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2018 年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题：（每题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）（2018•湖州）2018 的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C．
D．
2．（3.00 分）（2018•达州）二次根式
中的x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
3．（3.00 分）（2018•达州）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3.00 分）（2018•达州）如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2 的度数为
（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．（3.00 分）（2018•达州）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是
S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8 的中位数与众数均为7
6．（3.00 分）（2018•达州）平面直角坐标系中，点P 的坐标为（m，n），则向量
可
以用点P 的坐标表示为
=（m，n）；已知
=（x1，y1），
=（x2，y2），若
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x1x2+y1y2=0，则
与
互相垂直．
下面四组向量：①
=（3，﹣9），
=（1，﹣
）；
②
=（2，π0），
=（2
1
﹣，﹣1）；
③
=（cos30°，tan45°），
=（sin30°，tan45°）；
④
=（
+2，
），
=（
﹣2，
）．
其中互相垂直的组有（ ）
A．1 组B．2 组C．3 组D．4 组
7．（3.00 分）（2018•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块
浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图
能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的
函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3.00 分）（2018•达州）如图，△ABC 的周长为19，点D，E 在边BC 上，∠ABC 的
平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则
MN 的长度为（ ）
第2页（共37页）
A．
B．2C．
D．3
9．（3.00 分）（2018•达州）如图，E，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，
AE=CF=
AC．连接DE，DF 并延长，分别交AB，BC 于点G，H，连接GH，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
10．（3.00 分）（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点A（﹣
1，0），与y 轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线
x=2．
下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（
，y1），点N（
，y2）是函数图象
上的两点，则y1＜y2；④﹣
＜a＜﹣
．
其中正确结论有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．（3.00 分）（2018•达州）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快
递业务迅猛发展．预计达州市2018 年快递业务量将达到5.5 亿件，数据5.5 亿用
第3页（共37页）
科学记数法表示为 ．
12．（3.00 分）（2018•达州）已知am=3，an=2，则a2m
n
﹣的值为 ．
13．（3.00 分）（2018•达州）若关于x 的分式方程
=2a 无解，则a 的值为
．
14．（3.00 分）（2018•达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A（﹣6，
0），C（0，2
）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的
点A1处，则点B 的对应点B1的坐标为 ．
15．（3.00 分）
（2018•达州）已知：m2
2m
1=0
﹣
﹣
，n2+2n
1=0
﹣
且mn≠1，则
的值为 ．
16．（3.00 分）（2018•达州）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边
上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP，以AP 为斜边在AP 的下方作
等腰Rt△AOP．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为
三、解答题
17．（6.00 分）（2018•达州）计算：（﹣1）2018+（﹣
）﹣2﹣|2﹣
|+4sin60°；
18．（6.00 分）（2018•达州）化简代数式：
，再从不等式组
的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
第4页（共37页）
19．（7.00 分）（2018•达州）为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况，随
机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，
D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘
制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 名市民；扇形统计图中，B 项对应的扇形圆
心角是 度；补全条形统计图；
（2）若甲、乙两人上班时从A，B，C，D 四种交通工具中随机选择一种，请用列表法
或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
20．（6.00 分）（2018•达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地
公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再
往雕塑方向前进4 米至B 处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度
忽略不计，结果不取近似值．）
21．（7.00 分）（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常
生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行
车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8 辆与将标价
直降100 元销售7 辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51
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辆；若每辆自行车每降价20 元，每月可多售出3 辆，求该型号自行车降价多少元
时，每月获利最大？最大利润是多少？
22．（8.00 分）（2018•达州）已知：如图，以等边△ABC 的边BC 为直径作⊙O，分别
