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2018 年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，共30 分）
1.
比1 小2 的数是( )
A. −1
B. −2
C. −3
D. 1
【答案】A
【解析】解：1−2=−1．
故选：A．
求比1 小2 的数就是求1 与2 的差．
本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.这是需要熟记
的内容．
2.
下列运算正确的是( )
A. a
3⋅a
4=a
12
B. a
6÷ a
3=a
2
C. 2a−3a=−a
D. (a−2)
2=a
2−4
【答案】C
【解析】解：A、应为a
3⋅a
4=a
7，故本选项错误；
B、应为a
6÷ a
3=a
3，故本选项错误；
C、2a−3a=−a，正确；
D、应为(a−2)
2=a
2−4 a+ 4，故本选项错误．
故选：C．
根据同底数的幂的运算法则、合并同类项法则及完全平方公式计算．
本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，计算
时要认真．
3.
长度单位1 纳米=10
−9米，目前发现一种新型病毒直径为25 100 纳米，用科学记
数法表示该病毒直径是( )
A. 25.1×10
−6米
B. 0.251×10
−4米C. 2.51×10
5米
D. 2.51×10
−5米
【答案】D
【解析】解：2.51×10
4×10
−9=2.51×10
−5米.故选D．
先将25100 用科学记数法表示为2.51×10
4，再和10
−9相乘．
a×10
n中，a 的整数部分只能取一位整数，1≤|a|<10.此题中的n 应为负数．
4.
小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望
上学时经过每个路囗都是绿灯，但实际这样的机会是( )
A. 1
2
B. 1
8
C. 3
8
D. 1
2 + 1
2 + 1
2
【答案】B
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【解析】解：画树状图，得
∴共有8 种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，
∴实际这样的机会是1
8，
故选：B．
列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可．
此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要
注意列出所有的情形.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.
一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”
字对面是( )
A. 和
B. 谐
C. 凉
D. 山
【答案】D
【解析】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可
知，与“建”字相对的字是“山”．
故选：D．
本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个
小正方形，据此作答．
注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6.
一组数据：3，2，1，2，2 的众数，中位数，方差分别是( )
A. 2，1，0.4
B. 2，2，0.4
C. 3，1，2
D. 2，1，0.2
【答案】B
【解析】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2 出现了三次最多为众数，
2 处在第3 位为中位数.平均数为(3+2+1+2+2)÷5=2，方差为
1
5 [(3−2)
2+3×(2−2)
2+(1−2)
2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均)数
为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.利用方差
公式计算方差．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力.注意找中位数的
时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，
则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
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7.
若ab<0，则正比例函数y =a x与反比例函数y = b
x 在同一坐标系中的大致图象可
能是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：∵ab<0，∴分两种情况：
(1)当a>0，b<0时，正比例函数y =a x数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数
图象在第二、四象限，无此选项；
(2)当a<0，b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第
一、三象限，选项B 符合．
故选：B．
根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0，b<0和a<0，b>0
两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质
才能灵活解题．
8.
下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
9.
如图将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C ′处，
BC ′交AD 于点E，则下到结论不一定成立的是( )
A. A D = BC ′
B. ∠E B D =∠E D B
C. △A B E∽△C B D
D. sin ∠A B E = A E
E D
【答案】C
【解析】解：A、BC = BC ′，A D = BC，∴A D = BC ′，所以正确．
B、∠C B D =∠E D B，∠C B D =∠E B D，∴∠E B D =∠EDB 正确．
D、∵sin ∠A B E = A E
B E ，
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∴∠E B D =∠E D B
∴B E = D E
∴sin ∠A B E = A E
E D ．
故选：C．
主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．
本题主要用排除法，证明A，B，D 都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中
一种常用的解题方法．
10. 如图，⊙O是△A BC的外接圆，已知∠A BO =50
∘，则∠A C B
的大小为( )
A. 40
∘
B. 30
∘
C. 45
∘
D. 50
∘
【答案】A
【解析】解：△A O B中，O A =O B，∠A BO =50
∘，
∴∠A O B =180
∘−2∠A BO =80
∘，
∴∠A C B = 1
2 ∠A O B = 40
∘，
故选：A．
首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A O B的度数，再利用圆周角
