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2018 年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上.（注意：在
试题卷上作答无效）
1．（3 分）3 的相反数是（ ）
A．
B．3C．﹣3 D．±
2．（3 分）我国首艘国产航母于2018 年4 月26 日正式下水，排水量约为65000 吨，
将65000 用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10
4
﹣
B．6.5×104 C．﹣6.5×104
D．65×104
3．（3 分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．长方体D．球
4．（3 分）一元二次方程x2
2x=0
﹣
的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1C．2D．0
5．（3 分）在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E，则△AED 的形状
是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
6．（3 分）某市从2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017
年“竹文化”旅游收入约为2 亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88 亿元
据此估计该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
7．（3 分）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC
的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D 等于（ ）
A．2B．3C．
D．
8．（3 分）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依
据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE
为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．
B．
C．34
D．10
二、填空题：（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）请把答案直接填在答题卡
对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）
9．（3 分）分解因式：2a3b
4a
﹣
2b2+2ab3= ．
10．（3 分）不等式组1＜
x
2
﹣≤2 的所有整数解的和为 ．
11．（3 分）某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教
师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算
学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分 ．
教师
成绩
甲
乙
丙
笔试
80 分
82 分
78 分
面试
76 分
74 分
78 分
12．（3 分）已知点A 是直线y=x+1 上一点，其横坐标为﹣
，若点B 与点A 关于y
轴对称，则点B 的坐标为 ．
13．（3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆
术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径
为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S= ．
（结果保留根号）
14．
（3 分）已知：点P（m，n）在直线y=
x
﹣+2 上，也在双曲线y=﹣
上，则m2+n2的
值为
15．（3 分）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE⊥AB 于点E
且DE 交AC 于点F，DB 交AC 于点G，若
=
，则
= ．
16．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE
沿CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确
结论的序号）
①当E 为线段AB 中点时，AF∥CE；
②当E 为线段AB 中点时，AF=
；
③当A、F、C 三点共线时，AE=
；
④当A、F、C 三点共线时，△CEF≌△AEF．
三、解答题：（本大题共8 个题，共72 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
17．（10 分）（1）计算：sin30°+（2018﹣
）0
2
﹣
1
﹣+|
4
﹣|；
（2）化简：（1﹣
）÷
．
18．（6 分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．
19．（8 分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，
另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选
修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统
计，并制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）该班共有学生人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选
修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学
历史两科的概率．
20．（8 分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300 万部智能手机
的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了
50%，结果比原计划提前5 个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
21．（8 分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD 均垂直于地面，点E
在线段BD 上，在C 点测得点A 的仰角为30°，点E 的俯角也为30°，测得B、E 间距
离为10 米，立柱AB 高30 米．求立柱CD 的高（结果保留根号）
22．
（10 分）如图，已知反比例函数y= （m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=
x
﹣+b 的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，与反比例函数图象的另一个
交点为P 点，连结OP、OQ，求△OPQ 的面积．
23．（10 分）如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，D 为BC 延长线一点，且
BC=CD，CE⊥AD 于点E．
（1）求证：直线EC 为圆O 的切线；
（2）设BE 与圆O 交于点F，AF 的延长线与CE 交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，
PF=4，求sin∠PEF 的值．
24．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过
点（4，1），如图，直线y=
x 与抛物线交于A、B 两点，直线l 为y=
1
﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l 上是否存在一点P，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若
不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的
距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
2018 年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上.（注意：在
试题卷上作答无效）
1．（3 分）3 的相反数是（ ）
A．
B．3C．﹣3 D．±
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：3 的相反数是﹣3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（3 分）我国首艘国产航母于2018 年4 月26 日正式下水，排水量约为65000 吨，
将65000 用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×10
4
﹣
B．6.5×104 C．﹣6.5×104
D．65×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负
数．
【解答】解：65000=6.5×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（3 分）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．长方体D．球
