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2018 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）毎题的选项中只有项符合
题目要求，请在答题卡的相应位置填涂正确选项.
1．（4.00 分）﹣2 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣
C．
D．2
2．（4.00分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
3．（4.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=2x6 B．x2•x3=x6 C．x3÷x=x3 D．（﹣2x2）3=
8x
﹣
6
4．（4.00 分）如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，
则∠2=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（4.00 分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（4.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O 旋转180°，得到
的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
7．（4.00 分）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F，则△BEF 与
△DCB 的面积比为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4.00 分）甲、乙两名运动员参加射击预选赛．他们的射击成绩（单位：环）如表
所示：
第一
次
第二
次
第三
次
第四
次
第五
次
甲
7
9
8
6
10
乙
7
8
9
8
8
设甲、乙两人成绩的平均数分别为
，
，方差分别s 甲2，s 乙2，为下列关系正确
的是（ ）
A．
=
，s
B．
=
，s
＜s
C．
＞
，s
＞s
D．
＜
，s
＜s
9．（4.00 分）宾馆有50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180 元时，宾馆会
住满；当毎间房毎天的定价每增加10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，
宾馆需对居住的毎间房毎天支出20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的
利润为10890 元？设房价定为x 元．则有（ ）
A．（180+x
20
﹣
）（50﹣
）=10890 B．（x
20
﹣
）（50﹣
）=10890
C．x（50﹣
）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣
）﹣50×20=10890
10．（4.00 分）如图①，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣
ED
DC
﹣
运动到点C 时停止；点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，速度均为每秒
1 个单位长度．如果点P、Q 同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ 的面积为y，已
知y 与t 的函数图象如图②所示．以下结论：①BC=10；②cos∠ABE=
；③当
0≤t≤10 时，y=
t2；④当t=12 时，△BPQ 是等腰三角形；⑤当14≤t≤20 时，
y=110
5t
﹣
中正确的有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
二、填空题（本大题共5 小题.毎小题4 分.共20 分）把答案直接填在答题卡的相应
位置处.
11．（4.00 分）一个不透明的口袋中，装有5 个红球，2 个黄球，1 个白球，这些球除
颜色外完全相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率是 ．
12．（4.00 分）不等式组
的解集是 ．
13．（4.00 分）把拋物线y=2x2
4x
﹣
+3 向左平移1 个单位长度，得到的抛物线的解
析式为 ．
14．（4.00 分）将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥
的底面圆的半径为 ．
15．
（4.00 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2
，AC=2，点D 是BC 的中点，点
E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交AB 于
点F．若△AB′F 为直角三角形，则AE 的长为 ．
三、解答题（本大题共9 小题.共90 分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字
说明、证明明过程或演算过程.
16．（8.00 分）计算：（
）﹣1﹣
+|
2
﹣|+2sin60°．
17．（8.00 分）先化简，再求值：（x+1）（x
1
﹣）+（2x
1
﹣）2
2x
﹣（2x
1
﹣），其中x=
+1．
18．（10.00 分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAC=90°，E 是BC 的中点，AD∥BC，
AE∥DC，EF⊥CD 于点F．
（1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若AB=6，BC=10，求EF 的长．
19．
（10.00 分）某校组织学生去9km 外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半
小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．己知公共汽车的速度是
自行车速度的3 倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？
20．（12.00 分）某中学1000 名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛
成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100 分）作为样本进
行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中
“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组
频数
频率
50≤x＜60
8
0.16
60≤x＜70
12
a
70≤x＜80
■
0.5
80≤x＜90
3
0.06
90≤x＜90
b
c
合计
■
1
（1）写出a，b，c 的值；
（2）请估计这1000 名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70 分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80 分以上（含80 分）的同学中随机抽取两名
同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2 名同学来自同一组的概率．
21．
（10.00 分）如图，小强想测量楼CD 的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测
量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在A 处仰望楼顶，测得仰角为
37°，再往楼的方向前进30 米至B 处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C 三点在一条
直线上），求楼CD 的高度（结果精确到0.1 米，小强的身高忽略不计）．
22．（10.00 分）小明根据学习函数的经验，对y=x+
的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x+
的自变量x 的取值范围是 ．
（2）下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m，n 的值：m= ，n= ；
x
…
3
﹣
2
﹣
1
﹣
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y
… ﹣
﹣
2
﹣
﹣
﹣
m
2
n
…
（3）如图．在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根
据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象．请完成：
①当y=﹣
时，x= ．
②写出该函数的一条性质 ．
③若方程x+
=t 有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是 ．
23．（10.00 分）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点E 在AF 上，以AE 为直径的⊙O 交
AG 于点D，过点D 作AH 的垂线，垂足为点C，交AF 于点B．
（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O 的半径为r，求BD 的长度．
24．（12.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A（﹣2，
0），B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，连接BC，设点P 是抛物线上在第一象限内的点，
PD⊥BC，垂足为点D．
①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由；
②当△PDC 与△COA 相似时，求点P 的坐标．
2018 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）毎题的选项中只有项符合
题目要求，请在答题卡的相应位置填涂正确选项.
