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2018 年四川省南充市中考数学试卷[来源:中#国教育~出版&*网^]
[来&源:中国^%教@育出版~网]
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分)每小题都有代号为A、B、
C、D 四个答选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对
应位置，填涂正确记3 分，不涂、错涂或多涂记0 分。
1．（3 分）下列实数中，最小的数是（ ）[中@国教^育%出版~*网]
A．
B．0C．1D．
2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．扇形B．正五边形C．菱形D．平行四边形[来源:中教^网%@~&]
3．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查[中国教育#出&%版*网^]
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣a4b÷a2b=
a
﹣
2b B．（a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2
C．a2•a3=a6 D．﹣3a2+2a2=
a
﹣
2
5．（3 分）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是
（ ）[中#%国^@教育出版网~]
A．58° B．60° C．64° D．68°
6．（3 分）不等式x+1≥2x
1
﹣的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D
．
7．（3 分）直线y=2x 向下平移2 个单位长度得到的直线是（ ）
A．y=2（x+2）B．y=2（x
2
﹣）C．y=2x
2
﹣
D．y=2x+2
8．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F 分别为AB，AC，AD 的
中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）
A．
B．1C．
D．
9．（3 分）已知
=3，则代数式
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP，过点B 作
BE⊥AP 于点E，延长CE 交AD 于点F，过点C 作CH⊥BE 于点G，交AB 于点H，连
接HF．下列结论正确的是（ ）
A．CE=
B．EF=
C．cos∠CEP=
D．HF2=EF•CF
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）请将答案填在答题卡对应
的横线上。
11．（3 分）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣4℃，则该地当天的温差为
℃．
12．（3 分）甲、乙两名同学的5 次射击训练成绩（单位：环）如下表．
甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8
比较甲、乙这5 次射击成绩的方差S 甲2，S 乙2，结果为：S 甲2 S 乙2．（选填
“＞”“=”或“＜“）
13．（3 分）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交BC 于点E，
∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
14．（3 分）若2n（n≠0）是关于x 的方程x2
2mx
﹣
+2n=0 的根，则m
n
﹣的值为
．
15．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交DE 的延长线于点F．若
AD=1，BD=2，BC=4，则EF= ．
16．（3 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴交于A，B 两点，
顶点P（m，n）．给出下列结论：[www^.%zzste&p.~co#m]
①2a+c＜0；
②若（﹣
，y1），（﹣
，y2），（
，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；
③关于x 的方程ax2+bx+k=0 有实数解，则k＞c
n
﹣；
④当n=﹣
时，△ABP 为等腰直角三角形．
其中正确结论是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共9 个小题，共72 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤。
17．（6 分）计算：
﹣（1﹣
）0+sin45°+（
）﹣1
18．（6 分）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．[来源:中@教^网*&%]
求证：∠C=∠E．[来源^:中~#&教*网]
19．（6 分）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领
操员，学校组织初中三个年级推选出来的15 名领操员进行比赛，成绩如下表：
[www^.#z&zstep*.c@om]
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
2
5
4
4
（1）这组数据的众数是 ，中位数是 ．
（2）已知获得10 分的选手中，七、八、九年级分别有1 人、2 人、1 人，学校准备从
中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．
20．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2m
2
﹣）x+（m2
2m
﹣
）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x1
2+x2
2=10，求m 的值．
21．（8 分）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（﹣
，2），B
（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P 在x 轴上，如果S△ABP=3，求点P 的坐标．
22．（8 分）如图，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，
PB=2，PC=4．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线．
（2）求tan∠CAB 的值．
23．（10 分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000 元采购A 型丝
绸的件数与用8000 元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型
丝绸进价多100 元．
（1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50 件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且
不少于16 件，设购进A 型丝绸m 件．
①求m 的取值范围．
②已知A 型的售价是800 元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600 元/件，
销售成本为n 元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n
