文档文本内容
第1页，共1页
2018 年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，共48 分）
1.
计算−3+1的结果是( )
A. −2
B. −4
C. 4
D. 2
【答案】A
【解析】解：−3+1=−2；
故选：A．
利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对
值即可．
本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．
2.
下列计算正确的是( )
A. (a−b)
2=a
2−b
2
B. x +2 y =3 x y
C. ❑√18−3 ❑√2=0
D. (−a
3)
2=−a
6
【答案】C
【解析】解：( A )原式=a
2−2ab+b
2，故A 错误；
(B)原式= x +2 y，故B 错误；
( D)原式=a
6，故D 错误；
故选：C．
根据相关的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
3.
2017 年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000 元，将445800000 用科
学记数法表示为( )
A. 44.58×10
7
B. 4.458×10
8
C. 4.458×10
9
D. 0.4458×10
10
【答案】B
【解析】解：445800000= 4.458×10
8，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数.确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值≥10时，n 是非负数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中
1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4.
在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行
线上；若∠1=55
∘，则∠2的度数是( )
A. 50
∘
B. 45
∘
C. 40
∘
D. 35
∘
【答案】D
【解析】解：由题意可得：∠1=∠3=55
∘，
∠2=∠4 =90
∘−55
∘=35
∘．
故选：D．
直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．
第2页，共2页
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
5.
下面几何的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2.故选B．
主视图是从物体正面看所得到的图形．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三
种视图混淆而错误地选其它选项．
6.
如图，在△A BC中，点D、E 分别是AB、AC 的中点，若
△A D E的面积为4，则△A BC的面积为( )
A. 8
B. 12
C. 14
D. 16
【答案】D
【解析】解：∵在△A BC中，点D、E 分别是AB、AC 的中点，
∴D E // BC，D E = 1
2 BC，
∴△A D E∽△A BC，
∵D E
BC = 1
2，
∴S△A D E
S△A BC
= 1
4 ，
∵△A D E的面积为4，
∴△A BC的面积为：16，
故选：D．
直接利用三角形中位线定理得出D E // BC，D E = 1
2 BC，再利用相似三角形的判定
与性质得出答案．
此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△A D E∽
△A BC是解题关键．
7.
在一次数学测试后，随机抽取九年级(3)班5 名学生的成绩(单位：分)如下：80、
98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是( )
A. 众数是98
B. 平均数是90
C. 中位数是91
D. 方差是56
【答案】D
第3页，共1页
【解析】解：98 出现的次数最多，
∴这组数据的众数是98，A 说法正确；
x = 1
5 (80+98+98+83+91)=90，B 说法正确；
这组数据的中位数是91，C 说法正确；
S
2= 1
5 [(80−90)
2+(98−90)
2+(98−90)
2+(83−90)
2+(91−90)
2]
= 1
5 ×278
=55.6，D 说法错误；
故选：D．
根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．
本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式
s1
2= 1
n [( x1−x)
2+( x2−x)
2+…+( xn−x)
2]是解题的关键．
8.
回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究
函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )
A. 数形结合
B. 类比
C. 演绎
D. 公理化
【答案】A
【解析】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线
得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数
形结合的数学思想．
故选：A．
从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想
的体现．
本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．
9.
如图，若△A BC内接于半径为R 的⊙O，且∠A =60
∘，
连接OB、OC，则边BC 的长为( )
A. ❑√2 R
B.
❑√3
2 R
C.
❑√2
2 R
D. ❑√3 R
【答案】D
【解析】解：延长BO 交⊙O于D，连接CD，
则∠BC D =90
∘，∠D =∠A =60
∘，
∴∠C B D =30
∘，
∵B D =2 R，
∴DC = R，
∴BC = ❑√3 R，
故选：D．
延长BO 交圆于D，连接CD，则∠BC D =90
∘，∠D =∠A =60
∘；又B D =2 R，根
据锐角三角函数的定义得BC = ❑√3 R .
