
第18页（共31页）
∴第n 个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、
分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8 题，满分
96 分）
19．（10 分）先化简，再求值：
﹣x+1，其中x=
﹣（
）﹣1﹣|1﹣
|．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负
整数指数幂及绝对值性质计算出x 的值，最后代入计算可得．
【解答】解：原式=
﹣（x
1
﹣）
=
﹣
=
，
∵x=2
2
﹣﹣（
﹣1）=2
2
﹣﹣
+1=
1
﹣，
∴原式=
=
=
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和
运算法则及负整数指数幂、绝对值性质、二次根式的性质．
20．（10 分）如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB 的平分线，交AB 于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【分析】（1）利用基本作图作∠ADB 的平分线BE；
（2 ）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE ，再根据三角形外角性质得
第19页（共31页）
∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判
定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵DE 平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
∵∠ADB=∠C+∠DAC，
而∠C=∠DAC，
∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线
段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一
点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．
21．
（12 分）国家为了实现2020 年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异
地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某
旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四
个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1
和图2 的统计图（不完整）．
第20页（共31页）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1 补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C 类视为满意）是
95%
；
（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3 户、乙乡镇2 户共5 户贫困户中，随机抽取两户进
行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
【分析】（1）先由A 类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和
等于总户数求得C 的数量即可补全图形；
（2）用A、B、C 户数和除以总户数即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%=100，
∴C 类别户数为100﹣（60+20+5）=15，
补全图形如下：
（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C 类视为满意）是
×100%=95%，
故答案为：95%；
（3）画树状图如下：
由树状图知共有20 种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8
第21页（共31页）
种结果，
所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为
=
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的
结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，求出概率．
22．（12 分）小明同学三次到某超市购买A、B 两种商品，其中仅有一次是有折扣
的，购买数量及消费金额如下表：
类别
次数
购买A 商品数量（件）购买B 商品数量（件）消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
解答下列问题：
（1）第 三 次购买有折扣；
（2）求A、B 两种商品的原价；
（3）若购买A、B 两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B 两种商品共10 件，在（3）中折扣数的前提下，消费金
额不超过200 元，求至少购买A 商品多少件．
【分析】（1）由第三次购买的A、B 两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第
三次购物有折扣；
（2）设A 商品的原价为x 元/件，B 商品的原价为y 元/件，根据总价=单价×数量结
合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得
出结论；
（3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z 的一元一次方程，解之
即可得出结论；
（4）设购买A 商品m 件，则购买B 商品（10
m
﹣
）件，根据总价=单价×数量结合消
费金额不超过200 元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小整
数即可得出结论．
【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B 两种商品均比头两次多，
第22页（共31页）
总价反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A 商品的原价为x 元/件，B 商品的原价为y 元/件，
根据题意得：
，
解得：
．
答：A 商品的原价为30 元/件，B 商品的原价为40 元/件．
（3）设折扣数为z，
根据题意得：5×30×
+7×40×
=258，
解得：z=6．
答：折扣数为6．
（4）设购买A 商品m 件，则购买B 商品（10
m
﹣
）件，
根据题意得：30×
m+40×
（10
m
﹣
）≤200，
解得：m≥
，
∵m 为整数，
∴m 的最小值为7．
答：至少购买A 商品7 件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次
不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有
折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列
出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D，点O 在
AB 上，⊙O 经过A、D 两点，交AC 于点E，交AB 于点F．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm，E 是
的中点，求阴影部分的面积（结果保留π 和根号）
第23页（共31页）
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC 即可解决问题；
（2）连接OE，OE 交AD 于K．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD．
、
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OE，OE 交AD 于K．
∵
=
，
∴OE⊥AD，
∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，
∴△AKO≌△AKE，
∴AO=AE=OE，
∴△AOE 是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
第24页（共31页）
∴S 阴=S 扇形OAE
S
﹣△AOE=
﹣
×22=
﹣
．
【点评】本题考查切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的
判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（12 分）阅读下列材料：