（元）的函数关系式（每件销售利润=售价﹣进价﹣销售成本）．
24．（10 分）如图，矩形ABCD 中，AC=2AB，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形
AB′C′D′，使点B 的对应点B'落在AC 上，B'C'交AD 于点E，在B'C′上取点F，使
B'F=AB．
（1）求证：AE=C′E．
（2）求∠FBB'的度数．[来源:中@#国教*育出版~网^]
（3）已知AB=2，求BF 的长．
[来~源&:中国%教育^*出版网]
25．（10 分）如图，抛物线顶点P（1，4），与y 轴交于点C（0，3），与x 轴交于点A，
B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标．
（3）若M，N 为抛物线上两个动点，分别过点M，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别
为D，E．是否存在点M，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED
的边长；如果不存在，请说明理由．
2018 年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析[来*#源:&中国^教育~出版网]
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分)每小题都有代号为A、B、
C、D 四个答选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对
应位置，填涂正确记3 分，不涂、错涂或多涂记0 分。
1．（3 分）下列实数中，最小的数是（ ）
A．
B．0C．1D．
【考点】2A：实数大小比较．菁优网
【分析】将各项数字按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．
【解答】解：根据题意得：﹣
＜0＜1＜
，
则最小的数是﹣
．[中国%#教&@育*出版网]
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较，正确排列出数字是解本题的关键．
2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）[来源:@中%#&教网^]
A．扇形B．正五边形C．菱形D．平行四边形
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．菁优网[中国~教*%@育出版网#]
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、扇形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；[来~源^@:中教&网%]
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．[来%源:中教#~网^&]
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，
旋转180 度后两部分重合．
[来~#源^:中国教@*育出版网]
3．（3 分）下列说法正确的是（ ）[来源:z#zstep&.%^~com]
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1[来源:~中%#国@教&育出版网]
【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；X1：随机事件．菁优网
【分析】利用概率的意义以及实际生活常识分析得出即可．
【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，此选项正确；
B、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是随机事件，此选项错误；
C、天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨可能性较大，此选项错误；
D、小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1，此选项
错误；[来源:中国%教育出版@~#*网]
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解
题关键．
[来源:中~@国教育&*出%版网]
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣a4b÷a2b=
a
﹣
2b B．（a
b
﹣）2=a2
b
﹣
2
[来源:中&%国教育#出版*~网]
C．a2•a3=a6 D．﹣3a2+2a2=
a
﹣
2
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：﹣a4b÷a2b=
a
﹣
2，故选项A 错误，
（a
b
﹣）2=a2
2ab
﹣
+b2，故选项B 错误，
a2•a3=a5，故选项C 错误，
3a
﹣
2+2a2=
a
﹣
2，故选项D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算
方法．[ww#w~.%zzst@ep^.com]
5．（3 分）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度数是
（ ）
A．58° B．60° C．64° D．68°
【考点】M5：圆周角定理．菁优网
【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解
答即可．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°，
∵BC 是直径，
∴∠B=90°
32°=58°
﹣
，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关
键是注意数形结合思想的应用．
6．（3 分）不等式x+1≥2x
1
﹣的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D
．
【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．菁优网
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：移项，得：x
2x
﹣
≥﹣1
1
﹣，
合并同类项，得：﹣x≥﹣2，
系数化为1，得：x≤2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出
来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆
点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
[来源@:中教&^*网%]
7．（3 分）直线y=2x 向下平移2 个单位长度得到的直线是（ ）
A．y=2（x+2）B．y=2（x
2
﹣）C．y=2x
2
﹣
D．y=2x+2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．菁优网
【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x 向下平移2 个单位得到的函数
解析式为y=2x
2
﹣．
【解答】解：直线y=2x 向下平移2 个单位得到的函数解析式为y=2x
2
﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（k≠0）的图象为直
