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2018 年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12 小题，每小题3 分，共36 分．每小题只有一个正确选
项
1．（3.00 分）计算﹣
﹣|
3
﹣|的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1D．5
2．（3.00 分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正
方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3.00 分）函数y=
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
4．（3.00 分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6 的三条线段能围成一个三角形
5．（3.00 分）如果2xa+1y 与x2yb
1
﹣是同类项，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．1D．3
6．（3.00 分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6 的众数和方差分别是（ ）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
7．
（3.00 分）如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B 为圆心，AB 长为半
径画弧，交BC 于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣
B．2﹣
C．4﹣
D．4﹣
8．（3.00 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ADE 的顶点D，E 分别在BC，AC 上，且
∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
9．（3.00 分）已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m
2=0
﹣
有两个实数根，m 为正整
数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．（3.00 分）已知下列命题：
①若a3＞b3，则a2＞b2；
②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2
2x
1
﹣
﹣的图象上，且满足x1＜x2
＜1，则y1＞y2＞﹣2；
③在同一平面内，a，b，c 是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
11．（3.00 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣
x+1 与x 轴，y 轴分别交
于点A 和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1 在第一象限交于点C．若
∠BOC=∠BCO，则k 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
12．（3.00 分）如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC
的中点，AE 与BD 相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．
13．（3.00 分）若a
3b=2
﹣
，3a
b=6
﹣
，则b
a
﹣的值为 ．
14．（3.00 分）不等式组
的非负整数解有 个．
15．
（3.00 分）从﹣2，﹣1，1，2 四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4 小于
2 的概率是 ．
16．（3.00 分）化简；
÷（
﹣1）= ．
17．（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长
线交于点D，点E 在
上（不与点B，C 重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=
度．
18．
（3.00 分）如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF∥BC，且EF 与AB 相交于点
E，与AC 相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为 ．
19．（3.00 分）以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方
向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=
（x＞0）经过点D，则OB•BE 的值为 ．
20．（3.00 分）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 上的一个动点（不
与点A，B 重合），连接CD，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE 与AC
相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；
③DE2=2CF•CA；
④若AB=3
，AD=2BD，则AF=
．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有6 小题，共60 分．请写出必要的文字说明、计算过程或推
理过程
21．（8.00 分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面
试，各项成绩满分均为100 分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综
合成绩（满分为100 分）．
他们的各项成绩如下表所示：
修造人
笔试成绩/分
面试成绩/分
甲
90
88
乙
84
92
丙
x
90
丁
88
86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6 分，求表中x 的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名
的人选．
22．
（8.00 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E
在AB 上，且∠BDE=15°，DE=4
，DC=2
．
（1）求BE 的长；
（2）求四边形DEBC 的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．（10.00 分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3 月份按一定售价销售，
销售额为2400 元，为扩大销量，减少库存，4 月份在3 月份售价基础上打9 折销
售，结果销售量增加30 件，销售额增加840 元．
（1）求该商店3 月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3 月份销售这种商品的利润为900 元，那么该商店4 月份销售这
种商品的利润是多少元？
24．（10.00 分）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆
交AB 于点D，BA 的延长线交⊙A 于点E，连接CE，CD，F 是⊙A 上一点，点F 与点C
位于BE 两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若BC=2，BD=1，求CE 的长及sin∠ABF 的值．
25．（12.00 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是AD 上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O 是对角线BD 的中点，连接OE．当OE=DE 时，求AE 的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E 作EF⊥EC 交AB 于点F，连接CF，与BE 交于点G．
当BE 平分∠ABC 时，求BG 的长；
（3）如图3，连接EC，点H 在CD 上，将矩形ABCD 沿直线EH 折叠，折叠后点D 落
在EC 上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD 于点N，与EH 交于点M，且AE=1．
①求
的值；
