四川省绵阳市2018 年中考数学试卷
一、选择题
1.（-2018）
0的值是（ ）
A. -2018 B. 2018 C. 0 D. 1
【答案】D
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【考点】0 指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：∵20180=1，故答案为：D.
【分析】根据a0=1 即可得出答案.
2.四川省公布了2017 年经济数据GDP 排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP 总量为2075 亿元。将2075 亿元
用科学计数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：∵2075 亿=2.075×1011 ，
故答案为：B.
【分析】由科学计数法：将一个数字表示成 a×10 的n 次幂的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，由此即可得出
答案.
3.如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠2=44°，那么∠1 的度数是（
）
A.14°
B.15°
C.16°
D.17°
【答案】C
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
依题可得：∠2=44°，∠ABC=60°，BE∥CD，
∴∠1=∠CBE，
又∵∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠ABC -∠2=60°-44°=16°，
即∠1=16°.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠1=∠CBE，再结合已知条件∠CBE=∠ABC -∠2，带入数值即可得∠1
的度数.
4.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】C
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.∵a2·a3=a5,故错误，A 不符合题意；
B.a3与a2不是同类项，故不能合并，B 不符合题意；
C.∵（a2）
4=a8,故正确，C 符合题意；
D.a3与a2不是同类项，故不能合并，D 不符合题意
故答案为：C.
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断对错；
D.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
5.下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，A 不符合题意；
B.是轴对称图形，B 不符合题意；
C.不是中心对称图形，C 不符合题意；
D.是中心对称图形，D 符合题意；
故答案为：D.
【分析】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案.
6.等式
成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集
【解析】【解答】解：依题可得：
x-3≥0 且x+1〉0，
∴x≥3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只
要大于0 即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案.
7.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B 的坐标为（
）
A.（4，-3）
B.（-4，3）
C.（-3，4）
D.（-3，-4）
[来源:学科网ZXXK]
【答案】B
【考点】点的坐标，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
由旋转的性质可得：
△AOC≌△BOD，
∴OD=OC，BD=AC，
又∵A（3,4），
∴OD=OC=3，BD=AC=4，
∵B 点在第二象限，
∴B（-4,3）.
故答案为：B.
【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性质和点的坐标性质
得出B 点坐标，由此即可得出答案.
8.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9 人
B.10 人
C.11 人
D.12 人
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x 人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，列出一元二次方程，解之
即可得出答案.
9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2 ， 圆柱高为3m，圆
锥高为2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A.
B.40πm2
C.
D.55πm2
【答案】A
【考点】圆锥的计算，圆柱的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，依题可得：
πr2=25π，
∴r=5，
∴圆锥的母线l=
=
，
∴圆锥侧面积S =
·2πr·l=πrl=5
π（m2）,
圆柱的侧面积S =2πr·h=2×π×5×3=30π（m2），
∴需要毛毡的面积=30π+5
π（m2），
故答案为：A.
【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形
圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案.
10.一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30 海里到达
C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）
（参考数据：
）（ ）
A. 4.64 海里 B. 5.49 海
里 C. 6.12 海
里 D. 6.21 海里
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD 中，
∴AD=DE=
x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2
x+2x=30，
∴x=
=
≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出
BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD 中，根据勾股定理得AD=DE=
x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2
x+2x=30，解之即可得出答案.
11.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若
AE=
，AD=
，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,
即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△DCB 和△ECA 中，
,
∴△DCB≌△ECA，
∴DB=EA=
,∠CDB=∠E=45°,
∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ABD 中，
∴AB=
=2
，
在Rt△ABC 中，
∴2AC2=AB2=8，
∴AC=BC=2，
在Rt△ECD 中，
∴2CD2=DE2=
，
∴CD=CE=
+1，
∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，
∴△CAO∽△CDA，
∴
：
=
=
=4-2
，
又∵
=
CE =
DE·CH，
∴CH=
=
，
∴
=
AD·CH=
×
×
=
，
∴
=（4-2
）×
=3-
.
即两个三角形重叠部分的面积为3-
.
故答案为：D.
【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由
同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA=
,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD 中，根据勾股定理得AB=2
，同理可得AC=BC=2，CD=CE=
+1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出
两个三角形重叠部分的面积.