线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为
y=kx+m．
8．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F 分别为AB，AC，AD 的
中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）[来~源:中国教育出^版&%网#]
A．
B．1C．
D．
【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含30 度角的直角三角形；KP：直角三角形斜
边上的中线．菁优网
【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD 为等边三角形，根据
三角形的中位线定理计算即可．[www.%@z&zste*#p.com]
【解答】解：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD 为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E，F 分别为AC，AD 的中点，[来源^#:中%教&@网]
∴EF=
CD=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三
角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．[中国教&^~育出#*版网]
[中@国教#育出^版*网&]
9．（3 分）已知
=3，则代数式
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】6B：分式的加减法；64：分式的值．菁优网
【分析】由
=3 得出
=3，即x
y=
3xy
﹣
﹣
，整体代入原式=
，计算
可得．[中国#教~育@*出%版网]
【解答】解：∵
=3，
∴
=3，
∴x
y=
3xy
﹣
﹣
，
则原式=
=
=
=
，
故选：D．[来源:中^&%国*教育出版网@]
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整
体代入思想的运用．
10．（3 分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP，过点B 作
BE⊥AP 于点E，延长CE 交AD 于点F，过点C 作CH⊥BE 于点G，交AB 于点H，连
接HF．下列结论正确的是（ ）
A．CE=
B．EF=
C．cos∠CEP=
D．HF2=EF•CF
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形
的性质；T7：解直角三角形．菁优网
【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△ABC≌△CEH，
Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】解：连接EH．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CH⊥BE，
∴CH∥PA，
∴四边形CPAH 是平行四边形，[来源:中~@国教育^出#*版网]
∴CP=AH，
∵CP=PD=1，[来源:zzs*tep.co#~^m@]
∴AH=PC=1，
∴AH=BH，
在Rt△ABE 中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，
∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故选项A 错误，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，
∴△ABC≌△CEH，
∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，
∴Rt△HFE≌Rt△HFA，
∴AF=EF，设EF=AF=x，[来~源:z%^zst&ep.c@om]
在Rt△CDF 中，有22+（2
x
﹣）2=（2+x）2，
∴x=
，
∴EF=
，故B 错误，
∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，
∴cos∠CEP=cos∠BCH=
=
，故C 错误．
∵HF=
，EF=
，FC=
∴HF2=EF•FC，故D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角
函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属
于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）请将答案填在答题卡对应
的横线上。
11．（3 分）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣4℃，则该地当天的温差为
10
℃．
【考点】1A：有理数的减法．菁优网
【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数
进行计算即可得解．[中国教育&%出@版网*#]
【解答】解：6﹣（﹣4），
=6+4，
=10℃．
故答案为：10
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是
解题的关键．
12．（3 分）甲、乙两名同学的5 次射击训练成绩（单位：环）如下表． [来源*#:~zzst@ep.^com]
甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8
比较甲、乙这5 次射击成绩的方差S 甲2，S 乙2，结果为：S 甲2
＜
S 乙2．（选填
“＞”“=”或“＜“）
【考点】W7：方差．菁优网
【分析】首先求出各组数据的平均数，再利用方差公式计算得出答案．
【解答】解：
=
（7+8+9+8+8）=8，
=
（6+10+9+7+8）=8，
=
[（7
8
﹣）2+（8
8
﹣）2+（9
8
﹣）2+（8
8
﹣）2+（8
8
﹣）2]
=0.4；
=
[（6
8
﹣）2+（10
8
﹣）2+（9
8
﹣）2+（7
8
﹣）2+（8
8
﹣）2]
=2；
则S 甲2＜S 乙2．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了方差，正确掌握方差计算公式是解题关键．
13．（3 分）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交BC 于点E，
∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=
24
度．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．菁优网
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分
线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF 平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，[来源:中国%^@教*育~出版网]
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．[来源:@中%教*网#^]
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的
垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（3 分）若2n（n≠0）是关于x 的方程x2