此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30
∘角的性质、勾股定理，注意：作直径构造
第4页，共2页
直角三角形是解决本题的关键．
10. 从−1、2、3、−6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m,n)在函数
y = 6
x 图象的概率是( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
8
【答案】B
【解析】解：∵点(m,n)在函数y = 6
x 的图象上，
∴mn=6．
列表如下：
m
−1 −1
−1
2
2
2
3
3
3
−6
−6
−6
n
2
3
−6
−1
3
−6
−1
2
−6
−1
2
3
mn
−2 −3
6
−2
6
−12 −3
6
−18 6
−12 −18
mn 的值为6 的概率是4
12 = 1
3．
故选：B．
根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn 的值，根据表格
中mn=6所占比例即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出
mn=6的概率是解题的关键．
11. 已知圆锥的侧面积是8 π c m
2，若圆锥底面半径为R(c m)，母线长为l(c m)，则
R 关于l 的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意得，1
2 l R =8 π，
则R = 8 π
l ，
故选：A．
根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断
即可．
本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的
关键．
12. 如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转
60
∘，得到线段BM，连接AM 并延长交CD 于N，连接MC，则
△M N C的面积为( )
第5页，共1页
A.
❑√3−1
2
a
2
B.
❑√2−1
2
a
2
C.
❑√3−1
4
a
2
D.
❑√2−1
4
a
2
【答案】C
【解析】解：作M G⊥BC于G，M H ⊥C D于H，
则BG =GC，A B // M G //C D，
∴A M = M N，
∵M H ⊥C D，∠D =90
∘，
∴M H // A D，
∴N H = H D，
由旋转变换的性质可知，△M BC是等边三角形，
∴M C = BC =a，
由题意得，∠M C D =30
∘，
∴M H = 1
2 M C = 1
2 a，C H =
❑√3
2 a，
∴D H =a−
❑√3
2 a，
∴C N =C H −N H =
❑√3
2 a−(a−
❑√3
2 a)=(❑√3−1)a，
∴△M N C的面积= 1
2 × a
2 ×(❑√3−1)a=
❑√3−1
4
a
2，
故选：C．
作M G⊥BC于G，M H ⊥C D于H，根据旋转变换的性质得到△M BC是等边三角
形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计
算即可．
本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是
解题的关键．
二、填空题（本大题共6 小题，共24 分）
13. 分解因式：a x
2+2a x y +a y
2=______．
【答案】a( x + y )
2
【解析】解：原式=a( x
2+2 x y + y
2)…(提取公因式)
=a( x + y )
2.…(完全平方公式)
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：
(a+b)