与圆心角的关系求出∠A C B的度数．
本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三
角形内角和定理．
二、填空题（本大题共6 小题，共24 分）
11. 分解因式：9a−a
3=______，2 x
2−12 x +18=______．
【答案】a(3+a)(3−a)；2( x −3)
2
【解析】解：9a−a
3=a(9−a
2)=a(3+a)(3−a)；
2 x
2−12 x +18=2( x
2−6 x +9)=2( x −3)
2．
观察原式9a−a
3，找到公因式a 后，发现9−a
2符合平方差公式的形式，直接运用公
式可得；
观察原式2 x
2−12 x +18，找到公因式2 后，发现x
2−6 x +9符合完全平方差公式的形
式，直接运用公式可得．
本题考查整式的因式分解.一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提
公因式先提公因式，然后再考虑公式法．
12. 已知△A BC∽△A ′ B′ C ′且S△A BC：S△A ′ B′ C ′ =1：2，则AB：A ′ B′ =______．
【答案】1：❑√2
【解析】解：∵△A BC∽△A ′ B′ C ′，∴S△A BC：S△A ′ B′ C ′ = A B
2：A ′ B′
2=1：2，
∴A B：A ′ B′ =1：❑√2．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
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本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．
13. 有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10 枪打完后两人打靶的环数如图所示，
通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是
______．
【答案】小林
【解析】解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳
定，故新手是小林．
故填小林．
观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定；
根据题意，一般新手的成绩不太稳定，故新手是小林．
本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分
布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. 已知一个正数的平方根是3 x−2和5 x +6，则这个数是______．
【答案】49
4
【解析】解：根据题意可知：3 x−2+5 x +6=0，解得x =−1
2，
所以3 x−2=−7
2，5 x +6= 7
2，
∴(± 7
2 )
2= 49
4
故答案为：49
4 ．
由于一个非负数的平方根有2 个，它们互为相反数.依此列出方程求解即可．
本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．
15. 若不等式组{b−2 x >
0
x−a>2
的解集是−1< x<1，则(a+b)
2009=______．
【答案】−1
【解析】解：由不等式得x>a+2，x< 1
2 b，
∵−1< x<1，
∴a+2=−1，1
2 b=1
∴a=−3，b=2，
∴(a+b)
2009=(−1)
2009=−1．
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故答案为−1．
解出不等式组的解集，与已知解集−1< x<1比较，可以求出a、b 的值，然后相加求出
2009 次方，可得最终答案．
本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作
已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
16. 将△A BC绕点B 逆时针旋转到△A ′ BC ′，使A、
B、C ′在同一直线上，若∠BC A =90
∘，
∠B A C =30
∘，A B = 4 c m，则图中阴影部分面积
为______c m
2．
【答案】4 π
【解析】解：∵∠BC A =90
∘，∠B A C =30
∘，A B = 4 c m，
∴BC =2，A C =2❑√3，∠A ′ B A =120
∘，∠C BC ′ =120
∘，
∴阴影部分面积
=(S△A ′ BC ′ + S扇形B A A′ )−S扇形BC C ′−S△A BC = 120 π
360 ×(4
2−2
2)= 4 π c m
2．
故答案为：4 π．
易得整理后阴影部分面积为圆心角为120
∘，两个半径分别为4 和2 的圆环的面积．
本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．
三、计算题（本大题共3 小题，共24 分）
17. 先化简，再选择一个你喜欢的数(要合适哦!)代入求值：(1+ 1
x )÷ x
2−1
x
．
【答案】解：(1+ 1
x )÷ x
2−1
x
= x +1
x
⋅
x
( x +1)( x−1)
=
1
x−1，
当x =2时，原式=
1
2−1 =1．
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再选取一个使得原分式有意
义的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
18. 如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C 点周围200
米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45
∘方向上，
从A 向东走600 米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60
∘方向上．
(1)M N是否穿过原始森林保护区，为什么？(参考数据：❑√3≈1.732)
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5 天完成，需将原定的工作
效率提高25 %，则原计划完成这项工程需要多少天？
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【答案】解：(1)理由如下：
如图，过C 作C H ⊥A B于H．
设C H = x，
由已知有∠E A C = 45
∘，
∠F BC =60
∘，
则∠C A H = 45
∘，∠C B A =30
∘．
在Rt △A C H中，A H =C H = x，
在Rt △H BC中，tan ∠H BC = C H
H B
∴H B = C H
tan30
∘= x
❑√3
3
= ❑√3 x
，
∵A H + H B = A B，
∴x + ❑√3 x =600，
解得x = 600
1+ ❑√3 ≈220(米)>200(米)．
∴M N不会穿过森林保护区．
(2)设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要( y −5)天．
根据题意得：
1
y −5 =(1+25 %)× 1
y
解得：y =25．
经检验知：y =25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25 天．
