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山东省临沂市2018 年中考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共14 小题，每小题3 分，共42 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．（2018 年山东省临沂市）在实数﹣3，﹣1，0，1 中，最小的数是（ ）
[ww^w.#&zzstep*.@com]
A．﹣3
B．﹣1
C．0 D．1
【分析】根据正数大于0，0 大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜1，
∴最小的是﹣3．
故选：A．
[来源^&:*@中教网%]
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，
两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
2．（2018 年山东省临沂市）自2013 年10 月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来．
各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度．全国脱贫人口数不断增加．仅2017 年我国减少的贫
困人口就接近1100 万人．将1100 万人用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×103人B．1.1×107人C．1.1×108人D．11×106人
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：1100 万=1.1×107，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（2018 年山东省临沂市）如图，AB∥CD，∠D=42°，∠CBA=64°，则∠CBD 的度数是（ ）
[来*源:%@中~教^网]
A．42°
B．64°
C．74°
D．106°
【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和定理计算即可；
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=64°，
在△BCD 中，∠CBD=180°﹣∠C﹣∠D=180°
64°
42°=74°
﹣
﹣
，
[来源*:中^%国教#育出版网&]
故选：C．
[中国^&教育*出%#版网]
【点评】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考基础题．
4．（2018 年山东省临沂市）一元二次方程y2
y
﹣﹣
=0 配方后可化为（ ）
A．（y+
）
2=1 B．
（y﹣
）
2=1C．
（y+
）
2=
D．（y﹣
）
2=
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2
y
﹣﹣
=0
y2
y=
﹣
y2
y
﹣+
=1
（y﹣
）
2=1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
5．（2018 年山东省临沂市）不等式组
的正整数解的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】先解不等式组得到﹣1＜x≤3，再找出此范围内的整数．
【解答】解：解不等式1
2x
﹣
＜3，得：x＞﹣1，
解不等式
≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
所以不等式组的正整数解有1、2、3 这3 个，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决
此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限
制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
[www.%zzs@t^ep#*.com]
[来源*:中国教^育&出版@网~]
6．（2018 年山东省临沂市）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2m，测得
AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD 的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得
=
，然后利用比
例性质求出CD 即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴
=
，即
=
，
∴CD=10.5（米）．
[来#源:%中国@教育~出&版网]
故选：B．
[来源*:%zzstep.&com^@]
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量
物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似
三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
7．（2018 年山东省临沂市）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示
数据求得这个几何体的侧面积是（ ）
[中~国&^教育出#*版网]
A．12cm2 B．
（12+π）cm2C．6πcm2 D．8πcm2
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．
所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定
该几何体是圆柱体．
8．（2018 年山东省临沂市）2018 年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、
化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式取出答案．
【解答】解：如图所示：
[中^国&%教#育出版网*]
，
一共有9 种可能，符合题意的有1 种，
故小华和小强都抽到物理学科的概率是：
．
故选：D．
[ww@w#.zzstep~.^com*]
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
[来*源%:zz#step&@.com]
9．（2018 年山东省临沂市）如表是某公司员工月收入的资料．
月收
入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3300
1000
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A．平均数和众数B．平均数和中位数
C．中位数和众数D．平均数和方差
【分析】求出数据的众数和中位数，再与25 名员工的收入进行比较即可．
【解答】解：该公司员工月收入的众数为3300 元，在25 名员工中有13 人这此数据之上，
所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25 人，
所以该公司员工月收入的中位数为5000 元；
由于在25 名员工中在此数据及以上的有12 人，
所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；
[来%@#源:&~中教网]
故选：C．
【点评】此题考查了众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大
依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．
[来源:中*&国^
教育出#版网@]
[来~*@源:中国教育出^版#网]
10．（2018 年山东省临沂市）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继
投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000 万元，今年1～5 月份，
每辆车的销售价格比去年降低1 万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整
年的少20%，今年1
5
﹣月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1
5
﹣月份每辆车的销售
价格为x 万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【分析】设今年1
5
﹣月份每辆车的销售价格为x 万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年1
5