交AB，AC 于点D，E，过点D 作DF⊥AC 交AC 于点F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若等边△ABC 的边长为8，求由
、DF、EF 围成的阴影部分面积．
23．（9.00 分）（2018•达州）矩形AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA 所在直线
为x 轴，y 轴，建立如图1 所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B，
C 重合），过点F 的反比例函数y=
（k＞0）的图象与边AC 交于点E．
（1）当点F 运动到边BC 的中点时，求点E 的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC 的正切值；
（3）如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求此时反比例
函数的解析式．
24．（11.00 分）（2018•达州）阅读下列材料：
已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P 是
上的任意一点，连接PA1，
第6页（共37页）
PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：
是定值．
（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M 交A2P 的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2=60°，
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．
∴
，是定值．
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条
件不变，请问：
还是定值吗？为什么？
第7页（共37页）
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其
余条件不变，则
= （只写出结果）．
25．（12.00 分）（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点
．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A 作AC⊥OA 交抛物线于C，连接OC，求△AOC 的面积；
（3）点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M 作MN⊥OM 交x 轴于点
N．问：是否存在点M，使以点O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似，若
存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
第8页（共37页）
2018 年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（每题3 分，共30 分）
1．（3.00 分）（2018•湖州）2018 的相反数是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C．
D．
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：2018 的相反数是﹣2018，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（3.00 分）（2018•达州）二次根式
中的x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2x+4≥0，
解得x≥﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式
是解题关键．
3．（3.00 分）（2018•达州）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图
形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可
第9页（共37页）
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
4．（3.00 分）（2018•达州）如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2 的度数为
（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：
∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=80°，
∴∠2=∠3﹣∠4=80°
45°=35°
﹣
，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质
解答．
5．（3.00 分）（2018•达州）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
第10页（共37页）
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是
S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8 的中位数与众数均为7
【分析】直接利用随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义分别分析得
出答案．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件，故此选项错误；
B、天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能，故此选项错误；
C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是
S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定，正确；
D、数据6，6，7，7，8 的中位数为7，众数为：6 和7，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义，正确
把握相关定义是解题关键．
6．（3.00 分）（2018•达州）平面直角坐标系中，点P 的坐标为（m，n），则向量
可
以用点P 的坐标表示为
=（m，n）；已知
=（x1，y1），
=（x2，y2），若
x1x2+y1y2=0，则
与
互相垂直．
下面四组向量：①
=（3，﹣9），
=（1，﹣
）；
②
=（2，π0），
=（2
1
﹣，﹣1）；
③
=（cos30°，tan45°），
=（sin30°，tan45°）；
④
=（
+2，
），
=（
﹣2，
）．
其中互相垂直的组有（ ）
A．1 组B．2 组C．3 组D．4 组
【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；
第11页（共37页）
【解答】解：①∵3×1+（﹣9）×（﹣
）=6≠0，
∴
与
不垂直．
②∵2×2
1
﹣+π0×（﹣1）=0，
∴
与
垂直．
③∵cos30°×sin30°+tan45°×tan45°≠0，
∴
于
不垂直．
④∵
+
×
≠0，
∴
与
不垂直．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3.00 分）（2018•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块
浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图
能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的
函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F 拉+F 浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
