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2018 年山东省枣庄市中考数学试卷(解析版)
一、选择题：本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，
请把正确的选项选出来.每小题选对得3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均
计零分
1．（3 分）的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣
C．2D．
【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．
【解答】解：的倒数是﹣2．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就
称这两个数互为倒数．
2．（3 分）下列计算，正确的是（ ）
A．a5+a5=a10 B．a3÷a
1
﹣=a2
C．a•2a2=2a4D．（﹣a2）3=
a
﹣
6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单
项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：a5+a5=2a5，A 错误；
a3÷a
1
﹣=a3﹣（﹣1）=a4，B 错误；
a•2a2=2a3，C 错误；
（﹣a2）3=
a
﹣
6，D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式，
掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．（3 分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置
（∠ABC=30°），其中A，B 两点分别落在直线m，n 上，若∠1=20°，则∠2 的度数为（
）
第1页（共24页）
A．20° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（3 分）实数a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是
（ ）
A．|a|＞|b|B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．
【解答】解：从a、b、c、d 在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c 异号，则|ac|=
ac
﹣
，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数
大于左边的数．
5．（3 分）如图，直线l 是一次函数y=kx+b 的图象，若点A（3，m）在直线l 上，则m
的值是（ ）
第2页（共24页）
A．﹣5 B．C．D．7
【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A 代入求解可得．
【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：
解得：
，
∴y= x+1，
将点A（3，m）代入，得：+1=m，
即m= ，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式
是解题的关键．
6．（3 分）如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿
掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长
为（ ）
A．3a+2b
B．3a+4b
C．6a+2b
D．6a+4b
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a 的正方形的边长﹣边长
2b 的小正方形的边长+边长2b 的小正方形的边长的2 倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有
3a
2b
﹣
+2b×2
=3a
2b
﹣
+4b
=3a+2b．
第3页（共24页）
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的
关系．
7．（3 分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3 个单位长度得到点
B，则点B 关于x 轴的对称点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B 点坐标，然后再根据关于x 轴对称
点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3 个单位长度得到的B 的坐标为（﹣1+3，﹣
2），即（2，﹣2），
则点B 关于x 轴的对称点B′的坐标是（2，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x 轴对称点的坐标，关
键是掌握点的坐标变化规律．
8．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则
CD 的长为（ ）
A．B．2
C．2
D．8
【分析】作OH⊥CD 于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD 得到HC=HD，再
利用AP=2，BP=6 可计算出半径OA=4，则OP=OA
AP=2
﹣
，接着在Rt△OPH 中根据
含30 度的直角三角形的性质计算出OH= OP=1，然后在Rt△OHC 中利用勾股定理
计算出CH= ，所以CD=2CH=2 ．
【解答】解：作OH⊥CD 于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
第4页（共24页）
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA
AP=2
﹣
，
在Rt△OPH 中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC 中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=
= ，
∴CD=2CH=2 ．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧．也考查了勾股定理以及含30 度的直角三角形的性质．
9．
（3 分）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图
象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0
C．2a
b=0
﹣
D．a
b
﹣+c=0
【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点有b2
4ac
﹣
＞0 可对A 进行判断；由抛物线
开口向上得a＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c＜0，则可对B 进行判断；
根据抛物线的对称轴是x=1 对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线
与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a
b
﹣+c=0，则可对D 选项进行判断．
第5页（共24页）
【解答】解：∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2
4ac
﹣
＞0，即b2＞4ac，所以A 选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B 选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C 选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a
b
﹣+c=0，所以D 选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的
图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y 轴的
交点坐标为（0，c）；当b2
4ac
﹣
＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b2
4ac=0
﹣
，抛物
线与x 轴有一个交点；当b2
4ac
﹣
＜0，抛物线与x 轴没有交点．
10．（3 分）如图是由8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形
的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP 为等腰直角
三角形的点P 的个数是（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是3，
故选：B．
第6页（共24页）
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题
的关键．
11．（3 分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE⊥BD，垂足为F，则
tan∠BDE 的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出
EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=
=2 x，再由三角函数定义即可
得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E 是边BC 的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴
= ，
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E 是边BC 的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=
=2 x，
第7页（共24页）
∴tan∠BDE= =
= ；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟
练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
12．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交
CD 于点E，交CB 于点F．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据
角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的