如图1，在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=
absinC=
acsinB=
bcsinA
证明：过点A 作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD 中，sinB=
∴AD=c•sinB
∴S△ABC=
a•AD=
acsinB
同理：S△ABC=
absinC
S△ABC=
bcsinA
∴S△ABC=
absinC=
acsinB=
bcsinA
（1）通过上述材料证明：
=
=
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC 中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20
，求AC 的长度．
第25页（共31页）
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C 三个测量点，在B
点测得A 在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km 到达C 点，测得
A 在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C 三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，
≈1.4，结果取整数）
【分析】（1）根据材料中的S△ABC=
absinC=
acsinB=
bcsinA，化为比例式可得结
论；
（2）根据公式
，直接代入可得结论；
（3）先根据公式计算AC 的长，由S△ABC=
AC×BC×sin∠ACB 可得结论．
【解答】解：（1）∵
absinC=
acsinB，
∴bsinC=csinB，
∴
=
，
：同理得：
=
，
∴
=
=
；（4 分）
（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20
，
∴
，即
，
∴
，
∴AC=40×0.3=12；（8 分）
（3）由题意得：∠ABC=90°
75°=15°
﹣
，∠ACB=90°
45°=45°
﹣
，
∠A=180°
15°
45°=120°
﹣
﹣
，
由
=
=
得：
=
，
∴AC=6，
∴S△ABC=
AC×BC×sin∠ACB=
×6×18×0.7≈38．（12 分）
第26页（共31页）
【点评】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关
键是理解并运用公式S△ABC=
absinC=
acsinB=
bcsinA 解决问题．
25．（14 分）将一副三角尺按图1 摆放，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平
分AB，与AC 相交于点G，BC=2
cm．
（1）求GC 的长；
（2）如图2，将△DEF 绕点D 顺时针旋转，使直角边DF 经过点C，另一直角边DE 与
AC 相交于点H，分别过H、C 作AB 的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD
与ND 的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF 沿DB 方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中
的点G 时，请直接写出DD′的长度．
【分析】（1）解直角三角形求出AC、AG 即可解决问题；
（2）由△AHM∽△CBN，可得
=
①，由△DHM∽△CDN，可得
=
②由①②
可得AM•BN=DN•DM，即
=
，推出
=
，推出
=
，由AD=BD，可
得AM=DN，由此即可解决问题；
（3）如图3 中，作GK∥DE 交AB 由K．求出AK 的值即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1 中，
在Rt△ABC 中，∵BC=2
，∠B=60°，
第27页（共31页）
∴AC=BC•tan60°=6，AB=2BC=4
，
在Rt△ADG 中，AG=
=4，
∴CG=AC=AG=6
4=2
﹣
．
（2）如图2 中，结论：DM+DN=2
或DM=DN．
理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90°，
∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCN=90°，
∴∠A=∠BCN．
∴△AHM∽△CBN，
∴
=
①，
同法可证：△DHM∽△CDN，
∴
=
②
由①②可得AM•BN=DN•DM，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∵AD=BD，
∴AM=DN，
∴DM+DN=AM+DM=AD=2
．
或∵△ABC 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，
∴CD=BD=AD．
第28页（共31页）
又∠B=60°，∴△BDC 为等边三角形，∴∠CDB=60°．
又∠EDF=90°，∴∠MDA=30°．
∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，
又HM⊥AD，∴MD=．
在等边三角形 BCD 中，CN⊥BD，
∴ND=NB．
又AD=BD，
∴MD=ND．
（3）如图3 中，作GK∥DE 交AB 由K．
在△AGK 中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB 于H．
则AH=AG•cos30°=2
，
可得AK=2AH=4
，此时K 与B 重合．
∴DD′=DB=2
．
【点评】本题考查几何变换综合题、旋转变换平移变换、相似三角形的判定和性质、
比例的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
学会利用比例式证明线段相等，属于中考压轴题．
26．（14 分）已知抛物线y=﹣
x2﹣
x 的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2 个单位，分别交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C，则平
移后的解析式为
y=﹣
x 2 ﹣
x + 2
．
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P 为顶点的三角形是等腰三
角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
第29页（共31页）
【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C 的坐标，根据勾股定理及逆定
理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于n 的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将该抛物线向上平移2 个单位，得y=﹣
x2﹣
x+2，
故答案为：y=﹣
x2﹣
x+2；
（2）当y=0 时，﹣
x2﹣
x+2=0，解得x1=
4
﹣，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
当x=0 时，y=2，即C（0，2）．
AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，
AC2=（1
0
﹣）2+（0
2
﹣）2=5，BC2=（﹣4
0
﹣）2+（0
2
﹣）2=20，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形；
（3）y=﹣
x2﹣
x+2 的对称轴是x=﹣
，设P（﹣
，n），
AP2=（1+
）2+n2=
+n2，CP2=
+（2
n
﹣）2，AC2=12+22=5
当AP=AC 时，AP2=AC2，
+n2=5，方程无解；
当AP=CP 时，AP2=CP2，
+n2=
+（2
n
﹣）2，解得n=0，即P1（﹣
，0），
当AC=CP 时AC2=CP2，+（2
n
﹣）2=5，解得n1=2+
，n2=2﹣
，P2（﹣
，2+
第30页（共31页）
），P3（﹣
，2﹣
）．
综上所述：使得以A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形，点P 的坐标（﹣
，0），
（﹣
，2+
），（﹣
，2﹣
）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是二次函数图象的平移，解
（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得
出关于n 的方程，要分类讨论，以防遗漏．
第31页（共31页）