1．（4.00 分）﹣2 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣
C．
D．2
【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．
【解答】解：﹣2 的相反数是：2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（4.00 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．
【解答】解：A、长方体的三视图均为矩形，不符合题意；
B、正方体的三视图均为正方形，不符合题意；
C、三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意；
D、圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三
视图．
3．（4.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=2x6 B．x2•x3=x6 C．x3÷x=x3 D．（﹣2x2）3=
8x
﹣
6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，
底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x3+x3=2x3，故A 错误；
B、x2•x3=x5，故B 错误；
C、x3÷x=x2，故C 错误；
D、（﹣2x2）3=
8x
﹣
6，故D 正确．
故选：D．[来源:Z|xx|k.Com]
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练
掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（4.00 分）如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，
则∠2=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据平角等于180°列式计
算即可得解．
【解答】解：∵直尺对边互相平行，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=180°
50°
90°=40°
﹣
﹣
．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关
键．
5．（4.00 分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据内角和定理180°•（n
2
﹣）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n
2
﹣）•180°，
∴（n
2
﹣）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n
2
﹣），难度适中．
6．（4.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O 旋转180°，得到
的对应点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【分析】根据题意可知点N 旋转以后横纵坐标都互为相反数，从而可以解答本题．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O 旋转180°，得到的
对应点的坐标是（1，2），
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，利用旋转
的知识解答．
7．（4.00 分）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F，则△BEF 与
△DCB 的面积比为（ ）
[来源:Z&xx&k.Com]
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出
△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为AB 的中点，
∴AB=DC=2BE，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴
=
=
，
∴DF=2BF，
=（
）2=
，
∴
=
，
∴S△BEF=
S△DCF，S△DCB=
S△DCF，
∴
=
=
，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似
三角形的性质是解此题的关键．
8．（4.00 分）甲、乙两名运动员参加射击预选赛．他们的射击成绩（单位：环）如表
所示：
第一
次
第二
次
第三
次
第四
次
第五
次
甲
7
9
8
6
10
乙
7
8
9
8
8
设甲、乙两人成绩的平均数分别为
，
，方差分别s 甲2，s 乙2，为下列关系正确
的是（ ）
A．
=
，s
B．
=
，s
＜s
C．
＞
，s
＞s
D．
＜
，s
＜s
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【解答】解：（1）
=
（7+8+9+6+10）=8；
=
（7+8+9+8+8）=8；
=
[（7
8
﹣）2+（8
9
﹣）2+（8
8
﹣）2+（6
8
﹣）2+（10
8
﹣）2]=2；
=
[（7
8
﹣）2+（8
8
﹣）2+（9
8
﹣）2+（8
8
﹣）2+（8
8
﹣）2]=0.2；
∴
=
，s
＞s
故选：A．[来源:Z#xx#k.Com]
【点评】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表
明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明
这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（4.00 分）宾馆有50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180 元时，宾馆会
住满；当毎间房毎天的定价每增加10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，
宾馆需对居住的毎间房毎天支出20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的
利润为10890 元？设房价定为x 元．则有（ ）
A．（180+x
20
﹣
）（50﹣
）=10890 B．（x
20
﹣
）（50﹣
）=10890
C．x（50﹣
）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣
）﹣50×20=10890
【分析】设房价定为x 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【解答】解：设房价定为x 元，
根据题意，得（x
20
﹣
）（50﹣
）=10890．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找
到题目蕴含的相等关系．
10．（4.00 分）如图①，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣
ED
DC
﹣
运动到点C 时停止；点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，速度均为每秒
1 个单位长度．如果点P、Q 同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ 的面积为y，已
知y 与t 的函数图象如图②所示．以下结论：①BC=10；②cos∠ABE=
；③当
0≤t≤10 时，y=
t2；④当t=12 时，△BPQ 是等腰三角形；⑤当14≤t≤20 时，
y=110
5t
﹣
中正确的有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【分析】根据题意，确定10≤t≤14，PQ 的运动状态，得到BE、BC、ED 问题可解．
【解答】解：由图象可知，当10≤t≤14 时，y 值不变，则此时，Q 点到C，P 从E 到
D．
∴BE=BC=10，ED=4 故①正确．
∴AE=6
Rt△ABE 中，AB=
∴cos∠ABE=
；故②错误
当0≤t≤10 时，△BPQ 的面积为
∴③正确；
t=12 时，P 在点E 右侧2 单位，此时BP＞BE=BC
PC=
∴△BPQ 不是等腰三角形．④错误；
当14≤t≤20 时，点P 由D 向C 运动，Q 在C 点，
△BPQ 的面积为
则⑤正确
故选：B．
【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函
数图象的变化与动点位置变化之间的关联．
二、填空题（本大题共5 小题.毎小题4 分.共20 分）把答案直接填在答题卡的相应
位置处.