12.将全体正奇数排成一个三角形数阵
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
… … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第25 行的第20 个数是（ ）
A.639
B.637
C.635
D.633
【答案】A
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：依题可得：第25 行的第一个数为：
1+2+4+6+8+……+2×24=1+2×
=601，
∴第25 行的第第20 个数为：601+2×19=639.
故答案为：A.
【分析】根据规律可得第25 行的第一个数为，再由规律得第25 行的第第20 个数.
二、填空题
13.因式分解：
________。
【答案】y（x++2y）（x-2y）
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：原式=y（x++2y）（x-2y）,
故答案为：y（x++2y）（x-2y）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
14.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），
那么“卒”的坐标为________。
【答案】（-2，-2）
【考点】点的坐标，用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系（如图），
∵相（3，-1），兵（-3，1），
∴卒（-2，-2），
故答案为：（-2，-2）.
【分析】根据题中相和兵的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，从而得出卒的坐标.
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15.现有长分别为1，2，3，4，5 的木条各一根，从这5 根木条中任取3 根，能够构成三角形的概率是________。
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：从5 根木条中任取3 根的所有情况为：1、2、3；1、2、4；1、2、5；1、3、4；1、3、5；1、4、5；2、
3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；共10 种情况；
∵能够构成三角形的情况有：2、3、4；2、4、5；3、4、5；共3 种情况；
∴能够构成三角形的概率为：
.
故答案为：
.
【分析】根据题意先列出从5 根木条中任取3 根的所有情况数，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三
边，两边之差小于第三边，找出能够构成三角形的情况数，再由概率公式求解即可.
16.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
【答案】4
-4
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C 三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=-
，
∴此抛物线解析式为：y=-
（x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴-
（x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2
，x2=-2
，
∴下降之后的水面宽为：4
.
∴水面宽度增加了：4
-4.
故答案为：4
-4.
【分析】根据题意以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B
（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C 三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降
2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
17.已知a>b>0,且
，则
________。
【答案】
【考点】解分式方程，换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵
+
+
=0，
两边同时乘以ab（b-a）得：
a2-2ab-2b2=0，
两边同时除以a2得：
2（
）
2+2
-1=0，
令t=
（t〉0）,
∴2t2+2t-1=0，
∴t=
，
∴t=
=
.
故答案为：
.
【分析】等式两边同时乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a 得：
2（
）
2+2
-1=0，解此一元二次方程即可得答案.
18.如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若AC，BC 边上的中线BE,AD 垂直相交于点O，则AB=________.
【答案】
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
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【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD、BE 为三角形中线，
∴DE∥AB，DE=
AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴
=
=
=
，
设OD=x，OE=y，
∴OA=2x，OB=2y,
在Rt△BOD 中，
x2+4y 2=4 ①，
在Rt△AOE 中，
4x2+y2=
②，
∴①+ ②得：
5x2+5y2=
，
∴x2+y2=
，
在Rt△AOB 中，
∴AB2=4x2+4y2=4（x2+y 2）=4×
，
即AB=
.
故答案为：
.
【分析】连接DE，根据三角形中位线性质得DE∥AB，DE=
AB，从而得△DOE∽△AOB，根据相似三角形的性
质可得
=
=
=
；设OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y,根据勾股定理可得x2+4y2=4，4x2+y2=
，两式相加可得x2+y2=
，在Rt△AOB 中，由股股定理可得AB=
.
三、解答题。
19.
（1）计算：
（2）解分式方程：
【答案】（1）原式=
×3
-
×
+2-
+
，
=
-
+2-
+
，
=2.
（2）方程两边同时乘以x-2 得：
x-1+2（x-2）=-3,
去括号得：x-1+2x-4=-3,
移项得：x+2x=-3+1+4,
合并同类项得：3x=2，
系数化为1 得：x=
.
检验：将x=
代入最简公分母不为0，故是原分式方程的根，
∴原分式方程的解为：x=
.
【考点】实数的运算，解分式方程
【解析】
【分析】将分式方程转化成整式方程，再按照去括号——移项——合并同类项——系数化为1 即可得
出答案，经检验是原分式方程的根.