2=a
2+2ab+b
2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次
分解，注意要分解要彻底．
第6页，共2页
14. 化简1
x +1 +
2
x
2−1结果是______．
【答案】
1
x−1
【解析】解：原式=
x−1
( x +1)( x−1) +
2
x
2−1
=
1
x−1
故答案为：
1
x−1
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．
15. 若函数y = x
2+2 x−m的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______．
【答案】−1
【解析】解：∵函数y = x
2+2 x−m的图象与x 轴有且只有一个交点，
∴△=2
2−4×1×(−m)=0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
由抛物线与x 轴只有一个交点，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的
值．
本题考查了抛物线与x 轴的交点，牢记“当△=b
2−4 ac =0时，抛物线与x 轴有1 个交
点”是解题的关键．
16. 六一儿童节，某幼儿园用100 元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30 个，
单价分别为2 元和4 元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为______、
______个.
【答案】10；20
【解析】解：设甲玩具购买x 个，乙玩具购买y 个，由题意，得
{2 x + 4 y = 100
x + y =30
，
解得{y = 20
x =10
，
甲玩具购买10 个，乙玩具购买20 个，
故答案为：10，20．
根据二元一次方程组，可得答案．
本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．
17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
2018 个图形共有______个○．
第7页，共1页
【答案】6055
【解析】解：
观察图形可知：
第1 个图形共有：1+1×3，
第2 个图形共有：1+2×3，
第3 个图形共有：1+3×3，
…，
第n 个图形共有：1+3n，
∴第2018 个图形共有1+3×2018=6055，
故答案为：6055．
每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此
可得出规律，则可求得答案．
本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．
18. 如图，在△A BC中，A C = BC =2，A B =1，将它沿AB 翻折得
到△A B D，则四边形ADBC 的形状是______形，点P、E、F 分别
为线段AB、AD、DB 的任意点，则P E+ P F的最小值是______．
【答案】菱；
❑√15
4
【解析】解：∵△A BC沿AB 翻折得到△A B D，
∴A C = A D，BC = B D，
∵A C = BC，
∴A C = A D = BC = B D，
∴四边形ADBC 是菱形，
故答案为菱；
如图
作出F 关于AB 的对称点M，再过M 作M E⊥A D，交ABA 于点P，此时P E+ P F最
小，此时P E+ P F = M E，
过点A 作A N ⊥BC，
∵A D // BC，
第8页，共2页
∴M E = A N，
作C H ⊥A B，
∵A C = BC，
∴A H = 1
2，
由勾股定理可得，C H =
❑√15
2
，
∵1
2 × A B×C H = 1
2 ×BC × A N，
可得，A N =
❑√15
4
，
∴M E = A N =
❑√15
4
，
∴P E+ P F最小为
❑√15
4
，
故答案为
❑√15
4
．
根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F 关于AB 的对称点M，再过M 作
M E⊥A D，交ABA 于点P，此时P E+ P F最小，求出ME 即可．
此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分
析出最短路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共8 小题，共78 分）
19. 计算：|−❑√2|+( 1
2 )
−1−2cos 45
∘．
【答案】解：原式= ❑√2+2−2×
❑√2
2
= ❑√2+2−❑√2
=2．
故答案为2．
【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3 个考点.在计算时，
需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
20. 解不等式组：{
3 x−5≤1①
13−x
3
<4 x ②，并在数轴上表示其解集．
【答案】解：解不等式①，得：x ≤2；
解不等式②，得：x>1，
∴不等式组的解集为：1< x ≤2．
将其表示在数轴上，如图所示．
【解析】分别解不等式①、②求出x 的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的
解集，再将其表示在数轴上，此题得解．
本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求
出x 的取值范围是解题的关键．
第9页，共1页
21. 某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、
上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不
完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有1500 名，估计爱好运动的学生有______人；
(4)在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰
好是爱好阅读的学生的概率是______．
【答案】100；600；2
5
【解析】解：(1)爱好运动的人数为40，所占百
分比为40 %
∴共调查人数为：40÷ 40 % =100
(2)爱好上网的人数所占百分比为10 %
∴爱好上网人数为：100×10 % =10，
∴爱好阅读人数为：100−40−20−10=30，
补全条形统计图，如图所示，
