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2018 年山东省德州市禹城市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来．每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．）
1．（4 分）﹣
的绝对值是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
2．（4 分）如图在长方体中挖去一个圆柱体后，得到的几何体的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0 的两根，且x1x2＝﹣3，则k 的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2＝2a2
B．a2+a2＝a4
C．（1+2a）2＝1+2a+4a2
D．（﹣a+1）（a+1）＝1﹣a2
5．（4 分）我校四名跳远运动员之前的10 次跳远测试中成绩的平均数相同，方差s2如表所示，
如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动会，应选择的选手是（ ）
选手
甲
乙
丙
丁
s2
0.5
0.5
0.6
0.4
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．（4 分）若分式
的值为零，则x 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．2
7．（4 分）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB＝60°，若量出AD＝
6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．12cm
B．24cm
C．6
cm
D．12
cm
8．（4 分）如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O 为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO
缩小，则点E 的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）
B．
（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或 （﹣2，1 ）
D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4 ）
9．（4 分）如图，直线a∥b，Rt△ABC 的直角顶点B 落在直线a 上，若∠1＝25°，则∠2 的大小
为（ ）
A．55°
B．75°
C．65°
D．85°
10．（4 分）如图，已知直线AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，OD 交⊙O 于点B，点C 在⊙O 上，
且∠ODA＝36°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．54°
B．36°
C．30°
D．27°
11．（4 分）将二次函数y＝x2+2x﹣1 的图象沿x 轴向右平移2 个单位长度，得到的函数表达式
是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2
B．y＝（x+3）2+2
C．y＝（x﹣1）2+2
D．y＝（x﹣1）2﹣2
12．（4 分）如表是一个4×4（4 行4 列共16 个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个
“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每
次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（ ）
30
2
sin60°
22
﹣3
﹣2
﹣
sin45°
0
|﹣5|
6
23
（
）﹣1
4
（
）﹣1
A．5
B．6
C．7
D．8
二、填空题：（本大题共6 小题，共24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分．）
13．（4 分）2017 年第一季度，某市公共财政预算收入完成196 亿元，将196 亿用科学记数法
表示为
14．（4 分）分解因式：a3﹣9a＝ ．
15．（4 分）如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的
高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200 米到达湖
边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度
为 米（结果保留根号）．
16．（4 分）若关于x 的分式方程
＝2 的解为非负数，则m 的取值范围是 ．
17．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，CD＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点
E，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4 分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE
交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；
③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题：本大题共7 小题，共78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8 分）先化简，再求值：（a﹣2﹣
）÷
，其中a＝（3﹣π）0+（
）﹣1．
20．（10 分）为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对
该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面
不完整的统计图表．
整理情况
频数
频率
非常好
0.21
较好
70
0.35
一般
m
不好
36
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了 名学生；
（2）m＝ ；
（3）该校有1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一
共约多少名？
（4）某学习小组4 名学生的错题集中，有2 本“非常好”（记为A1、A2），1 本“较好”（记
为B），1 本“一般”（记为C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征
完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3 本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或
“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．
21．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D，E 在⊙O 上，∠A＝2∠BDE，点C 在AB 的延长线