11．（4.00 分）一个不透明的口袋中，装有5 个红球，2 个黄球，1 个白球，这些球除
颜色外完全相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率是
．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵袋子中共有5+2+1=8 个球，其中红球有5 个，
∴摸到红球的概率是
，
故答案为：
．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
12．（4.00 分）不等式组
的解集是
x ≥
1
．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
，
∵解不等式①得：x＞0.5，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集为x≥1，
故答案为；x≥1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的
解集是解此题的关键．
13．（4.00 分）把拋物线y=2x2
4x
﹣
+3 向左平移1 个单位长度，得到的抛物线的解
析式为
y=2
x 2 + 1
．
【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可
得．
【解答】解：∵y=2x2
4x
﹣
+3=2（x
1
﹣）2+1，
∴向左平移1 个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1
1
﹣）2+1=2x2+1，
故答案为：y=2x2+1．
【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的
平移规律“左加右减、上加下减”．
14．（4.00 分）将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥
的底面圆的半径为
4
．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形
的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到
2π•r=
，然后解关于r 的方程即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2π•r=
，
解得r=4，
即这个圆锥的底面圆的半径为4．
故答案为4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．
（4.00 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2
，AC=2，点D 是BC 的中点，点
E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交AB 于
点F．若△AB′F 为直角三角形，则AE 的长为
3 或
．
【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得DB=DC=
，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，设AE=x，则BE=4
x
﹣，EB′=4
x
﹣，讨论：当∠AFB′=90°时，
则∴BF=
cos30°=
，则EF=
﹣（4
x
﹣）=x﹣
，于是在Rt△B′EF 中利用EB′=2EF
得到4
x=2
﹣
（x﹣
），解方程求出x 得到此时AE 的长；当∠FB′A=90°时，作
EH⊥AB′于H，连接AD，如图，证明Rt△ADB′≌Rt△ADC 得到AB′=AC=2，再计算出
∠EB′H=60°，则B′H= （4
x
﹣），EH=
（4
x
﹣），接着利用勾股定理得到（4
x
﹣）2+
[
（4
x
﹣）+2]2=x2，方程求出x 得到此时AE 的长．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=2
，AC=2，
∴tanB=
=
=
，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，
∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交AB 于
点F
∴DB=DC=
，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，
设AE=x，则BE=4
x
﹣，EB′=4
x
﹣，
当∠AFB′=90°时，
在Rt△BDF 中，cosB=
，
∴BF=
cos30°=
，
∴EF=
﹣（4
x
﹣）=x﹣
，
在Rt△B′EF 中，∵∠EB′F=30°，
∴EB′=2EF，
即4
x=2
﹣
（x﹣
），解得x=3，此时AE 为3；
当∠FB′A=90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，
∵DC=DB′，AD=AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′=AC=2，
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，
∴∠EB′H=60°，
在Rt△EHB′中，B′H=
B′E=
（4
x
﹣），EH=
B′H=
（4
x
﹣），
在Rt△AEH 中，∵EH2+AH2=AE2，
∴
（4
x
﹣）2+[
（4
x
﹣）+2]2=x2，解得x=
，此时AE 为
．
综上所述，AE 的长为3 或
．
故答案为3 或
．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30 度的直
角三角形三边的关系和勾股定理．
三、解答题（本大题共9 小题.共90 分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字
说明、证明明过程或演算过程.