第12页（共37页）
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨
论的数学思想解答．
8．（3.00 分）（2018•达州）如图，△ABC 的周长为19，点D，E 在边BC 上，∠ABC 的
平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则
MN 的长度为（ ）
A．
B．2C．
D．3
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是
等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN 平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA 和△BNE 中，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE 是等腰三角形，
同理△CAD 是等腰三角形，
∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），
∴MN 是△ADE 的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19
BC=19
7=12
﹣
﹣
，
∴DE=BE+CD
BC=5
﹣
，
第13页（共37页）
∴MN=
DE=
．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位
线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3.00 分）（2018•达州）如图，E，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，
AE=CF=
AC．连接DE，DF 并延长，分别交AB，BC 于点G，H，连接GH，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得
=
=（
）2=（
）2=
，
=
，由此即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=
AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH∥AC，
第14页（共37页）
∴△BGH∽△BAC，
∴
=
=（
）2=（
）2=
，
∵
=
，
∴
=
×
=
，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中
考选择题中的压轴题．
10．（3.00 分）（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点A（﹣
1，0），与y 轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线
x=2．
下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（
，y1），点N（
，y2）是函数图象
上的两点，则y1＜y2；④﹣
＜a＜﹣
．
其中正确结论有（ ）
第15页（共37页）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=
＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y 轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x 轴交于点A（﹣1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x 轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3 时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于
＜2
，
且（
，y2）关于直线x=2 的对称点的坐标为（
，y2），
∵
，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵
=2，
∴b=
4a
﹣
，
∵x=
1
﹣，y=0，
∴a
b
﹣+c=0，
∴c=
5a
﹣
，
∵2＜c＜3，
第16页（共37页）
∴2＜﹣5a＜3，
∴﹣
＜a＜﹣
，故④正确
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的
关系，本题属于中等题型．
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．（3.00 分）（2018•达州）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快
递业务迅猛发展．预计达州市2018 年快递业务量将达到5.5 亿件，数据5.5 亿用
科学记数法表示为
5.5
×
10
8
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负
数．
【解答】解：5.5 亿=5 5000 0000=5.5×108，
故答案为：5.5×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12．（3.00 分）（2018•达州）已知am=3，an=2，则a2m
n
﹣的值为
4.5
．
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法
的运算方法，求出a2m
n
﹣的值为多少即可．
【解答】解：∵am=3，
∴a2m=32=9，
∴a2m
n
﹣=
=
=4.5．
故答案为：4.5．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数
幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数
第17页（共37页）
a≠0，因为0 不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底
数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什
么，指数是什么．
13．（3.00 分）（2018•达州）若关于x 的分式方程
=2a 无解，则a 的值为
1 或
．
【分析】直接解分式方程，再利用当1
2a=0
﹣
时，当1
2a
﹣
≠0 时，分别得出答案．
【解答】解：去分母得：
x
3a=2a
﹣
（x
3
﹣），
整理得：（1
2a
﹣
）x=
3a
﹣
，
当1
2a=0
﹣
时，方程无解，故a=
；
当1
2a
﹣
≠0 时，x=
=3 时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x 的分式方程
=2a 无解，则a 的值为：1 或
．
故答案为：1 或
．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
14．（3.00 分）（2018•达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A（﹣6，
0），C（0，2
）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的
点A1处，则点B 的对应点B1的坐标为 （﹣
2
，
6 ）
．
【分析】连接OB1，作B1H⊥OA 于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，
第18页（共37页）
OH=AB=2
，得到答案．
【解答】解：连接OB1，作B1H⊥OA 于H，
由题意得，OA=6，AB=OC
2
﹣
，
则tan∠BOA=
=
，
∴∠BOA=30°，
∴∠OBA=60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，
∴∴∠B1OH=60°，