②连接BE，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．
26．（12.00 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=
x2+
x
2
﹣与x 轴交于
A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，直线l 经过A，C 两点，连接BC．
（1）求直线l 的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l 交于点D，连
接OD．当OD⊥AC 时，求线段DE 的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使
∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2018 年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12 小题，每小题3 分，共36 分．每小题只有一个正确选
项
1．（3.00 分）计算﹣
﹣|
3
﹣|的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1D．5
【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式=
2
3=
5
﹣﹣
﹣，
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3.00 分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正
方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由俯视图知该几何体共2 列，其中第1 列前一排1 个正方形、后1 排2 个
正方形，第2 列只有前排2 个正方形，据此可得．
【解答】解：由俯视图知该几何体共2 列，其中第1 列前一排1 个正方形、后1 排2
个正方形，第2 列只有前排2 个正方形，
所以其主视图为：
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3.00 分）函数y=
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x
1
﹣≥0 且x
1
﹣≠0，
解得x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（3.00 分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6 的三条线段能围成一个三角形
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6 的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．
5．（3.00 分）如果2xa+1y 与x2yb
1
﹣是同类项，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．1D．3
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b 的
值，然后代入求值．
【解答】解：∵2xa+1y 与x2yb
1
﹣是同类项，
∴a+1=2，b
1=1
﹣
，
解得a=1，b=2．
∴
=
．
故选：A．
【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且
相同字母的指数也相同，是解答本题的关键．
6．（3.00 分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6 的众数和方差分别是（ ）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可
以解答本题．
【解答】解：数据1，3，4，4，4，5，5，6 的众数是4，
，
则
=2，
故选：B．
【点评】本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据
的方差．
7．
（3.00 分）如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B 为圆心，AB 长为半
径画弧，交BC 于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣
B．2﹣
C．4﹣
D．4﹣
【分析】过A 作AE⊥BC 于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=
AB=1，再根据
公式即可得到，阴影部分的面积是
×4×1﹣
=2﹣
．
【解答】解：如图，过A 作AE⊥BC 于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=
AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是
×4×1﹣
=2﹣
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图
形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补
法．
8．（3.00 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ADE 的顶点D，E 分别在BC，AC 上，且
∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【分析】由AB=AC 知∠B=∠C，据此得2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可
知∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE 知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED﹣∠C 可得
答案．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，
又∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠C=35°，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等
腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
9．（3.00 分）已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m
2=0
﹣
有两个实数根，m 为正整
数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m 为正整数结
合该方程的根都是整数，即可求出m 的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=m
2
﹣，关于x 的一元二次方程x2+2x+m
2=0
﹣
有实数根
∴△=b2
4ac=2
﹣
2
4
﹣（m
2
﹣）=12
4m
﹣
≥0，
∴m≤3．
∵m 为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2 或3．
∴2+3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0 时，
方程有实数根”是解题的关键．
10．（3.00 分）已知下列命题：
①若a3＞b3，则a2＞b2；
②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2
2x
1
﹣
﹣的图象上，且满足x1＜x2
＜1，则y1＞y2＞﹣2；
③在同一平面内，a，b，c 是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【分析】依据a，b 的符号以及绝对值，即可得到a2＞b2不一定成立；依据二次函数
y=x2
2x
1
﹣
﹣图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得y1＞y2＞﹣2；依据a∥b，
b⊥c，即可得到a∥c；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即
可得到它们全等．
【解答】解：①若a3＞b3，则a2＞b2不一定成立，故错误；
②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2
2x
1
﹣
﹣的图象上，且满足x1＜x2
＜1，则y1＞y2＞﹣2，故正确；
③在同一平面内，a，b，c 是直线，且a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