(3)爱好运动所占的百分比为40 %，
∴估计爱好运用的学生人数为：
1500×40 % =600
(4)爱好阅读的学生人数所占的百分比40 %，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为2
5
故答案为：(1)100；(3)600；(4) 2
5
(1)根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；
(2)根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．
(3)利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
(4)根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概
率．
本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．
22. 如图，在△A BC中，BC =12，tan A = 3
4 ，∠B =30
∘；
求AC 和AB 的长．
第10页，共2页
【答案】解：如图作C H ⊥A B于H．
在Rt △BC H中，∵BC =12，∠B =30
∘，
∴C H = 1
2 BC =6，B H =
❑√BC
2−C H
2=6 ❑√3，
在Rt △A C H中，tan A = 3
4 = C H
A H ，
∴A H =8，
∴A C =
❑√A H
2+C H
2=10，
∴A B = A H + B H =8+6 ❑√3．
【解析】如图作C H ⊥A B于H .在Rt △求出CH、BH，这种Rt △A C H中求出AH、
AC 即可解决问题；
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23. 如图，在△A BC中，∠A C B =90
∘．
(1)作出经过点B，圆心O 在斜边AB 上且与边AC
相切于点E 的⊙O(要求：用尺规作图，保留作图
痕迹，不写作法和证明)
(2)设(1)中所作的⊙O与边AB 交于异于点B 的另
外一点D，若⊙O的直径为5，BC = 4；求DE 的长.(如果用尺规作图画不出图形，
可画出草图完成(2)问)
【答案】解：(1)⊙O如图所示；
(2)作O H ⊥BC于H．
∵A C是⊙O的切线，
∴O E⊥A C，
∴∠C =∠C EO =∠O H C =90
∘，
∴四边形ECHO 是矩形，
∴O E =C H = 5
2，B H = BC −C H = 3
2，
在Rt △O B H中，O H = ❑√( 5
2 )
2−( 3
2 )
2=2，
∴EC =O H =2，B E =
❑√EC
2+ BC
2=2❑√5，
第11页，共1页
∵∠E BC =∠E B D，∠B E D =∠C =90
∘，
∴△BC E∽△B E D，
∴D E
EC = B D
B E ，
∴D E
2 =
5
2❑√5，
∴D E = ❑√5．
【解析】(1)作∠A BC的角平分线交AC 于E，作EO⊥A C交AB 于点O，以O 为圆
心，OB 为半径画圆即可解决问题；
(2)作O H ⊥BC于H .首先求出OH、EC、BE，利用△BC E∽△B E D，可得
D E
EC = B D
B E ，解决问题；
本题考查作图−复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、
角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
24. 阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J . N pl c r ,1550−1617年)，纳皮尔发明
对数是在指数书写方式之前，直到18 世纪瑞士数学家欧拉( E v l c r ,1707−1783
年)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若a
x= N (a>0,a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记
作：x = loga N .比如指数式2
4=16可以转化为4 = log216，对数式2= log525可以
转化为5
2=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga( M ⋅N )= loga M + loga N (a>0,a≠1, M >0, N >0)；理由如下：
设loga M =m，loga N =n，则M =a
m，N =a
n
∴M ⋅N =a
m⋅a
n=a
m+n，由对数的定义得m+n= loga( M ⋅N )
又∵m+n= loga M + loga N
∴loga( M ⋅N )= loga M + loga N
解决以下问题：
(1)将指数4
3=64转化为对数式______；
(2)证明loga
M
N = loga M −loga N (a>0,a≠1, M >0, N >0)
(3)拓展运用：计算log32+ log36−log34 =______．
【答案】3= log464；1
【解析】解：(1)由题意可得，指数式4
3=64写成对数式为：3= log464，
故答案为：3= log464；
(2)设loga M =m，loga N =n，则M =a
m，N =a
n，
∴M
N = a
m
a
n =a
m−n，由对数的定义得m−n= loga
M
N ，
又∵m−n= loga M −loga N，
∴loga
M
N = loga M −loga N (a>0,a≠1, M >0, N >0)；
(3)log32+ log36−log34，
= log3(2×6÷ 4)，
= log33，
第12页，共2页
=1，
故答案为：1．
(1)根据题意可以把指数式4
3=64写成对数式；
(2)先设loga M =m，loga N =n，根据对数的定义可表示为指数式为：M =a
m，
N =a
n，计算M
N 的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
(3)根据公式：loga( M ⋅N )= loga M + loga N和loga
M
N = loga M −loga N的逆用，
将所求式子表示为：log3(2×6÷ 4)，计算可得结论．
本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是
明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
25. 如图，已知∠A O B =60
∘，在∠A O B的平分线OM 上有一点C，将一个120
∘角