2mx
﹣
+2n=0 的根，则m
n
﹣的值为 ﹣
．
【考点】A3：一元二次方程的解．菁优网[来源:z@zs#tep.~co^m*]
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n 代入方程得到x2
2mx
﹣
+2n=0，然
后把等式两边除以n 即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x 的方程x2
2mx
﹣
+2n=0 的根，[来~源*^:中教网@&]
∴4n2
4mn
﹣
+2n=0，
∴4n
4m
﹣
+2=0，
∴m
n=
﹣
﹣
．
故答案是：﹣
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值是一元二次方程的解．
15．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交DE 的延长线于点F．若
AD=1，BD=2，BC=4，则EF=
．[来源~%:zz#s*tep.co&m]
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．菁优网[来源@#:^中教&网%]
【分析】由DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性
质解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF 平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，[来~源:中^教&*网@]
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，即
，
解得：DE=
，[来~源^@:中教&网%]
∵DF=DB=2，
∴EF=DF
DE=2
﹣
﹣
，[中国教育出版网#~%^&]
故答案为：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC 可得出
△ADE∽△ABC．
16．（3 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴交于A，B 两点，
顶点P（m，n）．给出下列结论：
①2a+c＜0；
②若（﹣
，y1），（﹣
，y2），（
，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；
③关于x 的方程ax2+bx+k=0 有实数解，则k＞c
n
﹣；
④当n=﹣
时，△ABP 为等腰直角三角形．[来@源:中*&国教%育#出版网]
其中正确结论是
②③④
（填写序号）．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：
抛物线与x 轴的交点．菁优网
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；
【解答】解：∵﹣
＜
，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x=
1
﹣时，y＞0，
∴a
b
﹣+c＞0，
∴2a+c＞a
b
﹣+c＞0，故①错误，
若（﹣
，y1），（﹣
，y2），（
，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，
∵抛物线与直线y=t 有交点时，方程ax2+bx+c=t 有解，t≤n，
∴ax2+bx+k=0 有实数解，则k＞c
n
﹣；故③正确，
设抛物线的对称轴交x 轴于H．
∵
=﹣
，
∴b2
4ac=4
﹣
，
∴x=
=，[来源^:z#~z&step@.com]
∴|x1
x
﹣2|=
，
∴AB=2PH，
∵BH=AH，
∴PH=BH=AH，
∴△PAB 是直角三角形，∵PA=PB，
∴△PAB 是等腰直角三角形．[来%^源:中教网#~*]
故答案为②③④．
【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9 个小题，共72 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤。[中国教&育#出^*版~网]
17．（6 分）计算：
﹣（1﹣
）0+sin45°+（
）﹣1
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．菁优网[w#ww.zz%s~@tep^.com]
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数
值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
1
1
﹣﹣+
+2
=
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6 分）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．[来&源@:z*zstep.^co%m]
求证：∠C=∠E．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网
【分析】由∠BAE=∠DAC 可得到∠BAC=∠DAE ，再根据“ SAS” 可判断
△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．
【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
∵
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C=∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
[w*ww.#@zz&step.^com]
19．（6 分）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领
操员，学校组织初中三个年级推选出来的15 名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
2
5
4
4
（1）这组数据的众数是
8 分
，中位数是
9 分
．
（2）已知获得10 分的选手中，七、八、九年级分别有1 人、2 人、1 人，学校准备从
中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．[来源:&%@*中国教育出版网#]
【考点】X6：列表法与树状图法；W4：中位数；W5：众数．菁优网
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．[来源#*:中国%教育出~&版网]
【解答】解：（1）由于8 分出现次数最多，
所以众数为8 分，
中位数为第8 个数，即中位数为9 分，
故答案为：8 分、9 分；[来源:zz@s&te~p.c%o#m]
[来~源:zz*^ste%@p.com]
（2）画树状图如下：
[来源:%中国#@教*育~出版网]
由树状图可知，共有12 种等可能结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的有2 种
结果，
所以恰好抽到八年级两名领操员的概率为
=
．
【点评】本题主要考查众数、中位数及列表法与树状图法，解题的关键是掌握众数
和中位数的定义，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可
能的结果，通常采用树形图．
20．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2m
2
﹣）x+（m2
2m
﹣
