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2018 年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题4 分，共48 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）计算
的结果是（ ）
A．0B．1C．﹣1 D．
2．（4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成D．心想事成，万事如意
3．（4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）若单项式am
1
﹣b2与
的和仍是单项式，则nm的值是（ ）
A．3B．6C．8D．9
5．（4 分）与
最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100 米，其铅直高度上升了
15 米．在用科学计算器求坡角α 的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）化简
的结果为（ ）
A．
B．a
1
﹣C．a D．1
8．（4 分）甲、乙、丙、丁4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结
果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
9．（4 分）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）
A．2π
B．
C．
D．
10．（4 分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60 万平方米的荒山绿化
任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，
结果提前30 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则
下面所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M，过点M 作MN∥BC
交AC 于点N，且MN 平分∠AMC，若AN=1，则BC 的长为（ ）
A．4B．6C．
D．8
12．
（4 分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A，B，C 的距离分
别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题4 分，共5 个小题，满分20 分，将直接填写最后结果）
13．（4 分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 度．
14．（4 分）分解因式：2x3
6x
﹣
2+4x= ．
15．（4 分）在如图所示的平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角线AC
折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，且AE 过BC 的中点O，则△ADE 的周
长等于 ．
16．（4 分）已知抛物线y=x2+2x
3
﹣与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），将
这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x 轴交于C，D 两点（点
C 在点D 的左侧），若B，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为 ．
17．（4 分）将从1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3 行、第4 列的数是
12，则位于第45 行、第8 列的数是 ．
三、解答题（本大题共7 小题，共52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
18．（5 分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中
．
19．（5 分）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
20．（8 分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书
活动，随机调查了八年级50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
时间（小时）
6
7
8
9
10
人数
5
8
12
15
10
（1）写出这50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．
（3）学校欲从这50 名学生中，随机抽取1 名学生参加上级部门组织的读书活动，
其中被抽到学生的读书时间不少于9 小时的概率是多少？
21．
（8 分）如图，直线y1=
x
﹣+4，y2=
x+b 都与双曲线y=
交于点A（1，m），这两条
直线分别与x 轴交于B，C 两点．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0 时，不等式
x+b＞
的解集；
（3）若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3 两部分，求此时点P 的坐
标．
22．
（8 分）如图，以AB 为直径的⊙O 外接于△ABC，过A 点的切线AP 与BC 的延长
线交于点P，∠APB 的平分线分别交AB，AC 于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长
是一元二次方程x2
5x
﹣
+6=0 的两个实数根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC 上是否存在一点M，使得四边形ADME 是菱形？若存在，请给予证
明，并求其面积；若不存在，说明理由．
23．（9 分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在
△ABC 的外侧分别以AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取
BD，CE，BC 的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM 与GN 的数量关
系是 ；位置关系是 ．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三
角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作等腰
直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证明．
24．（9 分）如图，抛物线y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A（1，
），点B
（3，﹣
），O 为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t 的取值范围；
（3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求
∠BOC 的大小及点C 的坐标．
2018 年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题4 分，共48 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）计算
的结果是（ ）
A．0B．1C．﹣1 D．
【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．
【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得．
【解答】解：
=
﹣
=0，
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质
和有理数的减法法则．
2．（4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成D．心想事成，万事如意
【考点】X1：随机事件．
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；
B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；
D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
3．（4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C 中的图形不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．
4．（4 分）若单项式am
1
﹣b2与
的和仍是单项式，则nm的值是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【考点】35：合并同类项；42：单项式．
【分析】首先可判断单项式am
1
﹣b2与
是同类项，再由同类项的定义可得m、
n 的值，代入求解即可．
【解答】解：∵单项式am
1
﹣b2与
的和仍是单项式，
∴单项式am
1
﹣b2与
是同类项，
∴m
1=2
﹣
，n=2，
∴m=3，n=2，
∴nm=8．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个
相同．
5．（4 分）与
最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】2B：估算无理数的大小；27：实数．
【分析】由题意可知36 与37 最接近，即
与
最接近，从而得出答案．
【解答】解：∵36＜37＜49，
∴
＜
＜
，即6＜
＜7，
∵37 与36 最接近，
∴与
最接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与
最接近，所以
=6 最接近．
6．（4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100 米，其铅直高度上升了
15 米．在用科学计算器求坡角α 的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA=
=
=0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数
值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
7．（4 分）化简
的结果为（ ）
A．
B．a
1
﹣C．a D．1
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=
+
=
=a
1
﹣
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题
属于基础题型．
8．（4 分）甲、乙、丙、丁4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结