上，∠C＝∠ABD．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若BF＝2，EF＝
，求⊙O 的半径长．
22．（12 分）2017 年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某
运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土
方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15 吨；3 辆大型渣土运输
车和8 辆小型渣土运输车每次共运70 吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20 辆参与运输土方，若每次运
输土方总量不小于148 吨，且小型渣土运输车至少派出7 辆，问该渣土运输公司有几种派
出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输花费500 元/次，一辆小型渣土运输车
运输花费300 元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
23．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx 的图象与反比例函数y＝
的图象
经过点A（2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA 向上平移3 个单位长度后与y 轴交于点B，与反比例函数图象在第一象限
内的交点为C，连接AB，AC，求点C 的坐标及△ABC 的面积；
（3）在第一象限内，直接写出反比例函数的值大于直线BC 的值时，自变量x 的取值范围．
24．（12 分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角
形”，并且S△ACD＝S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE＝BF，
AF 与BE 交于点O．
（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．
探究：在△ABC 中，∠A＝30°，AB＝4，点D 在线段AB 上，连接CD，△ACD 和△BCD 是
“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD 与△ABC 重
合部分的面积等于△ABC 面积的
，请直接写出△ABC 的面积．
25．（14 分）如图1，关于x 的二次函数y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D 为
二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请
说明理由；
（3）如图2，DE 的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC？若存在求出点F 的坐
标，若不存在请说明理由．
2018 年山东省德州市禹城市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
选项选出来．每小题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．）
1．（4 分）﹣
的绝对值是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．
【解答】解：﹣
的绝对值为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个
负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．
2．（4 分）如图在长方体中挖去一个圆柱体后，得到的几何体的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：从左面看所得到的图形是长方形，中间两条竖的虚线．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是
从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3．（4 分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0 的两根，且x1x2＝﹣3，则k 的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2＝﹣k﹣1，结合x1x2＝﹣3 可得出关于k 的一元一
次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0 的两根，
∴x1x2＝﹣k﹣1．
∵x1x2＝﹣3，
∴﹣k﹣1＝﹣3，
解得：k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于
是解题的关键．
4．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2＝2a2
B．a2+a2＝a4
C．（1+2a）2＝1+2a+4a2
D．（﹣a+1）（a+1）＝1﹣a2
【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．
【解答】解：A、a2•a2＝a4，此选项错误；
B、a2+a2＝2a2，此选项错误；
C、（1+2a）2＝1+4a+4a2，此选项错误；
D、（﹣a+1）（a+1）＝1﹣a2，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、整式的加法及完全平方公式和平方差公式，熟练
掌握整式的运算法则是解题的关键．
5．（4 分）我校四名跳远运动员之前的10 次跳远测试中成绩的平均数相同，方差s2如表所示，
如果要选出一名跳远成绩最稳定的选手参加抚顺市运动会，应选择的选手是（ ）
选手
甲
乙
丙
丁
s2
0.5
0.5
0.6
0.4
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】根据方差的大小即可解决问题．
【解答】解：由题意丁的方差最小，所以丁的成绩最稳定，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的
量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越
小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（4 分）若分式
的值为零，则x 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式
的值为零，
∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
7．（4 分）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB＝60°，若量出AD＝
6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．12cm
B．24cm
C．6
cm
D．12
cm
【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO 为
∠DAB 的平分线，OD⊥AC，又∠CAB＝60°，得到∠OAE＝∠OAD＝
∠DAB＝60°，根据
