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2018 年四川省巴中市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）﹣1+3 的结果是（ ）
A．﹣4 B．4C．﹣2 D．2
2．（3 分）毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校．现用一个正方体盒
子进行包装，六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，
“母”与“美”在相对的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能
是（ ）
A．
B．
C．
D
．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a（b
1
﹣）=ab
a
﹣
C．3a
1
﹣=
D．（3a2
6a
﹣
+3）÷3=a2
2a
﹣
4．（3 分）2017 年四川省经济总量达到3.698 万亿元，居全国第6 位，在全国发展
大局中具有重要地位．把3.698 万亿用科学记数法表示（精确到0.1 万亿）为（
）
A．3.6×1012 B．3.7×1012 C．3.6×1013 D．3.7×1013
5．（3 分）在创建平安校园活动中，九年级一班举行了一次“安全知识竞赛”活动，
第一小组6 名同学的成绩（单位：分）分别是：87，91，93，87，97，96，下列关于这
组数据说法正确的是（ ）
第1页（共31页）
A．中位数是90 B．平均数是90 C．众数是87
D．极差是9
6．（3 分）如图，在△ABC 中，点D，E 分别是边AC，AB 的中点，BD 与CE 交于点O，
连接DE．下列结论：①
=
；②
=
；③
=
；④
=
．其中正确的
个数有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
7．（3 分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛
物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮
框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下
列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣
x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
8．（3 分）若分式方程
+
=
有增根，则实数a 的取值是（ ）
A．0 或2
B．4C．8D．4 或8
9．（3 分）如图，⊙O 中，半径OC⊥弦AB 于点D，点E 在⊙O 上，∠E=22.5°，AB=4，
则半径OB 等于（ ）
第2页（共31页）
A．
B．2C．2
D．3
10．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B 为圆心，适
当长为半径画弧，与AB，BC 分别交于点D，E；②分别以D，E 为圆心，大于
DE 的
长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP 交AC 于点F；④过点F 作FG⊥AB 于点
G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG
B．AF=AG
C．AF=CF
D．AG=FG
二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分。将正确答案直接写在答题
卡相应的位置上）
11．（3 分）函数y=
+
中自变量x 的取值范围是 ．
12．（3 分）分解因式：2a3
8a=
﹣
．
13．（3 分）已知|sinA﹣
|+
=0，那么∠A+∠B= ．
14．（3 分）甲、乙两名运动员进行了5 次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3
秒，而S 甲2=3.7，S 乙2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 ．
15．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D、点E 分别是边AB、AC 的中点，
点F 在AB 上，且EF∥CD．若EF=2，则AB= ．
第3页（共31页）
16．（3 分）如图，在△ABC 中，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则
∠A= ．
17．（3 分）把抛物线y=x2
2x
﹣
+3 沿x 轴向右平移2 个单位，得到的抛物线解析式
为 ．
18．（3 分）不等式组
的整数解是x= ．
19．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与边BC 相切于点E，若
AD=4，则图中的阴影部分的面积为 ．
20．（3 分）对于任意实数a、b，定义：a b=a
◆
2+ab+b2．若方程（x 2
◆）﹣5=0 的两根记
为m、n，则m2+n2= ．
三、解答题（本大题共11 小题，共90 分。请把解答过程写在答题卡相应的位置
上）
21．（5 分）计算：
+（﹣
）﹣1+|1﹣
|
4sin45°
﹣
．
22．（5 分）解方程：3x（x
2
﹣）=x
2
﹣．
23．（6 分）先化简，再求值：（
+
）÷
，其中x=﹣
．
第4页（共31页）
24．（8 分）如图，在▱ABCD 中，过B 点作BM⊥AC 于点E，交CD 于点M，过D 点作
DN⊥AC 于点F，交AB 于点N．
（1）求证：四边形BMDN 是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN 的长．
25．（8 分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣
3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O 为位似中心，在第一象限内把△ABC 扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，
并写出A2点的坐标： ．
26．（10 分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3 个红球和2 个白球，
把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1 个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽
取1 个球是黑球”是 事件；
（2）从中任意抽取1 个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从
盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则
公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
27．（10 分）如图所示，四边形ABCD 是菱形，边BC 在x 轴上，点A（0，4），点B（3，