果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【考点】O2：推理与论证．
【分析】四个人共有6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可
能性：甲胜1 场或甲胜2 场；由此进行分析即可．
【解答】解：四个人共有6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1 场或甲胜2 场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2 场，此时丁三场全败，也就是胜0 场．
答：甲、乙、丙各胜2 场，此时丁三场全败，丁胜0 场．
故选：D．
【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得
出两种可能性，继而分析即可．
9．（4 分）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）
A．2π
B．
C．
D．
【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣
弧AC 的长为
=
．
【解答】解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC 的长为
=
，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
10．（4 分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60 万平方米的荒山绿化
任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，
结果提前30 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则
下面所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷
工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积
为
万平方米，
依题意得：
﹣
=30，即
．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关
系是解决问题的关键．
11．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M，过点M 作MN∥BC
交AC 于点N，且MN 平分∠AMC，若AN=1，则BC 的长为（ ）
A．4B．6C．
D．8
【考点】KO：含30 度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与
性质．
【分析】根据题意，可以求得∠B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得
NC 的长，从而可以求得BC 的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M，过点M 作MN∥BC 交
AC 于点N，且MN 平分∠AMC，
∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解
答．
12．
（4 分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A，B，C 的距离分
别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，
AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP
中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP 于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到
△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF 中利用
三角函数求得AF 和PF 的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得AB 的长，进而
求得三角形ABC 的面积．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP 于点F．
如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE 为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF 中，AF=
AP=
，PF=
AP=
．
∴在直角△ABF 中，AB2=BF2+AF2=（4+
）2+（
）2=25+12
．
则△ABC 的面积是
•AB2=
•（25+12
）=
．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性
质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，
对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题（每题4 分，共5 个小题，满分20 分，将直接填写最后结果）
13．（4 分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=
40
度．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1 的度数可得答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=140°，
∴∠2=180°﹣∠1=40°，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互
补．
14．（4 分）分解因式：2x3
6x
﹣
2+4x=
2x
（
x
1
﹣
）（
x
2
﹣
）
．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：2x3
6x
﹣
2+4x
=2x（x2
3x
﹣
+2）
=2x（x
1
﹣）（x
2
﹣）．
故答案为：2x（x
1
﹣）（x
2
﹣）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数
项是解题关键．
15．（4 分）在如图所示的平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角线AC
折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，且AE 过BC 的中点O，则△ADE 的周
长等于
10
．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．
【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D 共线，DE 可求，问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE 过BC 的中点O
∴AO=
BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D 共线，则DE=4
∴△ADE 的周长为：3+3+2+2=10
故答案为：10
【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题
时注意不能忽略E、C、D 三点共线．
16．（4 分）已知抛物线y=x2+2x
3
﹣与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），将
这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x 轴交于C，D 两点（点
C 在点D 的左侧），若B，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为
2
．
【考点】HA：抛物线与x 轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m 个单位可知：AC=BD=m，
计算点A 和B 的坐标可得AB 的长，从而得结论．
【解答】解：如图，∵B，C 是线段AD 的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0 时，x2+2x
3=0
﹣
，
（x
1
﹣）（x+3）=0，
x1=1，x2=
3
﹣，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的
问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
17．（4 分）将从1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3 行、第4 列的数是
12，则位于第45 行、第8 列的数是
2018
．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】观察图表可知：第n 行第一个数是n2，可得第45 行第一个数是2025，推出
第45 行、第8 列的数是2025
7=2018
﹣
；
【解答】解：观察图表可知：第n 行第一个数是n2，
∴第45 行第一个数是2025，
∴第45 行、第8 列的数是2025
7=2018
﹣
，
故答案为2018．
【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规
律解决问题．
三、解答题（本大题共7 小题，共52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
18．（5 分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中
．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；76：分母有理化．
【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．
【解答】解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a
=a2+2ab
a
﹣
2
2a
1
﹣
﹣+2a
=2ab
1
﹣，
当
时，
原式=2（
+1）（
）﹣1
=2
1
﹣
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进
行化简是解此题的关键．
19．（5 分）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】过点A 作EF∥BC ，利用EF∥BC ，可得∠1=∠B ，∠2=∠C ，而
∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
【解答】证明：过点A 作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角
转化到一个平角上是解题的关键．
20．（8 分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书
活动，随机调查了八年级50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