三角函数的定义求出OD 的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB 切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
∵AD，AB 分别为圆O 的切线，
∴AO 为∠DAB 的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB＝60°，
∴∠OAE＝∠OAD＝
∠DAB＝60°，
在Rt△AOD 中，∠OAD＝60°，AD＝6cm，
∴tan∠OAD＝tan60°＝
，即
＝
，
∴OD＝6
cm，
则圆形螺母的直径为12
cm．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数
值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
8．（4 分）如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O 为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO
缩小，则点E 的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）
B．
（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或 （﹣2，1 ）
D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4 ）
【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位
似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 解答．
【解答】解：以O 为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO 缩小，
则点E 的对应点E′的坐标为（﹣4×
，2×
）或[﹣4×（﹣
），2×（﹣
）]，
即（2，﹣1）或（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位
似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．
9．（4 分）如图，直线a∥b，Rt△ABC 的直角顶点B 落在直线a 上，若∠1＝25°，则∠2 的大小
为（ ）
A．55°
B．75°
C．65°
D．85°
【分析】由余角的定义求出∠3 的度数，再根据平行线的性质求出∠2 的度数，即可得出结
论．
【解答】解：∵∠1＝25°，∠1+∠ABC+∠3＝180°，
∴∠3＝180﹣∠1﹣∠ABC＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
10．（4 分）如图，已知直线AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，OD 交⊙O 于点B，点C 在⊙O 上，
且∠ODA＝36°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．54°
B．36°
C．30°
D．27°
【分析】由AD 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OA 与AD 垂直，在直角三角形OAD 中，
由直角三角形的两锐角互余，根据∠ODA 的度数求出∠AOD 的度数，再利用同弧所对的
圆心角等于所对圆周角的2 倍即可求出∠ACB 的度数．
【解答】解：∵AD 为圆O 的切线，
∴AD⊥OA，即∠OAD＝90°，
∵∠ODA＝36°，
∴∠AOD＝54°，
∵∠AOD 与∠ACB 都对
，
∴∠ACB＝
∠AOD＝27°．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
11．（4 分）将二次函数y＝x2+2x﹣1 的图象沿x 轴向右平移2 个单位长度，得到的函数表达式
是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2
B．y＝（x+3）2+2
C．y＝（x﹣1）2+2
D．y＝（x﹣1）2﹣2
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行
解答即可得到平移后的函数解析式．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴二次函数y＝x2+2x﹣1 的图象沿x 轴向右平移2 个单位长度，得到的函数表达式是：y＝
（x+1﹣2）2﹣2＝（x﹣1）2﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特
点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移．
12．（4 分）如表是一个4×4（4 行4 列共16 个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个
“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每
次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（ ）
30
2
sin60°
22
﹣3
﹣2
﹣
sin45°
0
|﹣5|
6
23
（
）﹣1
4
（
）﹣1
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】分析可知第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第三行为5，6，7，8，由此
可得结果．
【解答】解：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6
∴第三行为5，6，7，8，
∴方阵中第三行三列的“数”是7，
故选：C．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数的运算，掌
握运算法则是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共6 小题，共24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分．）
13．（4 分）2017 年第一季度，某市公共财政预算收入完成196 亿元，将196 亿用科学记数法
表示为
1.96×10
10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：196 亿用科学记数法表示为1.96×1010，
故答案为：1.96×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
14．（4 分）分解因式：a3﹣9a＝
a （
a +3
）（
a ﹣
3 ）
．
【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．
【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先
提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．（4 分）如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的