﹣月份每辆车的销售价格为x 万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
[来源#@:中%教&^网]
根据题意，得：
=
，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
11．（2018 年山东省临沂市）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，
AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）
A．
B．2 C．2
D．
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就
可以求出DE 的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB 和△ADC 中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
[w~ww.zz#s^te%p@.com]
∴DE=EC
CD=3
1=2
﹣
﹣
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题
的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
12．
（2018 年山东省临沂市）如图，正比例函y1=k1x 与反比例函数y2=
的图象相交于A、B 两
点，其中点A 的横坐标为1．当y1＜y2时，x 的取值范围是（ ）
[来%#源*:中^&教网]
A．x＜﹣1 或x＞1 B．﹣1＜x＜0 或x＞1
C．﹣1＜x＜0 或0＜x＜1
D．x＜﹣1 或0＜x＜l
[来源~:zzs^*te%@p.com]
【分析】直接利用正比例函数的性质得出B 点横坐标，再利用函数图象得出x 的取值范围．
【解答】解：∵正比例函y1=k1x 与反比例函数y2=
的图象相交于A、B 两点，其中点A 的横坐
标为1．
∴B 点的横坐标为：﹣1，
故当y1＜y2时，x 的取值范围是：x＜﹣1 或0＜x＜l．
[来源:@中教网*&^#]
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出B 点横坐标是解题关
键．
13．（2018 年山东省临沂市）如图，点E、F、G、H 分别是四边形ABCD 边AB、BC、CD、DA 的中点．
则下列说法：
①若AC=BD，则四边形EFGH 为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH 为菱形；
③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；
④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等．
[来源:zzst%ep^.c@om~*]
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[www.zz&^s#tep.c*o~m]
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，
当对角线AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD 时，中点四边形是正
方形，
【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
[中国教育%出版网@~#*]
当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线
AC=BD，且AC⊥BD 时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
[来源:中~^&国@教育出版网#]
【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般
四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线
AC⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD 时，中点四边形是正方形．
[来源:*^中国#教~育出版网@]
14．（2018 年山东省临沂市）一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方
后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21 时，原数等于30
[w#ww.zzs*tep.com@^~]
D．当原数取50 时，原数与对应新数的差最大
[来%源:#z~&zstep@.com]
【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【解答】解：设原数为a，则新数为
，设新数与原数的差为y
[来源:@~中^&教*网]
则y=a﹣
=﹣
易得，当a=0 时，y=0，则A 错误
∵﹣
∴当a=﹣
时，y 有最大值．
B 错误，A 正确．
当y=21 时，﹣
=21
解得a1=30，a2=70，则C 错误．
故选：D．
【点评】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将
数字规律转化为数学符号．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共1 5 分)
15．（2018 年山东省临沂市）计算：|1﹣
|=
﹣
1
．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：|﹣
|=
1
﹣．
故答案为：
﹣1．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
16．（2018 年山东省临沂市）已知m+n=mn，则（m
1
﹣）（n
1
﹣）=
1
．
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．
【解答】解：（m
1
﹣）（n
1
﹣）=mn﹣（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m
1
﹣）（n
1
﹣）=mn﹣（m+n）+1=1，
故答案为1．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式
的运算法则，此题难度不大．
17．（2018 年山东省临沂市）如图，在▱ABCD 中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=
4
．
【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理
求得OB 的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
[ww^*#w~.zzste@p.com]
∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC=
=8，
∴OC=4，
∴OB=
=2
，
∴BD=2OB=4
故答案为：4
．
[中国*^教育#出&@版网]
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想
的应用．
18．（2018 年山东省临沂市）如图．在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC 完全覆盖的
最小圆形纸片的直径是
cm．
[来源%&#*:中教^网]
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC 外接圆的直径，
本题得以解决．
[来@#^源:中教~网*]
【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外接圆，
∵在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm，
[来源:zzstep.^c%@om~*]
∴∠BOC=120°，
作OD⊥BC 于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，
∴BD=
，∠OBD=30°，
[www.zz&^s#tep.c*o~m]
∴OB=
，得OB=
，
∴2OB=
，
即△ABC 外接圆的直径是
cm，
故答案为：
．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，
利用数形结合的思想解答．
19．（2018 年山东省临沂市）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？
我们以无限循环小数0. 为例进行说明：设0. =x，由0. =0.7777…可知，l0x=7.7777…，所以
l0x
x=7
﹣
，解方程，得x=
，于是．得0. =
．将0.