【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】综合该物体的三种视图，分析得出该立体图形是圆柱体．
【解答】解：A、圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，正确；
B、圆锥体的三视图分别是等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，错误；
C、长方体的三视图都是矩形，错误；
D、球的三视图都是圆形，错误；
故选：A．
【点评】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力
和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．（3 分）一元二次方程x2
2x=0
﹣
的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1C．2D．0
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2
2x=0
﹣
的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于
是解题的关键．
5．（3 分）在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E，则△AED 的形状
是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【考点】L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD=
∠BAD，∠ADE=
∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=
（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠E=90°，
∴△ADE 是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（3 分）某市从2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017
年“竹文化”旅游收入约为2 亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88 亿元
据此估计该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据
2017 年及2019 年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x 的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=
2.2
﹣
（不合题意，舍去）．
答：该市2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
7．（3 分）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC
的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D 等于（ ）
A．2B．3C．
D．
【考点】Q2：平移的性质．菁优网版权所有
【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4 且AD 为BC 边的中线知S△A′DE=
S△A′EF=2，S△ABD=
S△ABC=
，根据△DA′E∽△DAB 知（
）2=
，据此求解可得．
【解答】解：如图，
∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD 为BC 边的中线，
∴S△A′DE=
S△A′EF=2，S△ABD=
S△ABC=
，
∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（
）2=
，即（
）2=
，
解得A′D=2 或A′D=﹣
（舍），
故选：A．
【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形
中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
8．（3 分）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依
据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE
为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．
B．
C．34
D．10
【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN，则MN、PM 的长度是
定值，利用三角形的三边关系可得出NP 的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即
可求出结论．
【解答】解：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN 交半圆于点P，此时
PN 取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG 为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=
DE=2，
∴NP=MN
MP=EF
MP=1
﹣
﹣
，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用
三角形三边关系找出PN 的最小值是解题的关键．
二、填空题：（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）请把答案直接填在答题卡
对应题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）
9．（3 分）分解因式：2a3b
4a
﹣
2b2+2ab3=
2ab
（
a
b
﹣
）
2
．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】先提取公因式2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3b
4a
﹣
2b2+2ab3，
=2ab（a2
2ab
﹣
+b2），
=2ab（a
b
﹣）2．
【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后要继续进
行二次分解因式．
10．（3 分）不等式组1＜
x
2
﹣≤2 的所有整数解的和为
15
．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】先解不等式组得到6＜x≤8，再找出此范围内的整数，然后求这些整数的
和即可．
【解答】解：由题意可得
，
解不等式①，得：x＞6，
解不等式②，得：x≤8，
则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整
数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根
据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得
不等式组的整数解．
11．（3 分）某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教
师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算
学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分
78.8
分
．
教师
成绩
甲
乙
丙
笔试
80 分
82 分
78 分
面试
76 分
74 分
78 分
【考点】W2：加权平均数．菁优网版权所有
【分析】根据题意先算出甲、乙、丙三人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案
【解答】解：∵甲的综合成绩为80×60%+76×40%=78.4（分），
乙的综合成绩为82×60%+74×40%=78.8（分），
丙的综合成绩为78×60%+78×40%=78（分），
∴被录取的教师为乙，其综合成绩为78.8 分，
故答案为：78.8 分．
【点评】本题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按60%和40%进
行计算．
12．（3 分）已知点A 是直线y=x+1 上一点，其横坐标为﹣
，若点B 与点A 关于y
轴对称，则点B 的坐标为 （
，
） ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；P5：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
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【分析】利用待定系数法求出点A 坐标，再利用轴对称的性质求出点B 坐标即可；
【解答】解：由题意A（﹣
，
），
∵A、B 关于y 轴对称，
∴B（
，
），
故答案为（
，
）．
【点评】本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
13．（3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆
术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径