高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200 米到达湖
边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度
为
100
米（结果保留根号）．
【分析】先求出∠ANB＝45°，进而推得AN＝MN，最后用等腰直角三角形的性质即可得出
结论．
【解答】解：如图，
连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA＝BA'
∴AN＝A'N，
∴∠ANB＝∠A'NB＝45°，
∵∠AMB＝22.5°，
∴∠MAN＝∠ANB﹣∠AMB＝22.5°＝∠AMN，
∴AN＝MN＝200 米，
在Rt△ABN 中，∠ANB＝45°，
∴AB＝
AN＝100
（米），
故答案为100
．
【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，
等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB＝45°．
16．（4 分）若关于x 的分式方程
＝2 的解为非负数，则m 的取值范围是
m ≥﹣
1 且
m ≠
1
．
【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m
的取值范围．
【解答】解：去分母得，m﹣1＝2（x﹣1），
∴x＝
，
∵方程的解是非负数，
∴m+1≥0 即m≥﹣1
又因为x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴
≠1，
∴m≠1，
则m 的取值范围是m≥﹣1 且m≠1．
故选：m≥﹣1 且m≠1．
【点评】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m 的取值范围，因此也没有必要
求得x 的值，求得m﹣1＝2（x﹣1）即可列出关于m 的不等式了，另外，解答本题时，易漏
掉m≠1，这是因为忽略了x﹣1≠0 这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重
视．
17．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，CD＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点
E，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为
﹣
．
【分析】根据扇形面积公式以及梯形面积公式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：AB＝CD＝2，
∴EB＝
AB＝1，
∴∠ECB＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴扇形CDE 的面积为：
＝
π，
∵EB＝1，CE＝2，
∴由勾股定理可知：BC＝
，
∴AD＝BC＝
梯形EADC 的面积为：
＝
＝
，
∴阴影部分的面积为：
﹣
故答案为：
﹣
【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以及梯形的面
积公式，本题属于中等题型．
18．（4 分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE
交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；
③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有
①②③④
．（填序号）
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判
断得出答案．
【解答】解：证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE 平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF 平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B 点一定在FC 的垂直平分线上，即PB 垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故答案为①②③④．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性
质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
三、解答题：本大题共7 小题，共78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8 分）先化简，再求值：（a﹣2﹣
）÷
，其中a＝（3﹣π）0+（
）﹣1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入即可解答本题．
【解答】解：（a﹣2﹣
）÷
＝
＝
＝2a+6，
当a＝（3﹣π）0+（
）﹣1＝1+4＝5 时，原式＝2×5+6＝16．
【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们
各自的计算方法．
20．（10 分）为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对
该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面
不完整的统计图表．
整理情况
频数
频率
非常好
0.21
较好
70
0.35
一般
m
不好
36
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了
200
名学生；
（2）m＝
52
；
（3）该校有1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一
共约多少名？
（4）某学习小组4 名学生的错题集中，有2 本“非常好”（记为A1、A2），1 本“较好”（记
为B），1 本“一般”（记为C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征
完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3 本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或
“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．
【分析】（1）用较好的频数除以较好的频率．即可求出本次抽样调查的总人数；
（2）用总人数乘以非常好的频率，求出非常好的频数，再用总人数减去其它频数即可求出
m 的值；
（3）利用总人数乘以对应的频率即可；
（4）利用树形图方法，利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）本次抽样共调查的人数是：70÷0.35＝200（人）；
（2）非常好的频数是：200×0.21＝42（人），
一般的频数是：m＝200﹣42﹣70﹣36＝52（人），
（3）该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有：1500×（0.21+0.35）
＝840（人）；
（4）根据题意画图如下：
∵所有可能出现的结果共12 种情况，并且每种情况出现的可能性相等，