第5页（共31页）
0），双曲线y=
与直线BD 交于点D、点E．
（1）求k 的值；
（2）求直线BD 的解析式；
（3）求△CDE 的面积．
28．（8 分）学校需要添置教师办公桌椅A、B 两型共200 套，已知2 套A 型桌椅和
1 套B 型桌椅共需2000 元，1 套A 型桌椅和3 套B 型桌椅共需3000 元．
（1）求A，B 两型桌椅的单价；
（2）若需要A 型桌椅不少于120 套，B 型桌椅不少于70 套，平均每套桌椅需要运
费10 元．设购买A 型桌椅x 套时，总费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并直接
写出x 的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
29．（8 分）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们
分别在A，B 两处用高度为1.5m 的测角仪测得塑像顶部C 的仰角分别为30°，45°，
两人间的水平距离AB 为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
30．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=BC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D，交AC 于
点F，过点C 作CE∥AB，与过点A 的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=6，AC=4，求AE 的长．
第6页（共31页）
31．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx
2
﹣与x 轴交于点A、B
（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N 分别是线段BC、AB 上的动点，点M 从点B 出发以每秒
个单位的速
度向点C 运动，同时点N 从点A 出发以每秒2 个单位的速度向点B 运动，当点M、
N 中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M 作MP⊥x 轴于点E，交抛物
线于点P．设点M、点N 的运动时间为t（s），当t 为多少时，△PNE 是等腰三角形
第7页（共31页）
2018 年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）﹣1+3 的结果是（ ）
A．﹣4 B．4C．﹣2 D．2
【分析】根据有理数的加法解答即可．
【解答】解：﹣1+3=2，
故选：D．
【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据法则计算．
2．（3 分）毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校．现用一个正方体盒
子进行包装，六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，
“母”与“美”在相对的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能
是（ ）
A．
B．
C．
D
．
【分析】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可．
【解答】解：选项C 不可能．
理由：选项C，不可能围成的立方体，不符合题意，
第8页（共31页）
故选：D．
【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
注意正方体的平面展开图中，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a（b
1
﹣）=ab
a
﹣
C．3a
1
﹣=
D．（3a2
6a
﹣
+3）÷3=a2
2a
﹣
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘多项式、负整数指数幂及多项式除以单项
式法则逐一计算可得．
【解答】解：A、a2、a3不是同类项，不能合并，错误；
B、a（b
1
﹣）=ab
a
﹣，正确；
C、3a
1
﹣=
，错误；
D、（3a2
6a
﹣
+3）÷3=a2
2a
﹣
+1，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式乘
多项式、负整数指数幂及多项式除以单项式法则．
4．（3 分）2017 年四川省经济总量达到3.698 万亿元，居全国第6 位，在全国发展
大局中具有重要地位．把3.698 万亿用科学记数法表示（精确到0.1 万亿）为（
）
A．3.6×1012 B．3.7×1012 C．3.6×1013 D．3.7×1013
【分析】由于1 亿为108，则1 万亿=1000×108，然后根据乘方的意义可表示为
1×1012．
【解答】解：3.698 万亿=3.698×1012≈3.7×1012
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数：用a×10n（1≤a＜10，n 为正整
数）表示数的方法叫科学记数法．也考查了乘方的意义．
5．（3 分）在创建平安校园活动中，九年级一班举行了一次“安全知识竞赛”活动，
第9页（共31页）
第一小组6 名同学的成绩（单位：分）分别是：87，91，93，87，97，96，下列关于这
组数据说法正确的是（ ）
A．中位数是90 B．平均数是90 C．众数是87
D．极差是9
【分析】根据中位数、平均数、众数、极差的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：87，87，91，93，96，97，
则中位数是（91+93）÷2=92，
平均数是（87+87+91+93+96+97）÷6=91
，
众数是87，
极差是97
87=10
﹣
．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数、平均数、众数、极差的知识，掌握各知识点的概念是解
答本题的关键．
6．（3 分）如图，在△ABC 中，点D，E 分别是边AC，AB 的中点，BD 与CE 交于点O，
连接DE．下列结论：①
=
；②
=
；③
=
；④
=
．其中正确的
个数有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】由点D，E 分别是边AC，AB 的中点知DE 是△ABC 的中位线，据此知
DE∥BC 且
=
，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
【解答】解：∵点D，E 分别是边AC，AB 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
第10页（共31页）
∴DE∥BC 且
=
，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴
=
=
=
，①错误；
=（
）2=
，③错误；
∵
=
=
=
，
∴
=