）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x1
2+x2
2=10，求m 的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．菁优网
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m
2
﹣）2
4
﹣（m2
2m
﹣
）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m
2
﹣，x1x2=m2
2m
﹣
，
∴
+
=（x1+x2）2
2x
﹣
1x2=10，
∴（2m
2
﹣）2
2
﹣（m2
2m
﹣
）=10，
∴m2
2m
3=0
﹣
﹣
，
∴m=
1
﹣或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及
一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
[中国教^#育出~&版网%]
21．（8 分）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（﹣
，2），B
（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．[来#源:zzs*tep.~co@m^]
（2）点P 在x 轴上，如果S△ABP=3，求点P 的坐标．[来&%^源:中教网@~]
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网
【分析】（1）把A 的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B 点的坐
标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B 的坐标代入一次函数解析式即可
求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，设点P 的坐标为（x，
0），根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出|x﹣
|=2，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵双曲线y=
（m≠0）经过点A（﹣
，2），
∴m=
1
﹣．
∴双曲线的表达式为y=﹣
．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣
上，
∴点B 的坐标为（1，﹣1）．[中国#教&%育出版^*网]
∵直线y=kx+b 经过点A（﹣
，2），B（1，﹣1），
∴
，解得
，
∴直线的表达式为y=
2x
﹣
+1；
[来源:zzs*tep.co~#m^@]
（2）当y=
2x
﹣
+1=0 时，x=
，
∴点C（
，0）．
设点P 的坐标为（x，0），
∵S△ABP=3，A（﹣
，2），B（1，﹣1），
∴
×3|x﹣
|=3，即|x﹣
|=2，
解得：x1=﹣
，x2=
．
∴点P 的坐标为（﹣
，0）或（
，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象
上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面
积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根
据三角形的面积公式以及S△ABP=3，得出|x﹣
|=2．
22．（8 分）如图，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，
PB=2，PC=4．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线．[ww~w.z%^zst&ep.c@om]
（2）求tan∠CAB 的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网
【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP 是直角三角形，即OC⊥PC，PC 是⊙O
的切线
（2））AB 是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而
，得出tan∠CAB=
．[来#源@:^%中*教网]
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
[来源*:中^教@~网%]
∵⊙O 的半径为3，PB=2
∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
[来源:#*~zzste@p.^com]
∴△OCP 是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC 是⊙O 的切线．
（2）∵AB 是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC[来源:z@&zstep.#^c%om]
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC 和△PCA 中：[来源:中国%@^教*育~出版网]
∠BCP=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB=
【点评】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能借助证明
图中相似三角形可以是解决问题的关键．
23．（10 分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000 元采购A 型丝
绸的件数与用8000 元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型
丝绸进价多100 元．
（1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50 件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且
不少于16 件，设购进A 型丝绸m 件．[www.z#zs^te%p@.com~]
①求m 的取值范围．
②已知A 型的售价是800 元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600 元/件，
销售成本为n 元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n
（元）的函数关系式（每件销售利润=售价﹣进价﹣销售成本）．
【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．菁优网
【分析】（1）根据题意应用分式方程即可；（2）①根据条件中可以列出关于m 的
不等式组，求m 的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y 与
m 的函数关系，通过讨论所含字母n 的取值范围，得到w 与n 的函数关系．
【解答】解：（1）设B 型丝绸的进价为x 元，则A 型丝绸的进价为（x+100）元
根据题意得：
[
中国
#*
教育
%
出
&
版网
@]
解得x=400
经检验，x=400 为原方程的解
∴x+100=500
答：一件A 型、B 型丝绸的进价分别为500 元，400 元．
（2）①根据题意得：
∴m 的取值范围为：16≤m≤25
②设销售这批丝绸的利润为y
根据题意得：
y=（800
500
2n
﹣
﹣
）m+（600
400
n
﹣
﹣）•（50
m
﹣
）
=（100
n
﹣）m+10000