其中两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有2 种，
∴两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是
＝
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时
要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
21．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D，E 在⊙O 上，∠A＝2∠BDE，点C 在AB 的延长线
上，∠C＝∠ABD．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若BF＝2，EF＝
，求⊙O 的半径长．
【分析】（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE＝90°，即可得到结论；
（2）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB 的长，即可得到结
论．
【解答】（1）证明：连接OE，
则∠BOE＝2∠BDE，又∠A＝2∠BDE，
∴∠BOE＝∠A，
∵∠C＝∠ABD，∠A＝∠BOE，
∴△ABD∽△OCE
∴∠ADB＝∠OEC，
又∵AB 是直径，
∴∠OEC＝∠ADB＝90°
∴CE 与⊙O 相切；
（2）解：连接EB，则∠A＝∠BED，
∵∠A＝∠BOE，
∴∠BED＝∠BOE，
在△BOE 和△BEF 中，
∠BEF＝∠BOE，∠EBF＝∠OBE，
∴△OBE∽△EBF，
∴
＝
，则
＝
，
∵OB＝OE，
∴EB＝EF，
∴
＝
，
∵BF＝2，EF＝
，
∴
＝
，
∴OB＝
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线
是解题的关键．
22．（12 分）2017 年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某
运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土
方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15 吨；3 辆大型渣土运输
车和8 辆小型渣土运输车每次共运70 吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20 辆参与运输土方，若每次运
输土方总量不小于148 吨，且小型渣土运输车至少派出7 辆，问该渣土运输公司有几种派
出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输花费500 元/次，一辆小型渣土运输车
运输花费300 元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
【分析】（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方x 吨，一辆小型渣土运输车每次运土方y
吨，根据“一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15 吨；3 辆大型渣土运
输车和8 辆小型渣土运输车每次共运70 吨”，列方程组求解可得；
（2）设派出大型渣土运输车a 辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，根据“每次运输土方总
量不小于148 吨，且小型渣土运输车至少派出7 辆”列不等式组求解可得；
（3）设运输总花费为W，根据“总费用＝大渣土车总费用+小渣土车总费用”列出W 关于
a 的函数解析式，根据一次函数性质结合a 的范围求解可得．
【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方x 吨，一辆小型渣土运输车每次运土方
y 吨，
根据题意，可得：
，
解得：
，
答：一辆大型渣土运输车每次运土方10 吨，一辆小型渣土运输车每次运土方5 吨；
（2）设派出大型渣土运输车a 辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，
根据题意，可得：
，
解得：9.6≤a≤13，
∵a 为整数，
∴a＝10、11、12、13，
则渣土运输公司有4 种派出方案，如下：
方案一：派出大型渣土运输车10 辆、小型渣土运输车10 辆；
方案二：派出大型渣土运输车11 辆、小型渣土运输车9 辆；
方案三：派出大型渣土运输车12 辆、小型渣土运输车8 辆；
方案四：派出大型渣土运输车13 辆、小型渣土运输车7 辆；
（3）设运输总花费为W，
则W＝500a+300（20﹣a）＝200a+6000，
∵200＞0，
∴W 随a 的增大而增大，
∵9.6≤a≤13，且a 为整数，
∴当a＝10 时，W 取得最小值，最小值W＝200×10+6000＝8000，
故该公司选择方案一最省钱．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关
键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系或不等式关系列出方程组、不等式组及一次函
数解析式是解题的关键．
23．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx 的图象与反比例函数y＝
的图象
经过点A（2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA 向上平移3 个单位长度后与y 轴交于点B，与反比例函数图象在第一象限
内的交点为C，连接AB，AC，求点C 的坐标及△ABC 的面积；
（3）在第一象限内，直接写出反比例函数的值大于直线BC 的值时，自变量x 的取值范围．
【分析】（1）将点A（2，2）代入正比例函数中即可求出k 的值，再将A（2，2）代入反比例函
数中即可求出m 的值．
（2）由题意可知点B 的坐标为（0，3），所以直线BC 的解析式为y＝x+3，联立直线BC 的解
析式与反比例函数的解析式即可求出C 的坐标，连接OC，由于OA∥BC，所以△ABC 的
面积等于△BOC 的面积．
（3）因为点C 的坐标已知，在第一现象内，从图象直接观察可知x 的取值范围．
【解答】解：（1）将A（2，2）代入y＝kx，
∴2k＝2，
∴k＝1，
∴正比例函数的解析式为：y＝x
将A（2，2）代入y＝
∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝
；
（2）∵直线BC 由直线OA 向上平移3 个单位所得，
∴B（0，3）
∴直线BC 的解析式为：y＝x+3，
联立解得：
或
，
∵点C 在第一象限，
∴点C 的坐标为（1，4）
∵OA∥BC，
∴S△ABC＝S△BOC＝
×3×1＝
，
（3）在第一象限内，要使反比例函数y＝
的值大于直线BCy＝x+3 的值，从图象可知
∵点C 的坐标为（1，4）
∴0＜x＜1
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据待定系数法求出
两图象的解析式，本题属于基中等题型．
24．（12 分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角
形”，并且S△ACD＝S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE＝BF，
AF 与BE 交于点O．