20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16 时，为“不称职”，当
时为“基
本称职”，当
时为“称职”，当
时为“优秀”。根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全折线统计图和扇形统计图；
（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；
（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的
销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员能获奖，月销售额奖励标准
应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由。
【答案】（1）解：（1）依题可得：
“不称职”人数为：2+2=4（人），
“基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人），
“称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人），
∴总人数为：20÷50%=40（人），
∴不称职”百分比：a=4÷40=10%，
“基本称职”百分比：b=10÷40=25%，
“优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%，
∴“优秀”人数为：40×15%=6（人），
∴得26 分的人数为：6-2-1-1=2（人），
补全统计图如图所示：
（2）由折线统计图可知：“称职”20 万4 人，21 万5 人，22 万4 人，23 万3 人，24 万4 人，
“优秀”25 万2 人，26 万2 人，27 万1 人，28 万1 人；
“称职”的销售员月销售额的中位数为：22 万，众数：21 万；
“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26 万，众数：25 万和26 万；
（3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22 万.
∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22 万，
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22 万元.
【考点】扇形统计图，折线统计图，中位数，众数
【解析】【分析】（1）由折线统计图可知：“称职”人数为20 人，由扇形统计图可知：“称职”百分比为50%，
根据总人数=频数÷频率即可得，再根据频率=频数÷总数即可得各部分的百分比，从而补全扇形统计图；由频
数=总数×频率可得“优秀”人数为6 人，结合折线统计图可得
得26 分的人数为2 人，从而补全折线统计图.（2）由折线统计图可知：“称职”和“优秀”各人数，再根据
中位数和众数定义即可得答案.（3）由（2）知“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数，根据题意即
可知月销售额奖励标准.
21.有大小两种货车，3 辆大货车与4 辆小货车一次可以运货18 吨，2 辆大货车与6 辆小货车一次可以运货
17 吨。
（1）请问1 辆大货车和1 辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10 辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车
一次运费话费130 元，每辆小货车一次运货花费100 元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
【答案】（1）解：设1 辆大货车一次可以运货x 吨，1 辆小货车一次可以运货y 吨，依题可得：
,
解得：
.
答：1 辆大货车一次可以运货4 吨，1 辆小货车一次可以运货
吨。
（2）解：设大货车有m 辆，则小货车10-m 辆，依题可得：
4m+
（10-m）≥33
m≥0
10-m≥0
解得：
≤m≤10，
∴m=8,9,10；
∴当大货车8 辆时，则小货车2 辆；
当大货车9 辆时，则小货车1 辆；
当大货车10 辆时，则小货车0 辆；
设运费为W=130m+100(10-m）=30m+1000，
∵k=30〉0，
∴W 随x 的增大而增大，
∴当m=8 时，运费最少，
∴W=30×8+1000=1240（元），
答：货运公司应安排大货车8 辆时，小货车2 辆时最节省费用.
【考点】二元一次方程组的其他应用，一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设1 辆大货车一次可以运货x 吨，1 辆小货车一次可以运货y 吨，根据3 辆大货车与4 辆
小货车一次可以运货18 吨，2 辆大货车与6 辆小货车一次可以运货17 吨可列出二元一次方程组，解之即可
得出答案.（2）设大货车有m 辆，则小货车10-m 辆，根据题意可列出一元一次不等式组，解之即可得出m 范
围，从而得出派车方案，再由题意可得W=130m+100(10-m）=30m+1000，根据一次函数的性质，k〉0，W 随x
的增大而增大，从而得当m=8 时，运费最少.
22.如图，一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于A，B 两点，过点A 做x 轴的
垂线，垂足为M，△AOM 面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y 轴上求一点P,使PA+PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标。
【答案】（1）解：（1）设A（x，y）
∵A 点在反比例函数上，
∴k=xy，
又∵
=
.OM·AM=
·x·y=
k=1，
∴k=2.
∴反比例函数解析式为：y=
.
（2）解：作A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B 交y 轴于点P，PA+PB 的最小值即为A′B.
∴
，
∴
或
.
∴A（1,2），B（4，
），
∴A′（-1，2），
∴PA+PB=A′B=
=
.
设A′B 直线解析式为：y=ax+b，
∴
，
∴
，
∴A′B 直线解析式为：y=-
x+
，
∴P（0，
）.