，④正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理
及相似三角形的判定与性质．
7．（3 分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛
物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮
框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下
列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣
x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
第11页（共31页）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得
a 的值；
B、根据函数图象判断；
C、根据函数图象判断；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=
0.2x
﹣
2+3.5，当x=
2
﹣，
5 时，即可求得结论．
【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣
，
∴y=﹣
x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=
0.2x
﹣
2+3.5，
∴当x=
2.5
﹣
时，
h=
0.2
﹣
×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
第12页（共31页）
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函
数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不
同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
8．（3 分）若分式方程
+
=
有增根，则实数a 的取值是（ ）
A．0 或2
B．4C．8D．4 或8
【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x
2
﹣），得3x
a
﹣+x=2（x
2
﹣），
由题意得，分式方程的增根为0 或2，
当x=0 时，﹣a=
4
﹣，
解得，a=4，
当x=2 时，6
a
﹣+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能
产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0 或是转化后的整式方程
的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
9．（3 分）如图，⊙O 中，半径OC⊥弦AB 于点D，点E 在⊙O 上，∠E=22.5°，AB=4，
则半径OB 等于（ ）
A．
B．2C．2
D．3
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB 是等腰直角三角形，
进而得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB 于点D，
第13页（共31页）
∴
=
，
∴∠E=
∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB 是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB 等于：
=2
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB 是等腰直角三
角形是解题关键．
10．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B 为圆心，适
当长为半径画弧，与AB，BC 分别交于点D，E；②分别以D，E 为圆心，大于
DE 的
长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP 交AC 于点F；④过点F 作FG⊥AB 于点
G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG
B．AF=AG
C．AF=CF
D．AG=FG
【分析】根据作图的过程知道：EF 是∠CBG 的角平分线，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：根据作图的步骤得到：EF 是∠CBG 的角平分线，
A、因为EF 是∠CBG 的角平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；
B、AF 是直角△AFG 的斜边，AF＞AG，故本选项错误；
C、EF 是∠CBG 的角平分线，但是点F 不一定是AC 的中点，即AF 与CF 不一定相等，
故本选项错误；
D、当Rt△ABC 是等腰直角三角形时，等式AG=FG 才成立，故本选项错误；
第14页（共31页）
故选：A．
【点评】考查了作图﹣﹣复杂作图和角平分线的性质，根据作图的步骤推知EF 是
∠CBG 的角平分线，是解题的关键．
二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分。将正确答案直接写在答题
卡相应的位置上）
11．（3 分）函数y=
+
中自变量x 的取值范围是
x ≥
1 且
x ≠
2
．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列不等式计算即可得解．
【解答】解：由题意得
，
解得：x≥1 且x≠2，
故答案为：x≥1 且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式
是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不
能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（3 分）分解因式：2a3
8a=
﹣
2a
（
a + 2 ）（
a
2
﹣
）
．
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2a（a2
4
﹣）=2a（a+2）（a
2
﹣），
故答案为：2a（a+2）（a
2
﹣）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方程
是解本题的关键．
13．（3 分）已知|sinA﹣
|+
=0，那么∠A+∠B=
90°
．
【分析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：sinA=
，tanB=
，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°
第15页（共31页）
故答案为：90°
【点评】本题考查特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练运用特殊角的锐
角三角函数值，本题属于基础题型．
