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15.2.1 分式的乘除
一、单选题
1．计算÷ • 的结果是（ ）
A．
B．x
C．
D．2y
【答案】A
【分析】原式从左到右依次计算即可求出值．
【详解】原式＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】A、B 两项利用同底数幂的乘除法即可求解，C 项利用合并同类项法则计算即可，D 项利用分式的
乘方即可得到结果，即可作出判断．
【详解】A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=a4，不符合题意；
C、原式=-a2b，符合题意；
D、原式=
，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘方，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
3．计算：
=（ ）
A．x
B．
C．y
D．
【答案】A
【分析】根据分式乘法计算法则解答．
【详解】
=x，
故选：A．
【点评】此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键．
4．
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式的除法法则计算即可.
【详解】
【点评】此题考查分式的除法法则：先把除式的分子分母颠倒位置，再化为最简分式即可.
5．
（为正整数）的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分式的乘方计算法则解答．
【详解】
．
故选：B．
【点评】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．
6．计算
的结果是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把除法变成乘法，然后约分即可．
【详解】
，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握乘除混合运算法则．
7．在等式
中，M 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解．
【详解】
，
即
，
∴
，
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，分式的乘除，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约
去公因式，分式的约分是分式运算的基础．
8．下列计算结果正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据分式的乘法法则计算可判断①②，根据分式的除法法则计算可判断③，根据分式的乘除混合
运算法则计算可判断④⑤，进而可得答案．
【详解】
，故①计算正确；
，故②计算正确；
，故③计算正确；
，故④计算错误；
，故⑤计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的乘除运算，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
二、填空题
9．计算（﹣
）
3÷（﹣
）
2的结果是__．
【答案】﹣
【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．
【详解】原式＝
=
=
．
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握含乘方的分式乘除混合运算的法则和顺序是解题
关键．
10．当
，
时，代数式
的值为________．
【答案】-5
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式运算的性质，先化简代数式；再将
，
代入到
代数式计算，即可得到答案．
【详解】
∵
，
∴
故答案为：-5．
【点评】本题考查了乘法公式、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握分式运算、乘法公式的
性质，从而完成求解．
11．定义新运算：
，则化简
的结果是______．
【答案】
【分析】根据定义的新运算，可得
，根据多项式乘法法则计算化简，即
可使问题得解．
【详解】
，
故答案为：
．
【点评】本题考查的是定义新运算的题目，正确理解定义新运算的意义是解题的关键，在解答此问题时严
格按照新定义的运算规则，把已知数代入，按照基本运算过程、规律进行运算．
12．如果
，那么代数式
的值是_____________．
【答案】
【分析】对所求代数式进行化简，分母是平方差公式展开后，分子分母可以约掉
，再根据
，可以得到
，将其代入化简后的代数式，通分计算即可得出答案.
【详解】
，
.
故答案为.
【点评】熟练掌握因式分解、分式约分等基础计算.
三、解答题
13．计算下列各式
（1）
；
（2）
．
【答案】（1），（2）
；
【分析】(1)按照分式的乘法法则进行计算即可；
(2)按照分式乘除混合运算顺序和法则进行计算即可．
【详解】(1)
；
（2）
，
=
，
=
．
【点评】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则，正确进行计算．
14．阅读下面的解题过程，然后回答问题：
计算
解：
=
…………①
=
………………………②
=1 …………………………………………………③
解题过程中，第 步出现错误，写出正确的解答
【答案】②，－1
【分析】根据运算过程中应用的法则，逐步判断即可确定哪步是错的，再按照分式化简的法则写出正确答
案即可．
【详解】（1）由第①步到第②步时，
变成
没有变号，
故答案为：②
解：
，
=
，
=－
，
=－1．
【点评】本题考查了分式的化简运算，解题关键是熟悉每步运算法则，准确进行计算．
15．先化简：
，然后在
的非负整数集中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】2－a，当a=0 时，原式=2，当a=2 时，原式=0．
【分析】原式的括号内根据平方差和完全平方公式化简约分，括号外根据分式的除法法则即可化简原式，
最后a 的负整数解是0，1，2，注意分式的分母不能为零，所以a 不能取1．
【详解】原式=
=
=1-a+1=2-a
∵不等式
的非负整数解是0，1，2，分式分母不能为零，a 不取1
∴当a=0 时，原式=2，当a=2 时，原式=0
【点评】本题考查了分式的混合运算，平方差和完全平方公式，除法法则等知识，要注意分式的分母不能
为零．
16．先化简，再求值：
，其中x=
2
﹣，y=5．
【答案】
，
．
【分析】根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开后合并同类项，再根据多项式除以单项式法则进
行计算即可．
【详解】
，
=
，
=
，
=
，
当x=
2
﹣，y=5 时，
原式=
。
【点评】本题主要考查对整式的加减、除法，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进
行计算是解此题的关键．
17．计算：（1）某小区有一块长为（
）米，宽为（
）米的长方形地块（如图所示），物业公
司计划将中间修建一小型喷泉，然后将周围（阴影部分）进行绿化，问应绿化的面积是多少平方米？
（2）
【答案】（1）绿化的面积为
平方米；（2）
．
【分析】（1）依据应绿化的面积=矩形的面积-正方形的面积列式计算即可；
（2）先通分，计算括号里面的，然后再计算除法即可．
【详解】（1）解：依题意得：绿化的面积=
答：绿化的面积为
平方米；
（2）解：
．
【点评】本题主要考查的是多项式乘多项式，分式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（1）计算：
_______；
______．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b 的字母表示：______；
（3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式
．
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
．
【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可；
（2）根据（1）中的结果确定答案；
（3）逆运用新公式，把
变形为
，再化简分式．
【详解】（1）
；
．
故答案为：
，
；
（2）
．
故答案为：
．
（3）
．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的
关键．
19．小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有
运用这个运算规律可以计算：
．
请你运用这个运算规律计算：
；
小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有
水，按照如下要求把水倒出：第次倒出
水，第次倒出的水量是
的
，第次倒出的
水量是
的，第次倒出的水量是
的．．．．．第
次倒出的水量是
的
．按照这种倒水的方法，
这
水能倒完吗?
请你补充解决过程：
①列出倒
次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这
水能倒完吗”，并说明理由．
【答案】（1）
；（2）①
，见解析；②按这种方法，容器中
的
水是倒不完的，见解析
【分析】（1）根据材料中的运算规律，把
写成
直接运算即可．
（2）①先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简．
②根据①的计算结果可判断
始终是小于1 的，由此可判断容器中的
水是倒不完的．
【详解】
=
=
=
；
①
=
=
=
(L)
②这
水不能倒完，因为
，所以无论倒水次数
有多大，倒出的总水量总小于
．
因此，按这种方法，容器中的
水是倒不完的．
【点评】本题主要考查阅读材料的能力，分式的运算，读懂材料并理解材料中的运算规律是解决本题的关
键．
20．先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：
【答案】
,当x=0 时，原式= .
【分析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】原式=
，
当x=0 时，
原式= ．
【点评】本题考查了分式的乘除，正确分解因式是解题的关键．