为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S=
2
．
（结果保留根号）
【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．菁优网版权所有
【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性
质结合OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF 为正六边形，
∴△ABO 为等边三角形，
∵⊙O 的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=
，
∴AB=
，
∴S=6S△ABO=6×
×
×1=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形
的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
14．
（3 分）已知：点P（m，n）在直线y=
x
﹣+2 上，也在双曲线y=﹣
上，则m2+n2的
值为
6
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征
得出n+m 以及mn 的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【解答】解：∵点P（m，n）在直线y=
x
﹣+2 上，
∴n+m=2，
∵点P（m，n）在双曲线y=﹣
上，
∴mn=
1
﹣，
∴m2+n2=（n+m）2
2mn=4
﹣
+2=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点
的特征，正确得出m，n 之间关系是解题关键．
15．（3 分）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE⊥AB 于点E
且DE 交AC 于点F，DB 交AC 于点G，若
=
，则
=
．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．菁优网版权所有
【分析】由AB 是直径，推出∠ADG=∠GCB=90°，因为∠AGD=∠CGB，推出
cos∠CGB=cos∠AGD，可得
=
，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，想
办法求出DG、AG 即可解决问题；
【解答】解：连接AD，BC．
∵AB 是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D 是
的中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD；
∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，
∴∠EDB=∠DGF，
∴FA=FG，
∵
=
，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，
在Rt△ADE 中，AD=
=4
k，
∵AB 是直径，
∴∠ADG=∠GCB=90°，
∵∠AGD=∠CGB，
∴cos∠CGB=cos∠AGD，
∴
=
，
在Rt△ADG 中，DG=
=2
k，
∴
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
16．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE
沿CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是
①②③
（写出所有
正确结论的序号）
①当E 为线段AB 中点时，AF∥CE；
②当E 为线段AB 中点时，AF=
；
③当A、F、C 三点共线时，AE=
；
④当A、F、C 三点共线时，△CEF≌△AEF．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．
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【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：如图1 中，当AE=EB 时，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，故①正确，
作EM⊥AF，则AM=FM，
在Rt△ECB 中，EC=
=
，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴
=
，
∴
=
，
∴AM=
，
∴AF=2AM=
，故②正确，
如图2 中，当A、F、C 共线时，设AE=x．
则EB=EF=3
x
﹣，AF=
2
﹣，
在Rt△AEF 中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=（
﹣2）2+（3
x
﹣）2，
∴x=
，
∴AE=
，故③正确，
如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，
故答案为①②③．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填
空题中的压轴题．
三、解答题：（本大题共8 个题，共72 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
17．（10 分）（1）计算：sin30°+（2018﹣
）0
2
﹣
1
﹣+|
4
﹣|；
（2）化简：（1﹣
）÷
．
【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；
T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数的意义计算；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘以运算，然后把x2
1
﹣分解因式后约分
即可．
【解答】解：（1）原式=
+1﹣
+4
=5；
（2）原式=
•
=x+1．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数
有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；
最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18．（6 分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】由全等三角形的判定定理AAS 证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等．
【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD．
在△ABC 与△ADC 中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴CB=CD．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三
角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．（8 分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，
另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选
修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统
计，并制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）该班共有学生人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选
修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学
历史两科的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利
用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）该班学生总数为10÷20%=50 人；
（2）历史学科的人数为50﹣（5+10+15+6+6）=8 人，
补全图形如下：
（3）列表如下：
化学
生物
政治
历史
地理
化学
生物、化学
政治、化学
历史、化学
地理、化学
生物
化学、生物
政治、生物
历史、生物
地理、生物
政治
化学、政治
生物、政治
历史、政治
地理、政治
历史
化学、历史
生物、历史
政治、历史
地理、历史
地理
化学、地理
生物、地理
政治、地理
历史、地理
由表可知，共有20 种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2 种
结果，
所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为
=
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式求事件A
或B 的概率．
20．（8 分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300 万部智能手机
的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了
50%，结果比原计划提前5 个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设原计划每月生产智能手机x 万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x