写成分数的形式是
．
【分析】设0.
=x，则36.
=100x，二者做差后可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出
结论．
【解答】解：设0.
=x，则36.
=100x，
∴100x
x=36
﹣
，
解得：x=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
三、解答题（本大题共7 小题，共6 3 分）
20．（2018 年山东省临沂市）计算：（
﹣
）
．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
【解答】解：原式=[
﹣
]•
[来@源^:#&中教网%]
=
•
[www%.zzs@t^e#p*.com]
=
•
=
．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混
合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进
行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．（2018 年山东省临沂市）某地某月1～20 日中午12 时的气温（单位：℃）如下：
22 31 25 15 18 23 21 20 27 17
20 12 18 21 21 16 20 24 26 19
[来源:中%@国#教育出~版网&]
（1）将下列频数分布表补充完整：
气温分组
划记
频数
12≤x＜17
3
17≤x＜22
10
22≤x＜27
5
27≤x＜32
2
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据频数分布表或频数分布直方图，分析数据的分布情况．
【分析】（1）根据数据采用唱票法记录即可得；
（2）由以上所得表格补全图形即可；
[中国教育%出版@&~#网]
（3）根据频数分布表或频数分布直方图给出合理结论即可得．
【解答】解：（1）补充表格如下：
气温分组
划记
频数
12≤x＜17
3
17≤x＜22
10
22≤x＜27
5
27≤x＜32
2
（2）补全频数分布直方图如下：
[www.z~^&z#step.co@m]
（3）由频数分布直方图知，17≤x＜22 时天数最多，有9 天．
[来&源@:~中教^#网]
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（2018 年山东省临沂市）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（
+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m 的圆形门？
【分析】过B 作BD⊥AC 于D，解直角三角形求出AD=
xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程
的解即可．
【解答】解：
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门，
理由是：过B 作BD⊥AC 于D，
∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，
∴求出DB 长和2.1m 比较即可，
设BD=xm，
∵∠A=30°，∠C=45°，
∴DC=BD=xm，AD=
BD=
xm，
[来&%源~^:中@教网]
∵AC=2（
+1）m，
∴x+
x=2（
+1），
∴x=2，
[来#%源:中国教育^&出版网@]
即BD=2m＜2.1m，
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门．
【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD 的长是解此题
的关键．
[来&源%:中*^~教网]
23．（2018 年山东省临沂市）如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相
切于点D，OB 与⊙O 相交于点E．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若BD=
，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC 于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO 平分
∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线
的判定定理得到结论；
（2）设⊙O 的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（
）
2=（r+1）
2，解得r=1，则OD=1，
OB=2，利用含30 度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可
计算出AD=
OD=
，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD
S
﹣
扇形DOF
进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC 于F，如图，
∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，
∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC，
[来源:zzs#*t~e%^p.com]
∵AB 与⊙O 相切于点D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF=OD，
[来源:%&z~z^s@tep.com]
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：在Rt△BOD 中，设⊙O 的半径为r，则OD=OE=r，
∴r2+（
）
2=（r+1）
2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD 中，AD=
OD=
，
∴阴影部分的面积=2S△AOD
S
﹣
扇形DOF
=2×
×1×
﹣
[来源#@:中%教&^网]
=
﹣
．
[中@~国^*教&育出版网]
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆
心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形
的性质．
24．（2018 年山东省临沂市）甲、乙两人分别从A，B 两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度
大于乙的速度，甲到达B 地后，乙继续前行．设出发x h 后，两人相距y km，图中折线表示从
两人出发至乙到达A 地的过程中y 与x 之间的函数关系．
根据图中信息，求：
（1）点Q 的坐标，并说明它的实际意义；
（2）甲、乙两人的速度．
【分析】（1）两人相向而行，当相遇时y=0 本题可解；
（2）分析图象，可知两人从出发到相遇用1 小时，甲由相遇点到B 用
小时，乙走这段路程用
1 小时，依此可列方程．
[来源*:中国教育出版&^@网~]