50n
﹣
∵50≤n≤150[来#*源~:&中教^网]
∴（Ⅰ）当50≤n＜100 时，100
n
﹣＞0
m=25 时，
销售这批丝绸的最大利润w=25（100
n
﹣）+10000
50n=
75n
﹣
﹣
+12500[w~%ww#.z*zstep.com^]
（Ⅱ）当n=100 时，100
n=0
﹣
，
销售这批丝绸的最大利润w=5000
（Ⅲ）当100＜n≤150 时，100
n
﹣＜0
当m=16 时，
销售这批丝绸的最大利润w=
66n
﹣
+11600
【点评】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）
问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．
24．（10 分）如图，矩形ABCD 中，AC=2AB，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形
AB′C′D′，使点B 的对应点B'落在AC 上，B'C'交AD 于点E，在B'C′上取点F，使
B'F=AB．
（1）求证：AE=C′E．[来源:^@中教~&网%]
（2）求∠FBB'的度数．
（3）已知AB=2，求BF 的长．
【考点】R2：旋转的性质；LB：矩形的性质．菁优网
【分析】（1）在直角三角形ABC 中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质
得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为
60°，即可求出所求角度数；
（3）由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B 作BH⊥BF，在直角三角形BB′H 中，
利用锐角三角函数定义求出BH 的长，由BF=2BH 即可求出BF 的长．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC 中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，
∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，
∴AE=C′E；
（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，[来^@源:zzstep&.co#%m]
∴∠AB′B=60°，
∴∠FBB′=150°；
（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，
过B 作BH⊥BF，
在Rt△BB′H 中，cos15°=
，即BH=2×
=
，
则BF=2BH=
+
．
【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、直
角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
25．（10 分）如图，抛物线顶点P（1，4），与y 轴交于点C（0，3），与x 轴交于点A，
B．[中国#教*&育出版^网~]
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标．
（3）若M，N 为抛物线上两个动点，分别过点M，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别
为D，E．是否存在点M，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED
的边长；如果不存在，请说明理由．
[来源:zz*step.co#~^m@]
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网
【分析】（1）设出抛物线顶点坐标，把C 坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ 与△BCP 的面积相等，得到PQ 与BC 平行，①过P 作PQ∥BC，交抛物
线于点Q，如图1 所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H 作直线Q2Q3∥BC，交x
轴于点H，分别求出Q 的坐标即可；
（3）存在点M，N 使四边形MNED 为正方形，如图2 所示，过M 作MF∥y 轴，过N
作NF∥x 轴，过N 作NH∥y 轴，则有△MNF 与△NEH 都为等腰直角三角形，设M
（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN 解析式为y=
x
﹣+b，与二次函数解析式联立，消去y
得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF 为等腰直
角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNED 为正方形，得到NE2=MN2，求出b 的值
进而确定出MN 的长，即为正方形边长．
【解答】解：（1）设y=a（x
1
﹣）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=
1
﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x
1
﹣）2+4=
x
﹣2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC 解析式为y=
x
﹣+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P 作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1 所示，
∵P（1，4），∴直线PQ 解析式为y=
x
﹣+5，
联立得：
，
解得：
或
，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H 作直线Q2Q3∥BC，交x 轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=
x
﹣+1，
联立得：
，[来%源:中教~#*网^]
解得：
或
，
∴Q2（
，
），Q3（
，
）；
（3）存在点M，N 使四边形MNED 为正方形，[w~ww.%zzst*@ep.c#om]
如图2 所示，过M 作MF∥y 轴，过N 作NF∥x 轴，过N 作NH∥y 轴，则有△MNF
与△NEH 都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN 解析式为y=
x
﹣+b，
联立得：
，
消去y 得：x2
3x
﹣
+b
3=0
﹣
，[来源:zzs#*t~e^&p.com]
∴NF2=|x1
x
﹣2|2=（x1+x2）2
4x
﹣
1x2=21
4b
﹣
，
∵△MNF 为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42
8b
﹣
，
∵NH2=（b
3
﹣）2，∴NF2=
（b
3
﹣）2，
若四边形MNED 为正方形，则有NE2=MN2，
∴42
8b=
﹣
（b2
6b
﹣
+9），
整理得：b2+10b
75=0
﹣
，
解得：b=
15
﹣
或b=5，
∵正方形边长为MN=
，
∴MN=9
或
．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，
根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函
数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．[www&.z#^zstep*.c@om]