16．（8.00 分）计算：（
）﹣1﹣
+|
2
﹣|+2sin60°．
【分析】接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、立
方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2+2+2﹣
+2×
=6﹣
+
=6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（8.00 分）先化简，再求值：（x+1）（x
1
﹣）+（2x
1
﹣）2
2x
﹣（2x
1
﹣），其中x=
+1．
【分析】先去括号，再合并同类项；最后把x 的值代入即可．
【解答】解：原式=x2
1
﹣+4x2
4x
﹣
+1
4x
﹣
2+2x
=x2
2x
﹣
，
把x=
+1 代入，得：
原式=（
+1）2
2
﹣（
+1）
=3+2
2
﹣
2
﹣
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘
以多项式的法则和整式乘法公式，此类题的思路为：先按运算顺序把整式化简，
再把对应字母的值代入求整式的值．
18．（10.00 分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAC=90°，E 是BC 的中点，AD∥BC，
AE∥DC，EF⊥CD 于点F．
（1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若AB=6，BC=10，求EF 的长．
【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD 是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E 是BC 的中点，
∴AE=CE=
BC，
∴四边形AECD 是菱形；
（2）过A 作AH⊥BC 于点H，
∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC=
，
∵
，
∴AH=
，
∵点E 是BC 的中点，BC=10，四边形AECD 是菱形，
∴CD=CE=5，
∵S AECD
▱
=CE•AH=CD•EF，
∴EF=AH=
．
【点评】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性
质解答．
19．
（10.00 分）某校组织学生去9km 外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半
小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．己知公共汽车的速度是
自行车速度的3 倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？
【分析】设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，根据时间=路程
÷速度结合乘公共汽车比骑自行车少用
小时，即可得出关于x 的分式方程，解
之经检验即可得出结论．
【解答】解：设自行车的速度为xkm/h，则公共汽车的速度为3xkm/h，
根据题意得：
﹣
=
，
解得：x=12，
经检验，x=12 是原分式方程的解，
∴3x=36．
答：自行车的速度是12km/h，公共汽车的速度是36km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
20．（12.00 分）某中学1000 名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛
成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100 分）作为样本进
行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中
“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组
频数
频率
50≤x＜60
8
0.16
60≤x＜70
12
a
70≤x＜80
■
0.5
80≤x＜90
3
0.06
90≤x＜90
b
c[来源:Z.xx.k.Com]
合计
■
1
（1）写出a，b，c 的值；
（2）请估计这1000 名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70 分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80 分以上（含80 分）的同学中随机抽取两名
同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2 名同学来自同一组的概率．
【分析】（1）利用50≤x＜60 的频数和频率，根据公式：频率=
先计算出样本
总人数，再分别计算出a，b，c 的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70 分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出
1000 名学生中竞赛成绩不低于70 分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2 名同学来自一组的情况，利
用求概率公式计算出概率
【解答】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24
70≤x＜80 的人数为：50×0.5=25（名）
b=50
8
12
25
3=2
﹣﹣
﹣
﹣
（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70 分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样
本估计总体的思想，有：
1000×0.6=600（人）
∴这1000 名学生中有600 人的竞赛成绩不低于70 分；
（3）成绩是80 分以上的同学共有5 人，其中第4 组有3 人，不妨记为甲，乙，丙，
第5 组有2 人，不妨记作A，B
从竞赛成绩是80 分以上（含80 分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所
示
，
共
有
20
种
情
况
：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA 共8 种
情况，
∴抽取的2 名同学来自同一组的概率P=
=
【点评】本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法
适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比．
21．
（10.00 分）如图，小强想测量楼CD 的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测
量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在A 处仰望楼顶，测得仰角为
37°，再往楼的方向前进30 米至B 处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C 三点在一条
直线上），求楼CD 的高度（结果精确到0.1 米，小强的身高忽略不计）．
【分析】设CD=xm，根据AC=BC
AB
﹣
，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设CD=xm，
在Rt△ACD 中，tan∠A=
，
∴AC=
，
同法可得：BC=
，
∵AC=BC=AB，
∴
﹣
=30，
解得x=52.3，
答：楼CD 的高度为52.3 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意能借助仰角构造直
角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
22．（10.00 分）小明根据学习函数的经验，对y=x+
的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x+
的自变量x 的取值范围是
x ≠
0
．
（2）下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m，n 的值：m=