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数系数k 的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，反
比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设A（x，y）,A 在反比例函数解析式上，由反比例函数k 的几何意义可得k=2，从而得反比
例函数解析式.（2）作A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B 交y 轴于点P，PA+PB 的最小值即为A′B.联立反
比例函数和一次函数解析式，得出A（1,2），B（4，
），从而得A′（-1.2），根据两点间距离公式得
PA+PB=A′B 的值；再设A′B 直线解析式为：y=ax+b，根据待定系数法求得
A′B 直线解析式，从而得点P 坐标.
23.如图，AB 是
的直径，点D 在
上（点D 不与A，B 重合），直线AD 交过点B 的切线于点C，过点D
作
的切线DE 交BC 于点E。
（1）求证：BE=CE；
（2）若DE 平行AB，求
的值。
【答案】（1）证明：连接OD、BD，
∵EB、ED 分别为圆O 的切线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵AB 为圆O 的直径，
∴BD⊥AC，
∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE，
∴∠CDE=∠DCE，
∴ED=EC，
∴EB=EC.
（2）解：过O 作OH⊥AC，设圆O 半径为r，
∵DE∥AB，DE、EB 分别为圆O 的切线，
∴四边形ODEB 为正方形，
∵O 为AB 中点，
∴D、E 分别为AC、BC 的中点，
∴BC=2r，AC=2
r，
在Rt△COB 中，
∴OC=
r，
又∵
=
·AO·BC=
·AC·OH，
∴r×2r=2
r×OH,
∴OH=
r，
在Rt△COH 中，
∴sin∠ACO=
=
=
.
【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长定理
【解析】【分析】（1）证明：连接OD、BD，由切线长定理得ED=EB，由等腰三角形性质得∠EDB=∠EBD；根据圆
周角定理得BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰三角形性质和等量代换可得EB=EC.（2）
过O 作OH⊥AC，设圆O 半径为r，根据切线长定理和正方形的判定可得四边形ODEB 为正方形，从而得出
D、E 分别为AC、BC 的中点，从而得BC=2r，AC=2
r，在Rt△COB 中，
再根据勾股定理得OC=
r；由
=
·AO·BC=
.AC.OH 求出OH=
r，在Rt△COH 中，
根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案.
24.如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N 同时从A 点出发，M 沿
A→C,N 沿折线A→B→C，均以每秒1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C 时，另一个动点也随之
停止移动，移动时间记为t 秒。连接MN。
（1）求直线BC 的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN 沿直线MN 翻折，点A 恰好落在BC 边上点D 处，求此时t 值及点D 的坐标；
（3）当点M,N 移动时，记△ABC 在直线MN 右侧部分的面积为S，求S 关于时间t 的函数关系式。
【答案】（1）解：设直线BC 解析式为：y=kx+b，
∵B（0，4），C（-3，0），
∴
，
解得：
∴直线BC 解析式为：y=
x+4.
（2）解：依题可得：AM=AN=t，
∵△AMN 沿直线MN 翻折，点A 与点点D 重合，
∴四边形AMDN 为菱形，
作NF⊥x 轴，连接AD 交MN 于O′，
∵A（3，0），B（0，4），
∴OA=3,OB=4，
∴AB=5,
∴M（3-t，0），
又∵△ANF∽△ABO，
∴
=
=
,
∴
=
=
,
∴AF=
t，NF=
t，
∴N（3-
t，
t），
∴O′（3-
t,
t），
设D（x,y）,
∴
=3-
t，
=
t，
∴x=3-
t,y=
t，
∴D（3-
t，
t），
又∵D 在直线BC 上，
∴
×（3-
t）+4=
t，
∴t=
，
∴D（-
，
）.
（3）①当0<t≤5 时（如图2），
△ABC 在直线MN 右侧部分为△AMN，
∴S=
=
·AM·DF=
×t×
t=
t ,
②当5<t≤6 时，△ABC 在直线MN 右侧部分为四边形ABNM，如图3
∵AM=AN=t，AB=BC=5，
∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t，
又∵△CNF∽△CBO，
∴
=
,
∴
=
,
∴NF=
（10-t），
∴S=
-
=
·AC·OB-
·CM·NF，
=
×6×4-
×（6-t）×
（10-t），
=-
t +
t-12.