（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．
探究：在△ABC 中，∠A＝30°，AB＝4，点D 在线段AB 上，连接CD，△ACD 和△BCD 是
“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD 与△ABC 重
合部分的面积等于△ABC 面积的
，请直接写出△ABC 的面积．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE 是平行
四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE＝OB，即可证得△AOE 和△AOB 是友好三
角形；
（2）△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，即可得到E 是AD 的中点，则可以求得△ABE、
△ABF 的面积，根据S 四边形CDOF＝S 矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB 是平行四边形，求出BC 和A′D
推出∠ACB＝90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC 的面积．
即可求出△ABC 的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE 是平行四边形，
∴OE＝OB，
∴△AOE 和△AOB 是友好三角形．
（2）解：∵△AOE 和△DOE 是友好三角形，
∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝
AD＝3，
∵△AOB 与△AOE 是友好三角形，
∴S△AOB＝S△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE＝S△FOB，
∴S△AOD＝S△ABF，
∴S 四边形CDOF＝S 矩形ABCD﹣2S△ABF＝4×6﹣2×
×4×3＝12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD＝S△BCD．
∴AD＝BD＝
AB，
∵沿CD 折叠A 和A′重合，
∴AD＝A′D＝
AB＝
4＝2，
∵△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的
，
∴S△DOC＝
S△ABC＝
S△BDC＝
S△ADC＝
S△A′DC，
∴DO＝OB，A′O＝CO，
∴四边形A′DCB 是平行四边形，
∴BC＝A′D＝2，
过B 作BM⊥AC 于M，
∵AB＝4，∠BAC＝30°，
∴BM＝
AB＝2＝BC，
即C 和M 重合，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC＝
＝2
，
∴△ABC 的面积是
×BC×AC＝
×2×2
＝2
；
②如图2，
∵S△ACD＝S△BCD．
∴AD＝BD＝
AB，
∵沿CD 折叠A 和A′重合，
∴AD＝A′D＝
AB＝
4＝2，
∵△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的
，
∴S△DOC＝
S△ABC＝
S△BDC＝
S△ADC＝
S△A′DC，
∴DO＝OA′，BO＝CO，
∴四边形A′BDC 是平行四边形，
∴A′C＝BD＝2，
过C 作CQ⊥A′D 于Q，
∵A′C＝2，∠DA′C＝∠BAC＝30°，
∴CQ＝
A′C＝1，
∴S△ABC＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2×
×A′D×CQ＝2×
×2×1＝2；
即△ABC 的面积是2 或2
．
【点评】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的
关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．
25．（14 分）如图1，关于x 的二次函数y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D 为
二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请
说明理由；
（3）如图2，DE 的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC？若存在求出点F 的坐
标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）把A、C 两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P 在∠DAB 的平分线上时，过P 作PM⊥AD，设出P 点坐标，可表示出PM、PE，
由角平分线的性质可得到PM＝PE，可求得P 点坐标；当点P 在∠DAB 外角平分线上时，
同理可求得P 点坐标；
（3）可先求得△FBC 的面积，过F 作FQ⊥x 轴，交BC 的延长线于Q，可求得FQ 的长，可
设出F 点坐标，表示出B 点坐标，从而可表示出FQ 的长，可求得F 点坐标．
【解答】解：
（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）存在，
当P 在∠DAB 的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM＝PD•sin∠ADE＝
（4﹣m），PE＝m，
∵PM＝PE，
∴
（4﹣m）＝m，m＝
﹣1，
∴P 点坐标为（﹣1，
﹣1）；
当P 在∠DAB 的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（﹣1，n），则PN＝PD•sin∠ADE＝
（4﹣n），PE＝﹣n，
∵PN＝PE，
∴
（4﹣n）＝﹣n，n＝﹣
﹣1，
∴P 点坐标为（﹣1，﹣
﹣1）；
综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（﹣1，
﹣1）或（﹣1，﹣
﹣1）；
（3）∵抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
∴B（1，0），
∴S△EBC＝
EB•OC＝3，
∵2S△FBC＝3S△EBC，
∴S△FBC＝
，
过F 作FQ⊥x 轴于点H，交BC 的延长线于Q，过F 作FM⊥y 轴于点M，如图3，
∵S△FBC＝S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ＝
HB•HQ﹣
BH•HF﹣
QF•FM＝
BH（HQ﹣HF）
﹣
QF•FM＝
BH•QF﹣
QF•FM＝
QF•（BH﹣FM）＝
FQ•OB＝
FQ＝
，
∴FQ＝9，
∵BC 的解析式为y＝﹣3x+3，
设F（x0，﹣x0
2﹣2x0+3），
∴﹣3x0+3+x0
2+2x0﹣3＝9，
解得：x0＝
或
（舍去），
∴点F 的坐标是（
，
），
∵S△ABC＝6＞
，
∴点F 不可能在A 点下方，
综上可知F 点的坐标为（
，
）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三
角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P 在∠DAB 的
角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ 的长是解题的关键．本题所考
查知识点较多，综合性很强，难度适中．