【解答】解：（1）设PQ 解析式为y=kx+b
把已知点P（0，10），（
，
）代入得
解得：
∴y=
10x
﹣
+10
当y=0 时，x=1
∴点Q 的坐标为（1，0）
点Q 的意义是：
甲、乙两人分别从A，B 两地同时出发后，经过1 个小时两人相遇．
（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h
由已知第
小时时，甲到B 地，则乙走1 小时路程，甲走
﹣1=
小时
[来源#&:中教@^%网]
∴
∴
∴甲、乙的速度分别为6km/h、4km/h
【点评】本题考查一次函数图象性质，解答问题时要注意函数意义．同时，要分析出各个阶段
的路程关系，并列出方程．
25．（2018 年山东省临沂市）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形
AEFG．
[来源^~&:中教网@%]
（1）如图，当点E 在BD 上时．求证：FD=CD；
（2）当α 为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
【分析】（1）先运用SAS 判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出
CD=DF；
（2）当GB=GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋
转角α 的度数．
[来%源#:zz~step.*com&]
【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，
[中国教^@育出~&版网%]
又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，
∴∠EDG=∠DEG，
[来#源:zzs*tep.~com@^]
∴DG=EG，
[来&%^源:中教网@~]
∴FG=AG，
又∵∠DGF=∠EGA，
∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），
∴DF=AE，
又∵AE=AB=CD，
∴CD=DF；
[来&源:中*^教@#网]
（2）如图，当GB=GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G 在AD 右侧时，取BC 的中点H，连接GH 交AD 于M，
∵GC=GB，
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∴GH⊥BC，
[来*源%:z#zstep.&co^m]
∴四边形ABHM 是矩形，
∴AM=BH=
AD=
AG，
∴GM 垂直平分AD，
[来源:zzs^@tep#*.c~om]
∴GD=GA=DA，
∴△ADG 是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，
[中国教%#&育出版@网^]
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°
60°=300°
﹣
．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点
与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
26．（12018 年山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，
点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 经过A、B 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D，交线段AB 于点E，使
PE=
DE．
①求点P 的坐标；
②在直线PD 上是否存在点M，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB 的解析式为：y=
2x
﹣
+2，根据PD⊥x 轴，设P（x，﹣x2
3x
﹣
+4），则E（x，﹣2x+2），
根据PE=
DE，列方程可得P 的坐标；
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②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角
三角形时，分别以A、B、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．
[来源:zzste^p.#%co&m@]
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC 中，tan∠ABC=2，
∴
，
[来%源#:@中教&^网]
∴
，
∴AC=6，
[来源%:中@国^教育~出版网#]
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=
x
﹣2+bx+c 得：
，
[来源~:中*^教网&%]
解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=
x
﹣2
3x
﹣
+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
[中*国教^&%育#出版网]
易得AB 的解析式为：y=
2x
﹣
+2，
设P（x，﹣x2
3x
﹣
+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=
DE，
∴﹣x2
3x
﹣
+4﹣（﹣2x+2）=
（﹣2x+2），
x=1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
②∵M 在直线PD 上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2=（﹣1+2）
2+（y
6
﹣）
2=1+（y
6
﹣）
2，
BM2=（1+1）
2+y2=4+y2，
[来源:中国*^教&育@#出版网]
AB2=（1+2）
2+62=45，
[来@源^:#&中教网%]
分三种情况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y
6
﹣）
2+4+y2=45，
解得：y=3
，
∴M（﹣1，3+
）或（﹣1，3﹣
）；
[来源:%@中#&教*网]
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+（y
6
﹣）
2，
y=
1
﹣，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+（y
6
﹣）
2+45=4+y2，
y=
，
[w~ww.zz&^st#ep.co*m]
∴M（﹣1，
）；
综上所述，点M 的坐标为：∴M（﹣1，3+
）或（﹣1，3﹣
）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，
）．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度及勾股
定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类
讨论思想的应用．
[来#%源:中国教育&出版网@^]