【解析】(1)要求MN 是否穿过原始森林保护区，也就是求C 到MN 的距离.要构造直
角三角形，再解直角三角形；
(2)根据题意列方程求解．
考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．
19. 我们常用的数是十进制数，如4657 = 4×10
3+6×10
2+5×10
1+7×10
0，数要用
10 个数码(又叫数字)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二
进制，只要两个数码：0 和1，如二进制中110=1×2
2+1×2
1+0×2
0等于十进制
的数6，110101=1×2
5+1×2
4+0×2
3+1×2
2+0×2
1+1×2
0等于十进制的数
53.那么二进制中的数101011 等于十进制中的哪个数？
【答案】解：101011=1×2
5+0×2
4+1×2
3+0×2
2+1×2
1+1×2
0= 43，
所以二进制中的数101011 等于十进制中的43．
【解析】利用新定义得到101011=1×2
5+0×2
4+1×2
3+0×2
2+1×2
1+1×2
0，然后
根据乘方的定义进行计算．
本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．
四、解答题（本大题共7 小题，共72 分）
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20. 计算：|3.14−π |+3.14÷(
❑√3
2 +1)
0−2cos 45
∘+(❑√2−1)
−1+(−1)
2009．
【答案】解：原式= π −3.14+3.14−2×
❑√2
2 +
1
❑√2−1 −1
= π −❑√2+ ❑√2+1−1
= π．
【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数
幂的性质进而化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21. 观察下列多面体，并把如表补充完整．
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
10
12
棱数b
9
12
面数c
5
8
观察表中的结果，你能发现a、b、c 之间有什么关系吗？请写出关系式．
【答案】解：填表如下：
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a
6
8
10
12
棱数b
9
12
15
18
面数c
5
6
7
8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n 个侧面，共有
n+2个面，共有2n 个顶点，共有3n 条棱；
故a，b，c 之间的关系：a+c−b=2．
【解析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱
与几棱柱的关系，可知n 棱柱一定有(n+2)个面，2n 个顶点和3n 条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c 之间的关系．
此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n 棱柱有
(n+2)个面，2n 个顶点和3n 条棱是解题关键．
22. 如图，△A BC在方格纸中
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3)，C(6,2)，并求出B 点坐标；
(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△A BC放大，画出放大
后的图形△A ′ B′ C ′；
(3)计算
的面积S．
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【答案】解：(1)如图所示，即为所求的直角坐标系；B(2,1)；
(2)如图：
即为所求；
．
【解析】(1)直接利用A，C 点坐标得出原点位置进而得出答案；
(2)利用位似图形的性质即可得出
；
(3)直接利用(2)中图形求出三角形面积即可．
此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键.画
位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③
根据位似比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
23. 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5 %作费用.张先生
以每股5 元的价格买入“西昌电力”股票1000 股，若他期望获利不低于1000 元，
问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？(精确到0.01元)
【答案】解：设涨到每股x 元时卖出，
根据题意得1000 x−(5000+1000 x)×0.5 %≥5000+1000，(4分)
解这个不等式得x ≥1205
199 ，
即x ≥6.06.(6分)
答：至少涨到每股6.06元时才能卖出.(7分)
【解析】根据关系式：总售价−两次交易费≥总成本+1000列出不等式求解即可．
本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据
“总售价−两次交易费≥总成本+1000”列出不等关系式．
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24. 已知一个口袋中装有7 个只有颜色不同的球，其中3 个白球，4 个黑球．
(1)求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
(2)若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是
1
4 ，求y 与x 之间的函数关系式．
【答案】解：(1)∵一个口袋中装有7 个只有颜色不同的球，其中3 个白球，4 个黑球，
∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：4
7 ；
(2)∵往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是1
4 ，
∴
x +3
7+ x + y = 1
4 ，
则y =3 x +5．
【解析】(1)直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率；
(2)直接利用从口袋中随机取出一个白球的概率是1
4 ，进而得出答案函数关系式．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(−4 ,0)，以点O1为圆心，8 为半径
的圆与x 轴交于A，B 两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60
∘的角，且交y 轴
于C 点，以点O2(13,5)为圆心的圆与x 轴相切于点D．
(1)求直线l 的解析式；
(2)将⊙O2以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切
时，求⊙O2平移的时间．
【答案】解：(1)由题意得O A =|−4|+|8|=12，
∴A点坐标为(−12,0)．
∵在Rt △A OC中，∠O A C =60
∘，
OC =O A tan ∠O A C =12×tan 60
∘=12❑√3．
∴C点的坐标为(0,−12❑√3).