在△AOB 和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H=OA=6，OH=AB=2
，
∴点B1的坐标为（﹣2
，6），
故答案为：（﹣2
，6）．
【点评】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角
形的判定和性质定理是解题的关键．
15．（3.00 分）
（2018•达州）已知：m2
2m
1=0
﹣
﹣
，n2+2n
1=0
﹣
且mn≠1，则
的值为
3
．
【分析】将n2+2n
1=0
﹣
变形为
﹣
﹣1=0，据此可得m，是方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根，由韦达定理可得m+
=2，代入
=m+1+
可得．
第19页（共37页）
【解答】解：由n2+2n
1=0
﹣
可知n≠0．
∴1+
﹣
=0．
∴
﹣
﹣1=0，
又m2
2m
1=0
﹣
﹣
，且mn≠1，即m≠
．
∴m，
是方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根．
∴m+
=2．
∴
=m+1+
=2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是
方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根及韦达定理．
16．（3.00 分）（2018•达州）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边
上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP，以AP 为斜边在AP 的下方作
等腰Rt△AOP．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为
2
．
【分析】过O 点作OE⊥CA 于E，OF⊥BC 于F，连接CO，如图，易得四边形OECF 为
矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到OA=OP ，∠AOP=90° ，则可证明
△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO
平分∠ACP，从而可判断当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为
第20页（共37页）
一条线段，接着证明CE= （AC+CP），然后分别计算P 点在D 点和B 点时OC 的长，
从而计算它们的差即可得到P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长
【解答】解：过O 点作OE⊥CA 于E，OF⊥BC 于F，连接CO，如图，
∵△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF 为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO 平分∠ACP，
∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，
即AC
CE=CF
CP
﹣
﹣
，
而CE=CF，
∴CE=
（AC+CP），
∴OC=
CE=
（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1 时，OC=
×（2+1）=
，
当AC=2，CP=CB=5 时，OC=
×（2+5）=
，
∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长=
﹣
=2
．
故答案为2
．
第21页（共37页）
【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，
从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性
质．
三、解答题
17．（6.00 分）（2018•达州）计算：（﹣1）2018+（﹣
）﹣2﹣|2﹣
|+4sin60°；
【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5
个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则
求得计算结果．
【解答】解：原式=1+4﹣（2
2
﹣）+4×
，
=1+4
2
﹣
+2+2
，
=7．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等
考点的运算．
18．（6.00 分）（2018•达州）化简代数式：
，再从不等式组
的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
【分析】直接将=去括号利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出x
的值，即可计算得出答案．
【解答】解：原式=
×
﹣
×
=3（x+1）﹣（x
1
﹣）
=2x+4，
，
解①得：x≤1，
解②得：x＞﹣3，
第22页（共37页）
故不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
把x=
2
﹣代入得：原式=0．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混
合运算法则是解题关键．
19．（7.00 分）（2018•达州）为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况，随
机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，
D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘
制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了
2000
名市民；扇形统计图中，B 项对应的扇形圆
心角是
54
度；补全条形统计图；
（2）若甲、乙两人上班时从A，B，C，D 四种交通工具中随机选择一种，请用列表法
或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【分析】（1）根据D 组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C 组
的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D 四种交通工具中随机选择一种画树状图
或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率
【解答】解：
（1）本次调查的总人数为500÷25%=2000 人，扇形统计图中，B 项对应
的扇形圆心角是360°×
=54°，
C 选项的人数为2000﹣（100+300+500+300）=800，
补全条形图如下：
第23页（共37页）
故答案为：2000、54；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表可知共有16 种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的
结果有4 种，
所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为
=
．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔
细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（6.00 分）（2018•达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地
公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再
往雕塑方向前进4 米至B 处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度