11．（3.00 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣
x+1 与x 轴，y 轴分别交
于点A 和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1 在第一象限交于点C．若
∠BOC=∠BCO，则k 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【分析】利用直线l1：y=﹣
x+1，即可得到A（2
，0）B（0，1），AB=
=3，
过C 作CD⊥OA 于D，依据CD∥BO，可得OD=
AO=
，CD=
BO=
，进而得到
C（
，
），代入直线l2：y=kx，可得k=
．
【解答】解：直线l1：y=﹣
x+1 中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2
，
即A（2
，0）B（0，1），
∴Rt△AOB 中，AB=
=3，
如图，过C 作CD⊥OA 于D，
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2，
∵CD∥BO，
∴OD=
AO=
，CD=
BO=
，
即C（
，
），
把C（
，
）代入直线l2：y=kx，可得
=
k，
即k=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这
两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
12．（3.00 分）如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC
的中点，AE 与BD 相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用含30 度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质
求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结
论．
【解答】解：如图，
在Rt△BDC 中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2
，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D 是BC 中点，
∴DE=BE=CE
BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴
，
在Rt△ABD 中，∠ABD=30°，BD=2
，
∴AB=3，
∴
，
∴
，
∴DF=
BD=
×2
=
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性
质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
二、填空题：本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．
13．（3.00 分）若a
3b=2
﹣
，3a
b=6
﹣
，则b
a
﹣的值为 ﹣
2
．
【分析】将两方程相加可得4a
4b=8
﹣
，再两边都除以2 得出a
b
﹣的值，继而由相
反数定义或等式的性质即可得出答案．
【解答】解：由题意知
，
①+②，得：4a
4b=8
﹣
，
则a
b=2
﹣
，
∴b
a=
2
﹣
﹣，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的
灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
14．（3.00 分）不等式组
的非负整数解有
4
个．
【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．
【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，
解不等式
x﹣
≤
，得：x≤8，
则不等式组的解集为x＜4，
所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3 这4 个，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答
此题的关键．
15．
（3.00 分）从﹣2，﹣1，1，2 四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4 小于
2 的概率是
．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4 小于2 的结果数，根据
概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
2
﹣
1
﹣
1
2
2
﹣
2
2
﹣
4
﹣
1
﹣
2
1
﹣
2
﹣
1
2
﹣
1
﹣
2
2
4
﹣
2
﹣
2
由表可知，共有12 种等可能结果，其中积为大于﹣4 小于2 的有6 种结果，
∴积为大于﹣4 小于2 的概率为
=
，
故答案为：
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完
成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（3.00 分）化简；
÷（
﹣1）= ﹣
．
【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式=
÷（
﹣
）
=
÷
=
•
=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和
运算法则．
17．（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长
线交于点D，点E 在
上（不与点B，C 重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=
115
度．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
【解答】解：
连接OC，
∵DC 切⊙O 于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴
的度数是130°，
∴
的度数是360°
130°=230°
﹣
，
∴∠BEC=
=115°，
故答案为：115．
【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO 的
度数是解此题的关键．
18．
（3.00 分）如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF∥BC，且EF 与AB 相交于点
E，与AC 相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为
．
【分析】由3AE=2EB 可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC 得
=（
）2=
，结合
S△AEF=1 知S△ADC=S△ABC=
，再由
=
=
知
=
，继而根据S△ADF=
S△ADC可
得答案．
【解答】解：∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
=（
）2=（
）2=
，
∵S△AEF=1，
∴S△ABC=
，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC=
，
∵EF∥BC，
∴
=
=
=
，
∴
=
=
，
∴S△ADF=
S△ADC=
×
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形
的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．
19．（3.00 分）以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方
向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=
（x＞0）经过点D，则OB•BE 的值为
3
．
【分析】由双曲线y=
（x＞0）经过点D 知S△ODF=
k=
，由矩形性质知
S△AOB=2S△ODF=
，据此可得OA•BE=3，根据OA=OB 可得答案．
【解答】解：如图，
∵双曲线y=
（x＞0）经过点D，
∴S△ODF=
k=
，
则S△AOB=2S△ODF=
，即
OA•BE=
，
∴OA•BE=3，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=OB，
∴OB•BE=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反
