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2018 年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求
1．﹣2 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．
D．﹣
解：﹣2 的相反数是2．
故选B．
2．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆．
故选A．
3．方程组
=
=x+y
4
﹣的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题可得：
，消去x，可得
2（4﹣
y）=3y，解得y=2，把y=2 代入2x=3y，可得
x=3，∴方程组的解为
．
故选D．
4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG 与GC 的关系是（ ）
1
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=
GC D．EG=2GC
解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴
．
故选B．
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查一片试验田里五种大麦的穗长情况
C．要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况
解：A．了解全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故A 错误；
B．了解一片试验田里五种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故B 错误；
C．了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故C 错误；
D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故D 正确；
故选D．
6．估计
+1 的值，应在（ ）
A．1 和2 之间 B．2 和3 之间 C．3 和4 之间 D．4 和5 之间
解：∵
≈2.236，∴
+1≈3.236．
故选C．
7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍
在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺
问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1 寸（ED=1
寸），锯道长1 尺（AB=1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC 是（ ）
A．13 寸 B．20 寸 C．26 寸 D．28 寸
2
解：设⊙O 的半径为r．
在Rt△ADO 中，AD=5，OD=r
1
﹣，OA=r，则有r2=52+（r
1
﹣）2，解得r=13，∴⊙O 的直径为26 寸．
故选C．
8．已知实数a、b 满足a+b=2，ab=
，则a
b=
﹣
（ ）
A．1 B．﹣
C．±1 D．±
解：∵a+b=2，ab=
，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=
，∴（a
b
﹣）2=a2
2ab
﹣
+b2=1，∴a
b=
﹣
±1．
故选C．
9．如图，曲线C2是双曲线C1：y= （x＞0）绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形，P 是曲线C2上任意一点，点A
在直线l：y=x 上，且PA=PO，则△POA 的面积等于（ ）
A．
B．6 C．3 D．12
解：如图，将C2及直线y=x 绕点O 逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l 与y 轴重合．
双曲线C3，的解析式为y=﹣
过点P 作PB⊥y 轴于点B
∵PA=PB
∴B 为OA 中点，∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k 的性质，S△POB=3
∴△POA 的面积是6
故选B．
10．二次函数y=x2+（a
2
﹣）x+3 的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值
3
范围是（ ）
A．a=3±2
B．﹣1≤a＜2
C．a=3
或﹣
≤a＜2 D．a=3
2
﹣
或﹣1≤a＜﹣
解：由题意可知：方程x2+（a
2
﹣）x+3=x 在1≤x≤2 上只有一个解，即x2+（a
3
﹣）x+3=0 在1≤x≤2 上只有一个
解，当△=0 时，即（a
3
﹣）2
12=0
﹣
a=3±2
当a=3+2
时，此时x=﹣
，不满足题意，当a=3
2
﹣
时，此时x=
，满足题意，当△＞0 时，令y=x2+（a
3
﹣）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：﹣1≤a≤
，当a=
1
﹣时，此时x=1 或3，满足题意；
当a=﹣
时，此时x=2 或x=
，不满足题意．
综上所述：a=3
2
﹣
或﹣1≤a＜
．
故选D．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分
11．计算：|
3
﹣|= ．
解：|
3
﹣|=3．
故答案为：3．
12．化简
+
的结果是
解：
+
=
﹣
=
=
1
﹣．
故答案为：﹣1．
13．如图，在数轴上，点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为4，C 是点B 关于点A 的对称点，则点C 表示的数
为 ．
4
解：设点C 所表示的数为x．
∵数轴上A、B 两点表示的数分别为﹣1 和4，点B 关于点A 的对称点是点C，∴AB=4﹣（﹣1），AC=
1
x
﹣﹣，根
据题意AB=AC，∴4﹣（﹣1）=
1
x
﹣﹣，解得x=
6
﹣．
故答案为：﹣6．
14．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE 的度数是 度．
解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE 中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=
（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
故答案为：22.5．
15．如图，△OAC 的顶点O 在坐标原点，OA 边在x 轴上，OA=2，AC=1，把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到
△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，
），则在旋转过程中线段OC 扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
解：过O′作O′M⊥OA 于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，
），∴O′M=
，OM=1．
∵AO=2，∴AM=2
1=1
﹣
，∴tan∠O′AM=
=
，∴∠O′AM=60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′=∠OAO′=60°．
∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC=S△O′AC′，∴阴影部分的面积S=S 扇形OAO′+S△O′AC′
S
﹣△OAC
5
S
﹣
扇形CAC′=S 扇形OAO′
S
﹣
扇形CAC′=
﹣
=
．
故答案为：
．
16．已知直线l1：y=（k
1
﹣）x+k+1 和直线l2：y=kx+k+2，其中k 为不小于2 的自然数．
（1）当k=2 时，直线l1、l2与x 轴围成的三角形的面积S2= ；
（2）当k=2、3、4，……，2018 时，设直线l1、l2与x 轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，……，S2018，则
S2+S3+S4+……+S2018= ．
解：当y=0 时，有（k
1
﹣）x+k+1=0，解得：x=
1
﹣﹣
，∴直线l1与x 轴的交点坐标为（﹣1﹣
，0），同理，
可得出：直线l2与x 轴的交点坐标为（﹣1﹣
，0），∴两直线与x 轴交点间的距离d=
1
﹣﹣
﹣（﹣1﹣
）
=
﹣
．
联立直线l1、l2成方程组，得：
，解得：
，∴直线l1、l2的交点坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）当k=2 时，d=
﹣
=1，∴S2=
×|
2
﹣|d=1．
故答案为：1．
（2）当k=3 时，S3=
﹣
；当k=4 时，S4=
﹣
；…；S2018=
﹣
，∴S2+S3+S4+……+S2018=
﹣
+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
=
﹣
=2﹣
=
．
故答案为：
．
三、简答题：本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分
17．计算：4cos45°+（π
2018
﹣
）0﹣
解：原式=4×
+1
2
﹣
=1．
18．解不等式组：
解：
．
6
∵解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为0＜x＜6．
19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB 和△ACB 中，
，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
四、本大题共3 小题，每小题10 分，共30 分
20．先化简，再求值：（2m+1）（2m
1
﹣）﹣（m
1
﹣）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m 是方程x2+x
2=0
﹣
的根
解：原式=4m2
1
﹣﹣（m2
2m
﹣
+1）+8m3÷（﹣8m）
=4m2
1
m
﹣﹣
2+2m
1
m
﹣﹣
2
=2m2+2m
2
﹣
=2（m2+m
1
﹣）．
∵m 是方程x2+x
2=0
﹣
的根，∴m2+m
2=0
﹣
，即m2+m=2，则原式=2×（2
1
﹣）=2．
21．某校八年级甲、乙两班各有学生50 人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如
下，请补充完整．
（1）收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10 名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
在表中：m= ，n= ．
（3）分析数据
7
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
在表中：x= ，y= ．
②若规定测试成绩在80 分（含80 分）以上的叙述身体素质为优秀，请估计乙班50 名学生中身体素质为优
秀的学生有 人．
③现从甲班指定的2 名学生（1 男1 女），乙班指定的3 名学生（2 男1 女）中分别抽取1 名学生去参加上级部
门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2 名同学是1 男1 女的概率．
解：（2）由收集的数据得知m=3、n=2．
故答案为：3、2；
（3）①甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，∴甲班成绩的中位数x=
=75，乙班成绩70
分出现次数最多，所以的众数y=70．
故答案为：75、70；
②估计乙班50 名学生中身体素质为优秀的学生有50×
=20 人；
③列表如下：
由表可知，共有6 种等可能结果，其中抽到的2 名同学是1 男1 女的有3 种结果，所以抽到的2 名同学是1
男1 女的概率为
=
．
22．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒
温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC 表示恒温系统
开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y 与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
8
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬
菜避免受到伤害？
解：（1）设线段AB 解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB 过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB 解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B 在线段AB 上当x=5 时，y=20
∴B 坐标为（5，20）
∴线段BC 的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD 解析式为：y=
（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD 解析式为：y=
（10≤x≤24）
∴y 关于x 的函数解析式为：
y=
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10 代入y=
中，解得：x=20
∴20
10=10
﹣
9
答：恒温系统最多关闭10 小时，蔬菜才能避免受到伤害．
五、本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分
23．已知关于x 的一元二次方程mx2+（1
5m
﹣
）x
5=0
﹣
（m≠0）．
（1）求证：无论m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（1
5m
﹣
）x
5=0
﹣
与x 轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1
x
﹣2|=6，求m 的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q 不重合），求代数式4a2
n
﹣
2+8n 的值．
（1）证明：由题意可得：
△=（1
5m
﹣
）2
4m
﹣
×（﹣5）
=1+25m2
20m
﹣
+20m
=25m2+1＞0，故无论m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1
5m
﹣
）x
5=0
﹣
，解得：x1=﹣
，x2=5，由|x1
x
﹣2|=6，得|﹣
5
﹣|=6，解得：m=1 或m=﹣
；
（3）解：由（2）得：当m＞0 时，m=1，此时抛物线为y=x2
4x
5
﹣