【考点】待定系数法求一次函数解析式，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，二次函数的实际
应用-动态几何问题，几何图形的动态问题
【解析】【分析】（1）设直线BC 解析式为：y=kx+b，将B、C 两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可
得出直线BC 解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN 为菱形，作NF⊥x 轴，连接AD
交MN 于O′，结合已知条件得M（3-t，0），又△ANF∽△ABO，根据相似三角形性质得
=
=
,
代入数值即可得AF=
t，NF=
t，从而得N（3-
t，
t），根据中点坐标公式得O′（3-
t,
t），
设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3-
t，
t），又由D 在直线BC 上，代入即可得D 点坐标.（3）①当0<t≤5
时（如图2），△ABC 在直线MN 右侧部分为△AMN，根据三角形面积公式即可得出S 表达式.
②当5<t≤6 时，△ABC 在直线MN 右侧部分为四边形ABNM，由△CNF∽△CBO，根据相似三角形性质得
=
,代入数值得NF= （10-t），最后由S=
-
=
·AC·OB-
·CM·NF，代入数值即可得表
达式.
25.如图，已知抛物线
过点A
和B
，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与
点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P 为顶点的三角形与
△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得
?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵点A、B 在抛物线上，
∴
，
解得：
∴抛物线解析式为：y=
x -
x.
（2）解：设P（x，y），
∵A（
，-3），
∴C（0，-3），D（x,-3）,
∴PD=y+3，CO=3，AD=x-
，AC=
，
①当△ADP∽△ACO 时，
∴
=
，
∴
=
∴y=
x-6，
又∵P 在抛物线上，
∴
，
∴x -5
x+12=0，
∴（x-4
）（x-
）=0,
∴x =4
,x =
，
∴
或
,
∵A（
，-3），
∴P（4
,6）.
②当△PDA∽△ACO 时，
∴
=
，
∴
=
，
∴y=
x-4,
又∵P 在抛物线上，
∴
，
∴
x -11x+8
=0，
∴（
x-8）（x-
）=0,
∴x =
,x =
，
解得：
或
,
∵A（
，-3），
∴P（
,-
）.
综上，P 点坐标为（4
,6）或（
,-
）.
（3）解：∵A
，
∴AC=
,OC=3，
∴OA=2
,
∴
=
·OC·AC=
·OA·h=
，
∴h=
，
又∵
=
，
∴△AOQ 边OA 上的高=3h=
,
过O 作OM⊥OA,截取OM=
，过点M 作MN∥OA 交y 轴于点N ，过M 作HM⊥x 轴,（如图），
∵AC=
,OA=2
,
∴∠AOC==30°，
又∵MN∥OA，
∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN，
∴ON=2OM=9，∠NOM=60°，
即N（0,9），
∴∠MOB=30°，
∴MH=
OM=
,
∴OH=
=
,
∴M（
，
），
设直线MN 解析式为：y=kx+b，
∴
，
∴
∴直线MN 解析式为：y=-
x+9，
∴
，
∴x -
x-18=0,
（x-3
）（x+2
）=0,
∴x =3
,x =-2
，
∴
或
，
∴Q 点坐标（3
，0）或（-2
，15），
∴抛物线上是否存在点Q，使得
.
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，含30 度角的直角三角形，相似三角
形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A、B 两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程组，解之即可得抛物线解
析式.（2）设P（x，y），根据点的坐标性质结合题意可得PD=y+3，CO=3，AD=x-
，AC=
，分情况讨论：①当
△ADP∽△ACO 时，根据相似三角形的性质得
=
，代入数值可得y=
x-6，
又P 在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P 坐标（4
,6）.
②当△PDA∽△ACO 时，根据相似三角形的性质得
=
，代入数值可得y=
x-4,又P 在抛物线上，
联立解一个二元一次方程组得点P 坐标P（
,-
）.（3）根据点A 坐标得AC=
,OC=3，由勾股定理得
OA=2
,根据三角形面积公式可得△AOC 边OA 上的高h=
，又
=
得△AOQ 边OA 上的高
为
；过O 作OM⊥OA,截取OM=
，过点M 作MN∥OA 交y 轴于点N ，过M 作HM⊥x 轴,（如图），根据直
角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH 中，根据直角三角形性质
和勾股定理得M（
，
）；用待定系数法求出直线MN 解析式，再讲直线MN 和抛物线解析式联立即可
得Q 点坐标.