判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F 作FG⊥AB 于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴= ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
第8页（共24页）
∴= ，
∵FC=FG，
∴= ，
解得：FC= ，
即CE 的长为．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和
定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
二、填空题：本大题共6 小题，满分24 分，只填写最后结果，每小题填对得4 分
13．（4 分）若二元一次方程组
的解为，则a
b=
﹣
．
【分析】把x、y 的值代入方程组，再将两式相加即可求出a
b
﹣的值．
【解答】解：将代入方程组
，得：
，
①+②，得：4a
4b=7
﹣
，
则a
b=
﹣
，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求
出a
b
﹣的值，本题属于基础题型．
14．（4 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12 米，
则大厅两层之间的高度为
6.18
米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；
sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
第9页（共24页）
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC 的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC 中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），
答：大厅两层之间的距离BC 的长约为6.18 米．
故答案为：6.18．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
15．（4 分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著
名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，
则该三角形的面积为S=
．现已知△ABC 的三边长分别为1，2，，则△ABC
的面积为
1
．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC 的三边长分别为1，2，的面积，从
而可以解答本题．
【解答】解：∵S=
，
∴△ABC 的三边长分别为1，2，，则△ABC 的面积为：
S=
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面
积公式解答．
16．（4 分）如图，在正方形ABCD 中，AD=2 ，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线
段BP，连接AP 并延长交CD 于点E，连接PC，则三角形PCE 的面积为
9
5
﹣
．
第10页（共24页）
【分析】根据旋转的思想得PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP 是等边三角形，得
到∠BAP=60°，AP=AB=2 ，解直角三角形得到CE=2
2
﹣，PE=4
2
﹣
，过P 作PF⊥CD
于F，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，
∴∠ABP=60°，
∴△ABP 是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AB=2 ，
∵AD=2 ，
∴AE=4，DE=2，
∴CE=2
2
﹣，PE=4
2
﹣
，
过P 作PF⊥CD 于F，
∴PF= PE=2
3
﹣，
∴三角形PCE 的面积= CE•PF= ×（2
2
﹣）×（2
3
﹣）=9
5
﹣
，
故答案为：9
5
﹣
．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直
角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
第11页（共24页）
17．（4 分）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A，图2
是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的
最低点，则△ABC 的面积是
12
．
【分析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，
BP 先变小后变大，从而可求出BC 与AC 的长度．
【解答】解：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，
由图象可知：点P 从B 向C 运动时，BP 的最大值为5，
即BC=5，
由于M 是曲线部分的最低点，
∴此时BP 最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC 的面积为：×4×6=12
故答案为：12
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC 与AC
的长度，本题属于中等题型．
18．（4 分）将从1 开始的连续自然数按以下规律排列：
第
1
行
1
第
2
行
2 3 4
第12页（共24页）
第
3
行
9 8 7 6 5
第
4
行
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
第
5
行
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
1
9
1
8
1
7
…
则2018 在第
45
行．
【分析】通过观察可得第n 行最大一个数为n2，由此估算2018 所在的行数，进一
步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442=1936，452=2025，
∴2018 在第45 行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现
其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题：本大题共7 小题，满分60 分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤
19．（8 分）计算：|
2
﹣|+sin60°﹣﹣（﹣1 ）2+2
2
﹣
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式=2﹣+
3
﹣
﹣+
=﹣．
【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的
是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数
可以开平方．
20．（8 分）如图，在4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1 中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；
（2）在图2 中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；
（3）在图3 中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．
第13页（共24页）
【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；
（2）根据轴对称的性质即可作出图形；
（3）根据旋转的性质即可求出图形．
【解答】解：（1）如图所示，
△DCE 为所求作
（2）如图所示，
△ACD 为所求作
（3）如图所示
△ECD 为所求作
【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基
第14页（共24页）
础题型．
21．（8 分）如图，一次函数y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交
于A、B 两点，且与反比例函数y=（n 为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点
C．CD⊥x 轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE 的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析
式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x 轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C 坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=
80
﹣
∴反比例函数解析式为：y=﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b 得：
解得：
第15页（共24页）
∴一次函数解析式为：y=
2x
﹣
+12
（2）当﹣=
2x
﹣
+12 时，解得
x1=10，x2=
4
﹣
当x=10 时，y=
8
﹣
∴点E 坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数
的观点通过函数图象解不等式．
22．（8 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查
了我市50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的
统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
d
0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b，c，d 的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000 步
（包含12000 步）的教师有多少名？
（3）若在50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000 步（包含16000 步的
两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000 步（包含20000
步）以上的概率．
第16页（共24页）
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过12000 步（包含12000 步）的频率之和乘以总人数可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，