时间（小时）
6
7
8
9
10
人数
5
8
12
15
10
（1）写出这50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．
（3）学校欲从这50 名学生中，随机抽取1 名学生参加上级部门组织的读书活动，
其中被抽到学生的读书时间不少于9 小时的概率是多少？
【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50 名学生读书的时间，然后除以50 即可
求出平均数；在这组样本数据中，9 出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样
本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8 和9，从而求出中位
数是8.5；
（2）根据题意直接补全图形即可．
（3）从表格中得知在50 名学生中，读书时间不少于9 小时的有25 人再除以50 即
可得出结论．
【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，
故这组样本数据的平均数为2；
∵这组样本数据中，9 出现了15 次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是9；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8 和9，
∴这组数据的中位数为
（8+9）=8.5；
（2）补全图形如图所示，
（3）∵读书时间是9 小时的有15 人，读书时间是10 小时的有10，
∴读书时间不少于9 小时的有15+10=25 人，
∴被抽到学生的读书时间不少于9 小时的概率是
=
【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题
的关键是牢记概念及公式．
21．
（8 分）如图，直线y1=
x
﹣+4，y2=
x+b 都与双曲线y=
交于点A（1，m），这两条
直线分别与x 轴交于B，C 两点．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0 时，不等式
x+b＞
的解集；
（3）若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3 两部分，求此时点P 的坐
标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=
，可得y 与x 之间的函数关
系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0 时，不等式
x+b＞
的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成1：3 两部分，则CP=
BC=
，或
BP=
BC=
，即可得到OP=3﹣
=
，或OP=4﹣
=
，进而得出点P 的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=
x
﹣+4，可得m=
1
﹣+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=
，可得m=1×3=3，
∴y 与x 之间的函数关系式为：y=
；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0 时，不等式
x+b＞
的解集为：x＞1；
（3）y1=
x
﹣+4，令y=0，则x=4，
∴点B 的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=
x+b，可得3=
+b，
∴b=
，
∴y2=
x+
，
令y=0，则x=
3
﹣，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP 把△ABC 的面积分成1：3 两部分，
∴CP=
BC=
，或BP=
BC=
，
∴OP=3﹣
=
，或OP=4﹣
=
，
∴P（﹣
，0）或（
，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函
数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交
点，方程组无解，则两者无交点．
22．
（8 分）如图，以AB 为直径的⊙O 外接于△ABC，过A 点的切线AP 与BC 的延长
线交于点P，∠APB 的平分线分别交AB，AC 于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长
是一元二次方程x2
5x
﹣
+6=0 的两个实数根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC 上是否存在一点M，使得四边形ADME 是菱形？若存在，请给予证
明，并求其面积；若不存在，说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三
角形的性质即可求出答案．
（2）过点D 作DF⊥PB 于点F，作DG⊥AC 于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：
，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=
，从而可求出AD 和DG 的长
度，进而证明四边形ADFE 是菱形，此时F 点即为M 点，利用平行四边形的面积即
可求出菱形ADFE 的面积．
【解答】解：（1）∵DP 平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∵AP 与⊙O 相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，
∴∠EAP=∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴
，
∴PA•BD=PB•AE；
（2）过点D 作DF⊥PB 于点F，作DG⊥AC 于点G，
∵DP 平分∠APB，
AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD=DF，
∵∠EAP=∠B，
∴∠APC=∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC，
由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2
5x
﹣
+6=0，
解得：AE=2，BD=3，
∴由（1）可知：
，
∴cos∠APC=
=
，
∴cos∠BDF=cos∠APC=
，
∴
，
∴DF=2，
∴DF=AE，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形ADFE 是菱形，
此时点F 即为M 点，
∵cos∠BAC=cos∠APC=
，
∴sin∠BAC=
，
∴
，
∴DG=
，
∴在线段BC 上是否存在一点M，使得四边形ADME 是菱形
其面积为：DG•AE=2×
=
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四
边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生
的灵活运用知识的能力．
23．（9 分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在
△ABC 的外侧分别以AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取
BD，CE，BC 的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM 与GN 的数量关
系是
MG=NG
；位置关系是
MG
⊥
NG
．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三
角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作等腰
直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证明．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）利用SAS 判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判
断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出
结论．
【解答】解：（1）连接BE，CD 相较于H，
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°
，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G 分别是BD，BC 的中点，
∴MG
CD，
同理：NG
BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接CD，BE，相较于H，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC，延长线相交于H，
同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD
45°
﹣
+180°﹣
∠ACD
45°=90°
﹣
，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比
的思想解决问题是解本题的关键．
24．（9 分）如图，抛物线y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A（1，
），点B
（3，﹣
），O 为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t 的取值范围；
（3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求
∠BOC 的大小及点C 的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将已知点坐标代入即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，
），点B（3，﹣
）求出相关角度．
【解答】解：（1）把点A（1，
），点B（3，﹣
）分别代入y=ax2+bx 得
解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=
当x＞
时，y 随x 的增大而减小
∴当t＞4 时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x 轴于点F
分别过点A、B 作AD⊥OC 于点D，BE⊥OC 于点E
∵AC≥AD，BC≥BE
∴AD+BE≥AC+BE=AB
∴当OC⊥AB 时，点A，点B 到直线OC 的距离之和最大．
∵A（1，
），点B（3，﹣
）
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°
∴∠AOB=90°
∴∠ABO=30°
当OC⊥AB 时，∠BOC=60°
点C 坐标为（
，
）．
【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解
答问题时注意线段最值问题的转化方法．