的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA、OB 相交于点D、E．
(1)当∠DC E绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，请猜想O E+O D与OC
的数量关系，并说明理由；
(2)当∠DC E绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2 的位置，(1)中的结论
是否成立？并说明理由；
(3)当∠DC E绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？
请在图3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE 与OC 之
间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】解：(1)∵O M是∠A O B的角平分线，
∴∠A OC =∠BOC = 1
2 ∠A O B =30
∘，
∵C D⊥O A，
∴∠O DC =90
∘，
∴∠OC D =60
∘，
∴∠OC E =∠DC E−∠OC D =60
∘，
在Rt △OC D中，O D =O E⋅cos30
∘=
❑√3
2 OC，
同理：O E =
❑√3
2 OC，
∴O D+O D = ❑√3OC；
(2)(1)中结论仍然成立，理由：
过点C 作C F ⊥O A于F，C G⊥O B于G，
∴∠O F C =∠OGC =90
∘，
∵∠A O B =60
∘，
∴∠F C G =120
∘，
第13页，共1页
同(1)的方法得，O F =
❑√3
2 OC，OG =
❑√3
2 OC，
∴O F +OG = ❑√3OC，
∵C F ⊥O A，C G⊥O B，且点C 是∠A O B的平分线OM 上一点，
∴C F =C G，
∵∠DC E =120
∘，∠F C G =120
∘，
∴∠DC F =∠EC G，
∴△C F D≌△C G E，
∴D F = EG，
∴O F =O D+ D F =O D+ EG，OG =O E−EG，
∴O F +OG =O D+ EG+O E−EG =O D+O E，
∴O D+O E = ❑√3OC；
(3)(1)中结论不成立，结论为：O E−O D = ❑√3OC，
理由：过点C 作C F ⊥O A于F，C G⊥O B于G，
∴∠O F C =∠OGC =90
∘，
∵∠A O B =60
∘，
∴∠F C G =120
∘，
同(1)的方法得，O F =
❑√3
2 OC，OG =
❑√3
2 OC，
∴O F +OG = ❑√3OC，
∵C F ⊥O A，C G⊥O B，且点C 是∠A O B的平分线OM 上一点，
∴C F =C G，∵∠DC E =120
∘，∠F C G =120
∘，
∴∠DC F =∠EC G，
∴△C F D≌△C G E，
∴D F = EG，
∴O F = D F −O D = EG−O D，OG =O E−EG，
∴O F +OG = EG−O D+O E−EG =O E−O D，
∴O E−O D = ❑√3OC．
【解析】(1)先判断出∠OC E =60
∘，再利用特殊角的三角函数得出O D =
❑√3
2 OC，
同O E =
❑√3
2 OC，即可得出结论；
(2)同(1)的方法得O F +OG = ❑√3OC，再判断出△C F D≌△C G E，得出D F = EG，
最后等量代换即可得出结论；
(3)同(2)的方法即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性
质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
第14页，共2页
26. 如图，抛物线y =a x
2+b x−3过A(1,0)、
B(−3,0)，直线AD 交抛物线于点D，点D 的横坐
标为−2，点P(m,n)是线段AD 上的动点．
(1)求直线AD 及抛物线的解析式；
(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q，求
线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最
长？
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，
使得P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)把(1,0)，(−3,0)代入函数解析式，得
{9a−3b−3=
0
a+b−3=0
，
解得{b= 2
a=1
，
抛物线的解析式为y = x
2+2 x−3；
当x =−2时，y =(−2)
2+2×(−2)−3，解得y =−3，
即D(−2,−3)．
设AD 的解析式为y =k x +b，将A(1,0)，D(−2,−3)代入，得
{−2k +b=−3
k +b=0
，
解得{b=−1
k =1
，
直线AD 的解析式为y = x−1；
(2)设P 点坐标为(m,m−1)，Q(m,m
2+2m−3)，
l =(m−1)−(m
2+2m−3)
化简，得
l =−m
2−m+2
配方，得
l =−(m+ 1
2 )
2+ 9
4 ，
当m=−1
2时，l最大= 9
4 ；
(3)D R // PQ且D R = PQ时，PQDR 是平行四边形，
由(2)得0< PQ≤9
2，
又PQ 是正整数，
∴PQ =1，或PQ =2．
当PQ =1时，D R =1，−3+1=−2，即R(−2,−2)，
−3−1=−4，即R(−2,−4)；
当PQ =2时，D R =2，−3+2=−1，即R(−2,−1)，
−3−2=−5，即R(−2,−5)，
综上所述：R 点的坐标为(−2,−2)，(−2,−4)，(−2,−1)(−2,−5)，使得P、Q、
D、R 为顶点的四边形是平行四边形．
第15页，共1页
【解析】(1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，
可得D 点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；
(2)根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函
数，根据二次函数的性质，可得答案；
(3)根据PQ 的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可
得DR 的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用二次函
数的性质；解(3)的关键是利用D R = PQ且是正整数得出DR 的长．