14．（3 分）甲、乙两名运动员进行了5 次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3
秒，而S 甲2=3.7，S 乙2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方
差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据
越稳定，比较出甲和乙的方差大小即可．
【解答】解：∵S 甲2=3.7，S 乙2=6.25，
∴S 甲2＜S 乙2，
∴两人中成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D、点E 分别是边AB、AC 的中点，
点F 在AB 上，且EF∥CD．若EF=2，则AB=
8
．
【分析】由E 是AC 中点且EF∥CD 知CD=2EF=4，再根据Rt△ABC 中D 是AB 中点知
AB=2CD，据此可得．
【解答】解：∵E 是AC 中点，且EF∥CD，
∴EF 是△ACD 的中位线，
则CD=2EF=4，
在Rt△ABC 中，∵D 是AB 中点，
∴AB=2CD=8，
第16页（共31页）
故答案为：8．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握中位线定理及直角
三角形斜边上的中线的性质．
16．（3 分）如图，在△ABC 中，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则
∠A=
40°
．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠ACB，再根据三
角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180° ，则∠BOC=180°﹣
（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+
∠A，然后把
∠BOC=110°代入计算可得到∠A 的度数．
【解答】解：∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣
（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣
（180°﹣∠A）=90°+
∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+
∠A=110°
∴∠A=40°．
第17页（共31页）
故答案为40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
17．（3 分）把抛物线y=x2
2x
﹣
+3 沿x 轴向右平移2 个单位，得到的抛物线解析式
为
y=
（
x
3
﹣
）
2 + 2
．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不
变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：y=x2
2x
﹣
+3=（x
1
﹣）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向右平移2 个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣
3）2+2，
故答案为：y=（x
3
﹣）2+2
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加
右减，上加下减．
18．（3 分）不等式组
的整数解是x= ﹣
4
．
【分析】先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤﹣4，
解不等式②得：x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，
∴不等式组的整数解为x=
4
﹣，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的
性质求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与边BC 相切于点E，若
AD=4，则图中的阴影部分的面积为
8
2π
﹣
．
第18页（共31页）
【分析】由半圆的直径为4 且与矩形一边BC 相切可得矩形的宽AB=2，再根据阴影
部分面积=矩形面积﹣半圆面积求解可得．
【解答】解：∵半圆的直径AD=4，且与BC 相切，
∴半径为2，AB=2，
∴图中的阴影部分的面积为4×2﹣
•π•22=8
2π
﹣
，
故答案为：8
2π
﹣
．
【点评】本题主要考查切线的性质与矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、
切线的性质及阴影部分面积的计算关系式．
20．（3 分）对于任意实数a、b，定义：a b=a
◆
2+ab+b2．若方程（x 2
◆）﹣5=0 的两根记
为m、n，则m2+n2=
6
．
【分析】根据新定义可得出m、n 为方程x2+2x
1=0
﹣
的两个根，利用根与系数的关
系可得出m+n=
2
﹣、mn=
1
﹣，将其代入m2+n2=（m+n）2
2mn
﹣
中即可得出结论．
【解答】解：∵（x 2
◆）﹣5=x2+2x+4
5
﹣，
∴m、n 为方程x2+2x
1=0
﹣
的两个根，
∴m+n=
2
﹣，mn=
1
﹣，
∴m2+n2=（m+n）2
2mn=6
﹣
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣
、两根之积等于
是
解题的关键．
三、解答题（本大题共11 小题，共90 分。请把解答过程写在答题卡相应的位置
上）
21．（5 分）计算：
+（﹣
）﹣1+|1﹣
|
4sin45°
﹣
．
【分析】根据绝对值的概念、特殊三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简计
第19页（共31页）
算即可得出结论．
【解答】解：
+（﹣
）﹣1+|1﹣
|
4sin45°
﹣
=2
3
﹣+
1
4
﹣﹣×
=2
3
﹣+
1
2
﹣﹣
=
4
﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，负指数，绝对值，特殊角的三角函数，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
22．（5 分）解方程：3x（x
2
﹣）=x
2
﹣．
【分析】移项后提取公因式x
2
﹣后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：3x（x
2
﹣）=x
2
﹣，
移项得：3x（x
2
﹣）﹣（x
2
﹣）=0
整理得：（x
2
﹣）（3x
1
﹣）=0
x
2=0
﹣
或3x
1=0
﹣
解得：x1=2 或x2=
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取
公因式，防止两边同除以x
2
﹣，这样会漏根．
23．（6 分）先化简，再求值：（
+
）÷
，其中x=﹣
．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=
•
=
，
当x=﹣