忽略不计，结果不取近似值．）
第24页（共37页）
【分析】过点C 作CD⊥AB，设CD=x，由∠CBD=45°知BD=CD=x 米，根据tanA=
列
出关于x 的方程，解之可得．
【解答】解：如图，过点C 作CD⊥AB，交AB 延长线于点D，
设CD=x 米，
∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=x 米，
∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，
∴tanA=
，即
=
，
解得：x=2+2
，
答：该雕塑的高度为（2+2
）米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据
题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
21．（7.00 分）（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常
生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行
车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8 辆与将标价
直降100 元销售7 辆获利相同．
第25页（共37页）
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51
辆；若每辆自行车每降价20 元，每月可多售出3 辆，求该型号自行车降价多少元
时，每月获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设进价为x 元，则标价是1.5x 元，根据关键语句：按标价九折销售该
型号自行车8 辆的利润是1.5x×0.9×8
8x
﹣
，将标价直降100 元销售7 辆获利是
（1.5x
100
﹣
）×7
7x
﹣
，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8
8x=
﹣
（1.5x
100
﹣
）×7
7x
﹣
，再解方程即可得到进价，进而得到标价；
（2）设该型号自行车降价a 元，利润为w 元，利用销售量×每辆自行车的利润=总
利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．
【解答】解：（1）设进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意得：
1.5x×0.9×8
8x=
﹣
（1.5x
100
﹣
）×7
7x
﹣
，
解得：x=1000，
1.5×1000=1500（元），
答：进价为1000 元，标价为1500 元；
（2）设该型号自行车降价a 元，利润为w 元，由题意得：
w=（51+
×3）（1500
1000
a
﹣
﹣），
=﹣
（a
80
﹣
）2+26460，
∵﹣
＜0，
∴当a=80 时，w 最大=26460，
答：该型号自行车降价80 元出售每月获利最大，最大利润是26460 元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理
解题意，根据已知得出w 与a 的关系式，进而求出最值．
22．（8.00 分）（2018•达州）已知：如图，以等边△ABC 的边BC 为直径作⊙O，分别
交AB，AC 于点D，E，过点D 作DF⊥AC 交AC 于点F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若等边△ABC 的边长为8，求由
、DF、EF 围成的阴影部分面积．
第26页（共37页）
【分析】（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD 为△ABC
的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC 可得；
（2）连接OE、作OG⊥AC，求出EF、DF 的长及∠DOE 的度数，根据阴影部分面积=S
梯形EFDO
S
﹣
扇形DOE计算可得．
【解答】解：（1）如图，连接CD、OD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又∵△ABC 是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接OE、作OG⊥AC 于点G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
第27页（共37页）
∴四边形OGFD 是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD 和△OCE 均为等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，
∴EG=
CE=2、DF=OG=OCsin60°=2
，∠DOE=60°，
∴EF=FG
EG=2
﹣
，
则阴影部分面积为S 梯形EFDO
S
﹣
扇形DOE
=
×（2+4）×2
﹣
=6
﹣
．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．
判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即
可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
23．（9.00 分）（2018•达州）矩形AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA 所在直线
为x 轴，y 轴，建立如图1 所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B，
C 重合），过点F 的反比例函数y=
（k＞0）的图象与边AC 交于点E．
（1）当点F 运动到边BC 的中点时，求点E 的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC 的正切值；
（3）如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求此时反比例
函数的解析式．
【分析】（1）先确定出点C 坐标，进而得出点F 坐标，即可得出结论；
第28页（共37页）
（2）先确定出点F 的横坐标，进而表示出点F 的坐标，得出CF，同理表示出CF，即
可得出结论；
（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结
论．
【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F 是BC 的中点，
∴F（4，
），
∵F 在反比例y=
函数图象上，
∴k=4×
=6，
∴反比例函数的解析式为y=
，
∵E 点的坐标为3，
∴E（2，3）；
（2）∵F 点的横坐标为4，
∴F（4，
），
∴CF=BC
BF=3
﹣
﹣
=
∵E 的纵坐标为3，
∴E（
，3），
∴CE=AC
AE=4
﹣
﹣
=
，
在Rt△CEF 中，tan∠EFC=
=
，
（3）如图，由（2）知，CF=
，CE=
，
，
第29页（共37页）
过点E 作EH⊥OB 于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴
=
，
∴
，
∴BG=
，
在Rt△FBG 中，FG2
BF
﹣
2=BG2，
∴（
）2﹣（
）2=
，
∴k=
，
∴反比例函数解析式为y=
．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似
三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF 是解本题的关键．
24．（11.00 分）（2018•达州）阅读下列材料：
已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P 是
上的任意一点，连接PA1，
第30页（共37页）
PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：