，n=
；
x
…
3
﹣
2
﹣
1
﹣
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y
… ﹣
﹣
2
﹣
﹣
﹣
m
2
n
…
（3）如图．在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根
据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象．请完成：
①当y=﹣
时，x= ﹣
4 或﹣
．
②写出该函数的一条性质 函数图象在第一、三象限且关于原点对称 ．
③若方程x+
=t 有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是
t ＜
﹣
2 或
t ＞
2
．
【分析】（1）由x 在分母上，可得出x≠0；
（2）代入x=
、3 求出m、n 的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①代入y=﹣
，求出x 值；
②观察函数图象，写出一条函数性质；
③观察函数图象，找出当x+
=t 有两个不相等的实数根时t 的取值范围（亦可用
根的判别式去求解）．
【解答】解：（1）∵x 在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x=
时，y=x+
=
；
当x=3 时，y=x+
=
．
故答案为：
；
．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当y=﹣
时，有x+
=﹣
，
解得：x1=
4
﹣，x2=﹣
．
故答案为：﹣4 或﹣
．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵x+
=t 有两个不相等的实数根，
∴t＜﹣2 或t＞2．
故答案为：t＜﹣2 或t＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的图象、正比例函数的性质以
及正比例函数图象，解题的关键是：（1）由x 在分母上找出x≠0；（2）代入x=
、3
求出m、n 的值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①将﹣
化成﹣4﹣
；②观察
函数图象找出函数性质；③观察函数图象找出t 的取值范围．
23．（10.00 分）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点E 在AF 上，以AE 为直径的⊙O 交
AG 于点D，过点D 作AH 的垂线，垂足为点C，交AF 于点B．[来源:学科网ZXXK]
（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；
（2）若AC=2CD，设⊙O 的半径为r，求BD 的长度．
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，
可得结论；
（2）在Rt△ACD 中，设CD=a，则AC=2a，AD=
a，证明△ACD∽△ADE，表示a=
，
由平行线分线段成比例定理得：
，代入可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AG 是∠HAF 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，
∵D 在⊙O 上，
∴直线BC 是⊙O 的切线；（4 分）
（2）解：在Rt△ACD 中，设CD=a，则AC=2a，AD=
a，
连接DE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴
，
即
，
∴a=
，
由（1）知：OD∥AC，
∴
，即
，
∵a=
，解得BD=
r．（10 分）
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似
三角形的性质列方程解决问题是关键．
24．（12.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣
x2+bx+c 经过点A（﹣2，
0），B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，连接BC，设点P 是抛物线上在第一象限内的点，
PD⊥BC，垂足为点D．
①是否存在点P，使线段PD 的长度最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由；
②当△PDC 与△COA 相似时，求点P 的坐标．
【分析】（1）直接把点A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程
组，解出可得结论；
（2）先得直线BC 的解析式为：y=﹣
x+4，
①如图1，作辅助线，先说明Rt△PDE 中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=
PE，
则当线段PE 最长时，PD 的长最大，设P（t，
），则E（t，
），表示
PE 的长，配方后可得PE 的最大值，从而得PD 的最大值；
②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，则△COA∽△BOC，
所以当△PDC 与△COA 相似时，就有△PDC 与△BOC 相似，分两种情况：
（I）若∠PCD=∠CBO 时，即Rt△PDC∽Rt△COB，
（II）若∠PCD=∠BCO 时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，
分别求得P 的坐标即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=﹣
x2+bx+c，
得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣
x2+
x+4；（3 分）
（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），
易得直线BC 的解析式为：y=﹣
x+4，
①如图1，过P 作PG⊥x 轴于G，PG 交BC 于E，
Rt△BOC 中，OC=4，OB=8，
∴BC=
=4
，
在Rt△PDE 中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=
PE，
∴当线段PE 最长时，PD 的长最大，
设P（t，
），则E（t，
），
∴PG=﹣
，EG=﹣
t+4，
∴PE=PG
EG=
﹣
（﹣
）﹣（﹣
t+4）=﹣
t2+2t=﹣（t
4
﹣）2+4，（0＜t＜
8），
当t=4 时，PE 有最大值是4，此时P（4，6），
∴PD=
=
，
即当P（4，6）时，PD 的长度最大，最大值是
；（7 分）
②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∴AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△COA∽△BOC，
当△PDC 与△COA 相似时，就有△PDC 与△BOC 相似，
∵相似三角形的对应角相等，
∴∠PCD=∠CBO 或∠PCD=∠BCO，
（I）若∠PCD=∠CBO 时，即Rt△PDC∽Rt△COB，
此时CP∥OB，
∵C（0，4），
∴yP=4，
∴
）=4，
解得：x1=6，x2=0（舍），
即Rt△PDC∽Rt△COB 时，P（6，4）；
（II）若∠PCD=∠BCO 时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，
如图2，过P 作x 轴的垂线PG，交直线BC 于F，
∴PF∥OC，
∴∠PFC=∠BCO，
∴∠PCD=∠PFC，
∴PC=PF，
设P（n，
+
n+4），则PF=﹣
+2n，
过P 作PN⊥y 轴于N，
Rt△PNC 中，PC2=PN2+CN2=PF2，
∴n2+（
+
n+4
4
﹣）2=（﹣
+2n）2，
解得：n=3，
即Rt△PDC∽Rt△BOC 时，P（3，
）；
综上所述，当△PDC 与△COA 相似时，点P 的坐标为（6，4）或（3，
）．（12 分）
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三
角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，学会根据方程解决问题，属于中考压轴题．