时，原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（8 分）如图，在▱ABCD 中，过B 点作BM⊥AC 于点E，交CD 于点M，过D 点作
第20页（共31页）
DN⊥AC 于点F，交AB 于点N．
（1）求证：四边形BMDN 是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN 的长．
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN 即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN 中，根据勾股定理AN=
即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN 是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN 是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN 中，AN=
=
=13．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理
等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（8 分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣
第21页（共31页）
3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： （﹣
3 ，
3 ）
；
（3）以O 为位似中心，在第一象限内把△ABC 扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，
并写出A2点的坐标： （
6 ，
6 ）
．
【分析】（1）根据A、B、C 三点坐标画出图形即可；
（2）作出A、B、C 关于轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）延长OC 到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；
【解答】解：（1）△ABC 如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
26．（10 分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3 个红球和2 个白球，
把它们充分搅匀．
第22页（共31页）
（1）“从中任意抽取1 个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽
取1 个球是黑球”是 不可能 事件；
（2）从中任意抽取1 个球恰好是红球的概率是
；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从
盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则
公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）“从中任意抽取1 个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中
任意抽取1 个球是黑球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）从中任意抽取1 个球恰好是红球的概率是：
；
故答案为：
；
（3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20 种可能，两球同色的有8 种情况，故选择甲的概率为：
=
；
则选择乙的概率为：
，
故此游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．
第23页（共31页）
27．（10 分）如图所示，四边形ABCD 是菱形，边BC 在x 轴上，点A（0，4），点B（3，
0），双曲线y=
与直线BD 交于点D、点E．
（1）求k 的值；
（2）求直线BD 的解析式；
（3）求△CDE 的面积．
【分析】（1）先求出D 点的坐标，再代入求出即可；
（2）设直线BD 的解析式为y=ax+b，把B（3，0），D（5，4）代入得出方程组，求出方
程组的解即可；
（3）求出E 点的坐标，分别求出△CBD 和△CBE 的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（0，4），点B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
过D 作DF⊥x 轴于F，则∠AOB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=DC=CD=AD=5，AD∥BC，
∴AO=DF=4，
∵AD∥BC，AO⊥OB，DF⊥x 轴，
∴∠DAO=∠AOF=∠DFO=90°，
第24页（共31页）
∴四边形AOFD 是矩形，
∴AD=OF=5，
∴D 点的坐标为（5，4），
代入y=
得：k=5×4=20；
（2）设直线BD 的解析式为y=ax+b，
把B（3，0），D（5，4）代入得：
，
解得：a=2，b=
6
﹣，
所以直线BD 的解析式是y=2x
6
﹣；
（3）由（1）知：k=20，
所以y=
，
解方程组
得：
，
，
∵D 点的坐标为（5，4），
∴E 点的坐标为（2，10），
∵BC=5，
∴△CDE 的面积S=S△CDB+S△CBE=
+
=35．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次函
数和反比例函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．
28．（8 分）学校需要添置教师办公桌椅A、B 两型共200 套，已知2 套A 型桌椅和
1 套B 型桌椅共需2000 元，1 套A 型桌椅和3 套B 型桌椅共需3000 元．
（1）求A，B 两型桌椅的单价；
（2）若需要A 型桌椅不少于120 套，B 型桌椅不少于70 套，平均每套桌椅需要运
费10 元．设购买A 型桌椅x 套时，总费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并直接
写出x 的取值范围；
第25页（共31页）
（3）求出总费用最少的购置方案．
【分析】（1）根据“2 套A 型桌椅和1 套B 型桌椅共需2000 元，1 套A 型桌椅和3
套B 型桌椅共需3000 元”，建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A 型桌椅不少于120 套，B 型桌椅不少于70 套，
确定出x 的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A 型桌椅的单价为a 元，B 型桌椅的单价为b 元，
根据题意知，
，
解得，
，
即：A，B 两型桌椅的单价分别为600 元，800 元；
（2）根据题意知，y=600x+800（200
x
﹣）+200×10=
200x
﹣
+162000（120≤x≤130），
（3）由（2）知，y=
200x
﹣
+162000（120≤x≤130），