补全频数分布直方图如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估计日行走步数超过12000 步（包含12000 步）的教师有11340 名；
（3）设16000≤x＜20000 的3 名教师分别为A、B、C，
20000≤x＜24000 的2 名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
第17页（共24页）
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000 步（包含20000 步）以上的概
率为= ．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本
估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计
图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
23．（8 分）如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC 为直径作⊙O
交AB 于点D．
（1）求线段AD 的长度；
（2）点E 是线段AC 上的一点，试问：当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？
请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理易求得AB 的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易
知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．
（2）当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A 和
∠DEC 就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E 是AC 的中点．在证明时，可连接
OD，证OD⊥DE 即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB 中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接CD，∵BC 为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴
，∴
；
第18页（共24页）
（2）当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切；
证明：连接OD，
∵DE 是Rt△ADC 的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED 与⊙O 相切．
【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性
质、切线的判定等知识．
24．（10 分）如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作
EG∥CD 交AF 于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG 是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE 的长．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到
GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF 于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明
△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG
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的数量关系；
（3）过点G 作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中
依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性
质可求得GH 的长，最后依据BE=AD
GH
﹣
求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG 为菱形．
（2）EG2= GF•AF．
理由：如图1 所示：连接DE，交AF 于点O．
∵四边形EFDG 为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF= GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴
，即DF2=FO•AF．
∵FO= GF，DF=EG，
∴EG2= GF•AF．
（3）如图2 所示：过点G 作GH⊥DC，垂足为H．
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∵EG2= GF•AF，AG=6，EG=2 ，
∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG
40=0
﹣
．
解得：FG=4，FG=
10
﹣
（舍去）．
∵DF=GE=2 ，AF=10，
∴AD=
=4 ．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴
，即= ．
∴GH= ．
∴BE=AD
GH=4
﹣
﹣=
．
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩
形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用
相似三角形的性质得到DF2=FO•AF 是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的
性质求得GH 的长是解答问题（3）的关键．
25．（10 分）如图1，已知二次函数y=ax2+ x+c（a≠0）的图象与y 轴交于点A（0，
4），与x 轴交于点B、C，点C 坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c 的表达式；
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写
出此时点N 的坐标；
（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B、C 重合），过点N 作NM∥AC，交
AB 于点M，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．
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【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，
AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．
（3）分别以A、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直
平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；
（4）设点N 的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M 点作MD⊥x 轴于点D，根据三角形
相似对应边成比例求得MD= （n+2），然后根据S△AMN=S△ABN
S
﹣△BMN
得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+ x+c 的图象与y 轴交于点A（0，4），与x 轴交于
点B、C，点C 坐标为（8，0），
∴
，
解得
．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+ x+4；
（2）△ABC 是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+ x+4=0，
解得x1=8，x2=
2
﹣，
∴点B 的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO 中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC 中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC 中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC 是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC=
=4 ，
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①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N，此时N 的坐标为（﹣8，0），
②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N，此时N 的坐标为（8
4
﹣
，0）或
（8+4 ，0）
③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N，此时N 的坐标为（3，0），
综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点
N 的坐标分别为（﹣8，0）、（8
4
﹣
，0）、（3，0）、（8+4 ，0）．
（4）如图
，
设点N 的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M 点作MD⊥x 轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴= ，
∵MN∥AC
∴= ，
∴= ，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD= （n+2），
∵S△AMN=S△ABN
S
﹣△BMN
= BN•OA﹣BN•MD
= （n+2）×4﹣× （n+2）2
=﹣（n
3
﹣）2+5，
当n=3 时，△AMN 面积最大是5，
∴N 点坐标为（3，0）．
∴当△AMN 面积最大时，N 点坐标为（3，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）
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的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是
三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．
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