万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前5 个月完成任务，即可得出关
于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每月生产智能手机x 万部，则实际每月生产智能手机
（1+50%）x 万部，
根据题意得：
﹣
=5，
解得：x=20，
经检验，x=20 是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x=30．
答：每月实际生产智能手机30 万部．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
21．（8 分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD 均垂直于地面，点E
在线段BD 上，在C 点测得点A 的仰角为30°，点E 的俯角也为30°，测得B、E 间距
离为10 米，立柱AB 高30 米．求立柱CD 的高（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】作CH⊥AB 于H，得到 BD=CH，设CD=x 米，根据正切的定义分别用x 表示
出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：作CH⊥AB 于H，
则四边形HBDC 为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
设CD=x 米，则AH=（30
x
﹣）米，
在Rt△AHC 中，HC=
=
（30
x
﹣），
则BD=CH=
（30
x
﹣），
∴ED=
（30
x
﹣）﹣10，
在Rt△CDE 中，
=tan∠CED，即
=
，
解得，x=15﹣
，
答：立柱CD 的高为（15﹣
）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数
的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
22．
（10 分）如图，已知反比例函数y= （m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=
x
﹣+b 的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点，与反比例函数图象的另一个
交点为P 点，连结OP、OQ，求△OPQ 的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待
定系数，可得答案；
（2）利用△AOP 的面积减去△AOQ 的面积．
【解答】解：（1）反比例函数y=
（ m≠0）的图象经过点（1，4），
∴
，解得m=4，故反比例函数的表达式为
，
一次函数y=
x
﹣+b 的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），
∴
，解得
，
∴一次函数的表达式y=
x
5
﹣﹣；
（2）由
，解得
或
，
∴点P（﹣1，﹣4），
在一次函数y=
x
5
﹣﹣中，令y=0，得﹣x
5=0
﹣
，解得x=
5
﹣，故点A（﹣5，0），
S△OPQ=S△OPA
S
﹣△OAQ=
=7.5．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定
系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面
积转化成两个三角形的面积的差．
23．（10 分）如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，D 为BC 延长线一点，且
BC=CD，CE⊥AD 于点E．
（1）求证：直线EC 为圆O 的切线；
（2）设BE 与圆O 交于点F，AF 的延长线与CE 交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，
PF=4，求sin∠PEF 的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1 ）说明OC 是△BDA 的中位线，利用中位线的性质，得到
∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE 是圆O 的切线．
（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF 是直角三角形，利用角相等，可得到
△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF 的值．
【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD 于点E
∴∠DEC=90°，
∵BC=CD，
∴C 是BD 的中点，又∵O 是AB 的中点，
∴OC 是△BDA 的中位线，
∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE，又∵点C 在圆上，
∴CE 是圆O 的切线．
（2）连接AC
∵AB 是直径，点F 在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×PA
∴PE=PC
在直角△PEF 中，sin∠PEF=
=
．
【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定
等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC 是解决本题的难点和关键．
24．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过
点（4，1），如图，直线y=
x 与抛物线交于A、B 两点，直线l 为y=
1
﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l 上是否存在一点P，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若
不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的
距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x
2
﹣）2，
由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B 的坐标，
作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P，此时PA+PB 取得最小值，
根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直
线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上
点的坐标特征，即可得出（1﹣
﹣
y0）m2﹣（2
2x
﹣
0
2y
﹣
0）m+x0
2+y0
2
2y
﹣
0
3=0
﹣
，
由m 的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x
2
﹣）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=
，
∴抛物线的解析式为y=
（x
2
﹣）2=
x2
x
﹣+1．
（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：
，
，
∴点A 的坐标为（1，
），点B 的坐标为（4，1）．
作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P，此时PA+PB 取得最小值
（如图1 所示）．
∵点B（4，1），直线l 为y=
1
﹣，
∴点B′的坐标为（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，
）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：
，解得：
，
∴直线AB′的解析式为y=﹣
x+
，
当y=
1
﹣时，有﹣
x+
=
1
﹣，
解得：x=
，
∴点P 的坐标为（
，﹣1）．
（3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，
∴（m
x
﹣0）2+（n
y
﹣0）2=（n+1）2，
∴m2
2x
﹣
0m+x0
2
2y
﹣
0n+y0
2=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=
m2
m
﹣+1，
∴m2
2x
﹣
0m+x0
2
2y
﹣
0（
m2
m
﹣+1）+y0
2=2（
m2
m
﹣+1）+1，
整理得：（1﹣
﹣
y0）m2﹣（2
2x
﹣
0
2y
﹣
0）m+x0
2+y0
2
2y
﹣
0
3=0
﹣
．
∵m 为任意值，
∴
，
∴
，
∴定点F 的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象
上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根
据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短
找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结
合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