∴当x=130 时，总费用最少，
即：购买A 型桌椅130 套，购买B 型桌椅70 套，总费用最少，最少费用为136000
元．
【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应
用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键．
29．（8 分）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们
分别在A，B 两处用高度为1.5m 的测角仪测得塑像顶部C 的仰角分别为30°，45°，
两人间的水平距离AB 为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【分析】在Rt△CDG 和Rt△CEG 中，求出公共边CG 的长度，然后可求得
CF=CG+GF．
第26页（共31页）
【解答】解：∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG 中，
∵∠CEG=45°，
∴EG=CG，
在Rt△CDG 中，
∵∠CDG=30°，∠DCG=60°，
∴DG=CG•tan60°，
则DE=CG•tan60°+CG=10m．
即DE=
CG+CG=10．
∴CG=5
5
﹣．
由题意知：GF=1.5m
∴CF=CG+GF=5
5
﹣+1.5=5
3.5
﹣
答：广告牌CD 的高为（5
3.5
﹣
）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角
三角形，利用三角函数的知识求解．
30．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=BC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D，交AC 于
点F，过点C 作CE∥AB，与过点A 的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若AB=6，AC=4，求AE 的长．
第27页（共31页）
【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明△AEC 和
△ADC 全等即可证明AD=AE，
（2）设AE=AD=x，CE=CD=y，利用勾股定理列出关于x 和y 的等式，即可求出AE 的
长．
【解答】（1）证明：∵AE 与⊙O 相切，AB 是⊙O 的直径，
∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠E=90°，
∴∠E=∠ADB，
∵在△ABC 中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BCA=∠ACE，
又∵AC=AC，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD=AE；
（2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y，
则BD=（6
y
﹣），
∵△AEC 和△ADB 为直角三角形，
∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，
AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6
y
﹣）代入，
第28页（共31页）
解得：x=
，y=
，
即AE 的长为
．
【点评】本题考察了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线性质，全等
三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，综合程度较高．
31．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx
2
﹣与x 轴交于点A、B
（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M、N 分别是线段BC、AB 上的动点，点M 从点B 出发以每秒
个单位的速
度向点C 运动，同时点N 从点A 出发以每秒2 个单位的速度向点B 运动，当点M、
N 中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M 作MP⊥x 轴于点E，交抛物
线于点P．设点M、点N 的运动时间为t（s），当t 为多少时，△PNE 是等腰三角形
【分析】（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根据tan∠BCO=
=2 得OB=4，据此得出点B
坐标，再由OB=4OA 可得点A 坐标；
（2）将点A、B 坐标代入抛物线解析式求得a、b 的值，从而得出答案；
（3）由题意知AN=2t、BM=
t，根据tan∠BME=tan∠BCO=2 知
=
，求得
OE=OB
BE=4
t
﹣
﹣，从而得出PE=﹣（4
t
﹣）2+ （4
t
﹣）+2，再分点N 在点E 左侧和
右侧两种情况，表示出NE 的长，利用NE=PE 列方程求解可得答案．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），
第29页（共31页）
∴OC=2，
由tan∠BCO=
=2 得OB=4，
则点B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
则A（﹣1，0）；
（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx
2
﹣，
得：
，
解得：
，
∴抛物线解析式为y=
x2﹣
x
2
﹣；
（3）设点M、点N 的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=
t，
∵PE⊥x 轴，
∴PE∥OC，
∴∠BME=∠BCO，
则tan∠BME=tan∠BCO，即
=2，
∴
=
，即
=
，
则BE=t，
∴OE=OB
BE=4
t
﹣
﹣，
∴PE=﹣[
（4
t
﹣）2﹣
（4
t
﹣）﹣2]=﹣
（4
t
﹣）2+
（4
t
﹣）+2，
①点N 在点E 左侧时，即﹣1+2t＜4
t
﹣，解得t＜
，
第30页（共31页）
此时NE=AO+OE
AN=1
﹣
+4
t
2t=5
3t
﹣﹣
﹣
，
∵△PNE 是等腰三角形，
∴PE=NE，
即﹣
（4
t
﹣）2+
（4
t
﹣）+2=5
3t
﹣
，
整理，得：t2
11t
﹣
+10=0，
解得：t=1 或t=10＞
（舍）；
②当点N 在点E 右侧时，即﹣1+2t＞4
t
﹣，解得t＞
，
又
t
且2t≤5，
∴
＜t≤
，
此时NE=AN
AO
OE=2t
1
﹣
﹣
﹣﹣（4
t
﹣）=3t
5
﹣，
由PE=NE 得﹣
（4
t
﹣）2+
（4
t
﹣）+2=3t
5
﹣，
整理，得：t2+t
10=0
﹣
，
解得：t=
＜0，舍去；或t=
＞
，舍去；
综上，当t=1 时，△PNE 是等腰三角形．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函
数解析式及三角函数的应用、等腰三角形的性质等知识点．
第31页（共31页）