设直线l 的解析式为y =k x +b，
由l 过A、C 两点，
得{
−12❑√3=b
0=−12k +b，解得{
b=−12❑√3
k =−❑√3
∴直线l 的解析式为：y =−❑√3 x−12❑√3．
(2)如图，设⊙O2平移t 秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x 轴相切
于D1点，连接O1O3，O3 D1．
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则O1O3=O1 P+ PO3=8+5=13．
∵O3 D1⊥x轴，∴O3 D1=5，
在Rt △O1O3 D1中，O1 D1=
❑√O1O3
2−O3 D1
2=
❑√13
2−5
2=12．
∵O1 D =O1O+O D = 4 +13=17，∴D1 D =O1 D−O1 D1=17−12=5，
∴t = 5
1 =5(秒)．
∴⊙O2平移的时间为5 秒．
【解析】(1)求直线的解析式，可以先求出A、C 两点的坐标，就可以根据待定系数法
求出函数的解析式．
(2)设⊙O2平移t 秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x 轴相切于D1点，
连接O1O3，O3 D1．
在直角△O1O3 D1中，根据勾股定理，就可以求出O1 D1，进而求出D1 D的长，得到
平移的时间．
本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线
的作法是经常用到的．
26. 如图，已知抛物线y = x
2+b x +c经过A(1,0)，
B(0,2)两点，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将△O A B绕点A 顺时针旋转90
∘后，点B 落到点
C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C，求平移
后所得图象的函数关系式；
(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为B1，
顶点为D1，若点N 在平移后的抛物线上，且满足
△N B B1的面积是△N D D1面积的2 倍，求点N 的坐标．
【答案】解：(1)已知抛物线y = x
2+b x +c经过A(1,0)，
B(0,2)，
∴{2=0+0+
c
0=1+b+c
，
解得{c = 2
b=−3
，
∴所求抛物线的解析式为y = x
2−3 x +2；
(2)∵A(1,0)，B(0,2)，
∴O A =1，O B =2，
可得旋转后C 点的坐标为(3,1)，
当x =3时，由y = x
2−3 x +2得y =2，
可知抛物线y = x
2−3 x +2过点(3,2)，
∴将原抛物线沿y 轴向下平移1 个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y = x
2−3 x +1；
(3)∵点N 在y = x
2−3 x +1上，可设N 点坐标为( x0, x0
2−3 x0+1)，
将y = x
2−3 x +1配方得y =( x−3
2 )
2−5
4 ，
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∴其对称轴为直线x = 3
2．
①0≤x0≤3
2时，如图①，
∵S△N B B1=2S△N D D1，
∴1
2 ×1× x0=2× 1
2 ×1×( 3
2 −x0)
∵x0=1，
此时x0
2−3 x0+1=−1，
∴N点的坐标为(1,−1)．
②当x0> 3
2时，如图②，
同理可得1
2 ×1× x0=2× 1
2 ×( x0−3
2 )，
∴x0=3，
此时x0
2−3 x0+1=1，
∴点N 的坐标为(3,1)．
③当x<0时，由图可知，N 点不存在，
∴舍去．
综上，点N 的坐标为(1,−1)或(3,1)．
【解析】(1)利用待定系数法，将点A，B 的坐标代入解析式即可求得；
(2)根据旋转的知识可得：A(1,0)，B(0,2)，∴O A =1，O B =2，
可得旋转后C 点的坐标为(3,1)，当x =3时，由y = x
2−3 x +2得y =2，可知抛物线
y = x
2−3 x +2过点(3,2)∴将原抛物线沿y 轴向下平移1 个单位后过点C .∴平移后的
抛物线解析式为：y = x
2−3 x +1；
(3)首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．
此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认
真审题．
此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应
用．