是定值．
（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M 交A2P 的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2=60°，
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．
∴
，是定值．
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条
件不变，请问：
还是定值吗？为什么？
第31页（共37页）
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其
余条件不变，则
=
（只写出结果）．
【分析】（2）结论：
是定值．在A4P 上截取AH=A2P，连接HA1．
想办法证明PA4=A4+PH=PA2+
PA1，同法可证：PA3=PA1+
PA2，推出（
+1）
（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（
﹣1）（PA3+PA4），延长即可解决问题；
（3）结论：则
=
．如图3
1
﹣中，延长PA1到H，
使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP 是顶角为
36°的等腰三角形，推出PH=
PA4，即PA1+PA2=
PA4，如图3
2
﹣中，延长
PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP 是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=
PA4，即PA5+PA3=
PA4，延长即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M 交A2P 的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2=60°，
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2，
∵PM=PA1，
第32页（共37页）
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．
∴
，是定值．
（2）结论：
是定值．
理由：在A4P 上截取AH=A2P，连接HA1．
∵四边形A1A2A3A4是正方形，
∴A4A1=A2A1，
∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，
∴△A1A4H=△A1A2P，
∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，
∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°
∴△HA1P 的等腰直角三角形，
∴PA4=A4+PH=PA2+
PA1，
同法可证：PA3=PA1+
PA2，
∴（
+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，
∴PA1+PA2=（
﹣1）（PA3+PA4），
∴
=
．
（3）结论：则
=
．
理由：如图3
1
﹣中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．
第33页（共37页）
由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP 是顶角为36°的等腰三角形，
∴PH=
PA4，即PA1+PA2=
PA4，
如图3
2
﹣中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．
同法可证：△A4HP 是顶角为108°的等腰三角形，
∴PH=
PA4，即PA5+PA3=
PA4，
∴
=
．
故答案为
．
【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定
和性质等正整数，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
属于中考压轴题．
25．（12.00 分）（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点
第34页（共37页）
．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A 作AC⊥OA 交抛物线于C，连接OC，求△AOC 的面积；
（3）点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M 作MN⊥OM 交x 轴于点
N．问：是否存在点M，使以点O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似，若
存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣
），然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线
解析式；
（2）延长CA 交y 轴于D，如图1，易得OA=
，∠DOA=45°，则可判断△AOD 为等
腰直角三角形，所以OD=
OA=2，则D（0，2），利用待定系数法求出直线AD 的解
析式为y=
x
﹣+2，再解方程组
得C（5，﹣3），然后利用三角形面积公
式，利用S△AOC=S△COD
S
﹣△AOD进行计算；
（3）如图2，作MH⊥x 轴于H，AC=4
，OA=
，设M（x，﹣
x2+
x）（x＞0），根据
三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，则当
=
时，△OHM∽△OAC，即
=
；当
=
时，△OHM∽△CAO，即
=
，则分别解
关于x 的绝对值方程可得到对应M 点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得的
第35页（共37页）
M 点能以点O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣
），
把A（1，1）代入得a•1（1﹣
）=1，解得a=﹣
，
∴抛物线解析式为y=﹣
x（x﹣
），
即y=﹣
x2+
x；
（2）延长CA 交y 轴于D，如图1，
∵A（1，1），
∴OA=
，∠DOA=45°，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
∵OA⊥AC，
∴OD=
OA=2，
∴D（0，2），
易得直线AD 的解析式为y=
x
﹣+2，
解方程组
得
或
，则C（5，﹣3），
∴S△AOC=S△COD
S
﹣△AOD
=
×2×5﹣
×2×1
=4；
（3）存在．
如图2，作MH⊥x 轴于H，AC=
=4
，OA=
，
设M（x，﹣
x2+
x）（x＞0），
∵∠OHM=∠OAC，
∴当
=
时，△OHM∽△OAC，即
=
，
第36页（共37页）
解方程﹣
x2+
x=4x 得x1=0（舍去），x2=﹣
（舍去），
解方程﹣
x2+
x=
4x
﹣
得x1=0（舍去），x2=
，此时M 点坐标为（
，﹣54）；
当
=
时，△OHM∽△CAO，即
=
，
解方程﹣
x2+
x=
x 得x1=0（舍去），x2=
，此时M 点的坐标为（
，
），
解方程﹣
x2+
x=﹣
x 得x1=0（舍去），x2=﹣
，此时M 点坐标为（
，﹣
）；
∵MN⊥OM，
∴∠OMN=90°，
∴∠MON=∠HOM，
∴△OMH∽△ONM，
∴当M 点的坐标为（
，﹣54）或（
，
）或（
，﹣
）时，以点O，M，N 为顶
点的三角形与（2）中的△AOC 相似．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征
和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解
坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想
解决数学问题．
第37页（共37页）