﹣，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q 关于x=2
对称，∴
=2，即2a=4
n
﹣，∴4a2
n
﹣
2+8n=（4
n
﹣）2
n
﹣
2+8n=16．
24．如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交AB 于点F，延长BO 交⊙O 于点
C，交PA 的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D 为PB 的中点，QD 交AB 于点E，若⊙O 的半径为3，CQ=2，求
的值．
（1）证明：∵PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，∴PA=PB，且PO 平分∠BPA，∴PO⊥AB．
∵BC 是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；
（2）解：连结OA、DF，如图，
∵PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在Rt△OAQ 中，OA=OC=3，∴OQ=5．
由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．
在Rt△PBQ 中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．
10
∵OP⊥AB，∴BF=AF=
AB．
又∵D 为PB 的中点，∴DF∥AP，DF=
PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴
=
=
，设AE=4t，FE=3t，则
AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴
=
=
．
六、本大题共2 小题，第25 题12 分，第26 题13 分，共25 分
25．已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D、E 分别在BC、AC 边上，连结BE、AD 交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k 为
常数，试探究∠APE 的度数：
（1）如图1，若k=1，则∠APE 的度数为 ；
（2）如图2，若k=
，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度数．
（3）如图3，若k=
，且D、E 分别在CB、CA 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．
解：（1）如图1，过点A 作AF∥CB，过点B 作BF∥AD 相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四
边形ADBF 是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．
∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．
∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．
∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．
∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．
∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．
故答案为：45°．
（2）（1）中结论不成立，理由如下：
如图2，过点A 作AF∥CB，过点B 作BF∥AD 相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形
11
ADBF 是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．
∵AC=
BD，CD=
AE，∴
．
∵BD=AF，∴
．
∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴
=
，∠FEA=∠ADC．
∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．在Rt△EFB 中，tan∠FBE=
，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH 相交于H，
连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD．
∵AC=
BD，CD=
AE，∴
．
∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴
，∠ADC=∠HAE．
∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．在Rt△DAH 中，tan∠ADH=
=
，
∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．
12
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C（0，﹣
），OA=1，
OB=4，直线l 过点A，交y 轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方形以每秒2 个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线
AE 以每秒1 个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动时间为t 秒．
①在P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请
说明理由．
②在P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；
若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA=1，OB=4
∴A（1，0），B（﹣4，0）
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x
1
﹣）
∵点C（0，﹣
）在抛物线上
∴﹣
解得a=
13
∴抛物线的解析式为y=
（2）存在t，使得△ADC 与△PQA 相似．
理由：①在Rt△AOC 中，OA=1，OC=
则tan∠ACO=
∵tan∠OAD=
∴∠OAD=∠ACO
∵直线l 的解析式为y=
∴D（0，﹣
）
∵点C（0，﹣
）
∴CD=
由AC2=OC2+OA2，得AC=
在△AQP 中，AP=AB
PB=5
2t
﹣
﹣
，AQ=t
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC 与△PQA 相似
只需
或
则有
或
解得t1=
，t2=
∵t1＜2.5，t2＜2.5
∴存在t=
或t=
，使得△ADC 与△PQA 相似
②存在t，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大
理由：作PF⊥AQ 于点F，CN⊥AQ 于N
在△APF 中，PF=AP•sin∠PAF=
14
在△AOD 中，由AD2=OD2+OA2，得AD=
在△ADC 中，由S△ADC=
∴CN=
∴S△AQP+S△AQC=
=﹣
∴当t=
时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大
15