比例函数系数k 的几何意义及矩形的性质．
20．（3.00 分）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是AB 上的一个动点（不
与点A，B 重合），连接CD，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE 与AC
相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；
③DE2=2CF•CA；
④若AB=3
，AD=2BD，则AF=
．
其中正确的结论是
①②③
．（填写所有正确结论的序号）
【分析】先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①正确；
先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②正确；
先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CF•AC，最后用勾
股定理即可得出③正确；
先求出BC=AC=3，再求出BD=
，进而求出CE=CD=
，求出CF=
，即可判断出④
错误．
【解答】解：∵∠ACB=90°，
由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD 和△ACE 中，
，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°，
∴∠BDC=180°
45°
25°=110°
﹣
﹣
，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴
，
∴CE2=CF•AC，
在等腰直角三角形CDE 中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③正确；
如图，过点D 作DG⊥BC 于G，
∵AB=3
，
∴AC=BC=3，
∵AD=2BD，
∴BD=
AB=
，
∴DG=BG=1，
∴CG=BC
BG=3
1=2
﹣
﹣
，
在Rt△CDG 中，根据勾股定理得，CD=
=
，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE=
，
∵CE2=CF•AC，
∴CF=
=
，
∴AF=AC
CF=3
﹣
﹣
=
，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，
全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出
△BCD≌△ACE 是解本题的关键．
三、解答题：本大题共有6 小题，共60 分．请写出必要的文字说明、计算过程或推
理过程
21．（8.00 分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面
试，各项成绩满分均为100 分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综
合成绩（满分为100 分）．
他们的各项成绩如下表所示：
修造人
笔试成绩/分
面试成绩/分
甲
90
88
乙
84
92
丙
x
90
丁
88
86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6 分，求表中x 的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名
的人选．
【分析】（1）根据中位数的概念计算；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩，比较即可．
【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为：
=89（分）；
（2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6
解得，x=86，
答：表中x 的值为86；
（3）甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分），
乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分），
丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分），
∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．
【点评】本题考查的是中位线、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计
算公式是解题的关键．
22．
（8.00 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E
在AB 上，且∠BDE=15°，DE=4
，DC=2
．
（1）求BE 的长；
（2）求四边形DEBC 的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE 即可解决问题；
（2）作DF⊥BC 于F．则四边形ABFD 是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；
【解答】解：（1）在四边形ABCD 中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BDE=15°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE 中，AE=DE×sin30=2
，AD=DE•cos30°=6，
∴AB=AD=6，
∴BE=6
2
﹣
．
（2）作DF⊥BC 于F．则四边形ABFD 是矩形，
∴BF=AD=6，DF=AB=6，
在Rt△DFC 中，FC=
=4
，
∴BC=6+4
，
∴S 四边形DEBC=S△DEB+S△BCD=
×（6
2
﹣
）×6+
（6+4
）×6=36+6
．
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（10.00 分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3 月份按一定售价销售，
销售额为2400 元，为扩大销量，减少库存，4 月份在3 月份售价基础上打9 折销
售，结果销售量增加30 件，销售额增加840 元．
（1）求该商店3 月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3 月份销售这种商品的利润为900 元，那么该商店4 月份销售这
种商品的利润是多少元？
【分析】（1）设该商店3 月份这种商品的售价为x 元，则4 月份这种商品的售价为
0.9x 元，根据数量=总价÷单价结合4 月份比3 月份多销售30 件，即可得出关于x
的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y 元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关
于y 的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4 月份的利润=每件的
利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该商店3 月份这种商品的售价为x 元，则4 月份这种商品的售
价为0.9x 元，
根据题意得：
=
30
﹣
，
解得：x=40，
经检验，x=40 是原分式方程的解．
答：该商店3 月份这种商品的售价是40 元．
（2）设该商品的进价为y 元，
根据题意得：（40
a
﹣）×
=900，
解得：a=25，
∴（40×0.9
25
﹣
）×
=990（元）．
答：该商店4 月份销售这种商品的利润是990 元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方
程．
24．（10.00 分）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆
交AB 于点D，BA 的延长线交⊙A 于点E，连接CE，CD，F 是⊙A 上一点，点F 与点C
位于BE 两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若BC=2，BD=1，求CE 的长及sin∠ABF 的值．
【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先判断出△BDC∽△BCE 得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，
CE，再判断出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA 是矩形，求出FN，NC，即：
BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵DE 是⊙A 的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠BEC+∠CDE=90°，
∵AD=AC，
∴∠CDE=∠ACD，
∴∠BCD=∠BEC，
（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，
∴△BDC∽△BCE，
∴
，
∵BC=2，BD=1，
∴BE=4，EC=2CD，
∴DE=BE
BD=3
﹣
，
在Rt△DCE 中，DE2=CD2+CE2=9，
∴CD=
，CE=
，
过点F 作FM⊥AB 于M，
∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，
∴△AFM∽△BAC，
∴
，
∵DE=3，
∴AD=AF=AC=
，AB=
，
∴FM=
，
过点F 作FN⊥BC 于N，
∴∠FNC=90°，
∵∠FAB=∠ABC，
∴FA∥BC，
∴∠FAC=∠ACB=90°，
∴四边形FNCA 是矩形，
∴FN=AC=
，NC=AF=
，
∴BN=
，
在Rt△FBN 中，BF=
，
在Rt△FBM 中，sin∠ABF=
．
【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性
质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
25．（12.00 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是AD 上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O 是对角线BD 的中点，连接OE．当OE=DE 时，求AE 的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E 作EF⊥EC 交AB 于点F，连接CF，与BE 交于点G．
当BE 平分∠ABC 时，求BG 的长；
（3）如图3，连接EC，点H 在CD 上，将矩形ABCD 沿直线EH 折叠，折叠后点D 落
在EC 上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD 于点N，与EH 交于点M，且AE=1．
①求
的值；
②连接BE，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．
【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得
出结论；
（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出
BK=GK=
，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=
，CH=
，再判断出
△EMN∽△EHD，的粗
，△ED'M∽△ECH，得出
，进而得出
，即可得出结论；
②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出
，
即可．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD 中，根据勾股定理得，BD=
，
∵O 是BD 中点，
∴OD=OB=OA=
，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴
，∴
DO2=DE•DA，
∴设AE=x，
∴DE=5
x
﹣，
∴（
）2=5（5
x
﹣），
∴x=
，
即：AE=
；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CED=∠AFE，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB
AF=1
﹣
，
过点G 作GK⊥BC 于K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CHG∽△CBF，
∴
，
设BK=GK=y，
∴CK=5
y
﹣，
∴y=
，
∴BK=GK=
，
在Rt△GKB 中，BG=
；
（3）①在矩形ABCD 中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
设D'H=DH=z，
∴HC=3
z
﹣，
根据勾股定理得，（3
z
﹣）2=1+z2，
∴z=
，
∴DH=
，CH=
，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'=∠D=90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴
，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
∴∠MD'H=∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD=∠D'MH，
∴∠EHD'=∠D'MH，
∴D'M=D'H，
∵AD∥BC，
∴∠NED'=∠ECB，
∴∠MD'H=∠ECB，
∵CE=CB=5，
∴
，
∴△D'MH∽△CBE．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键
26．（12.00 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=
x2+
x
2
﹣与x 轴交于
A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，直线l 经过A，C 两点，连接BC．
（1）求直线l 的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l 交于点D，连
接OD．当OD⊥AC 时，求线段DE 的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使
∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A 和点C 的坐标，从而可以求
得直线l 的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，
然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=
x2+
x
2
﹣，
∴当y=0 时，得x1=1，x2=
4
﹣，当x=0 时，y=
2
﹣，
∵抛物线y=
x2+
x
2
﹣与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点
C，
∴点A 的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∵直线l 经过A，C 两点，设直线l 的函数解析式为y=kx+b，
，得
，
即直线l 的函数解析式为y=
；
（2）直线ED 与x 轴交于点F，如右图1 所示，
由（1）可得，
AO=4，OC=2，∠AOC=90°，
∴AC=2
，
∴OD=
，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴
，
即
，得AD=
，
∵EF⊥x 轴，∠ADC=90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴
，
解得，AF=
，DF=
，
∴OF=4﹣
=
，
∴m=﹣
，
当m=﹣
时，y=
×（
）2+
×（﹣
）﹣2=﹣
，
∴EF=
，
∴DE=EF
FD=
﹣
；
（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，
理由：作GM⊥AC 于点M，作PN⊥x 轴于点N，如右图2 所示，
∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴tan∠OAC=
，tan∠OCB=
，AC=2
，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，∠GAM=∠OAC﹣∠BAG，
∴∠BAP=∠GAM，
∵点G（0，﹣1），AC=2
，OA=4，
∴OG=1，GC=1，
∴AG=
，
，即
，
解得，GM=
，
∴AM=
=
=
，
∴tan∠GAM=
=
，
∴tan∠PAN=
，
设点P 的坐标为（n，
n2+
n
2
﹣），
∴AN=4+n，PN=
n2+
n
2
﹣，
∴
，
解得，n1=
，n2=
4
﹣（舍去），
当n=
时，
n2+
n
2=
﹣
，
∴点P 的坐标为（
，
），
即存在点P（
，
），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅
助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的
性质解答．
